ANNO ACCADEMICO 2016/17 CORSO DI LAUREA IN CHIMICA PROGRAMMA DI MATEMATICA 1 (canale A-L) Prof. O. Naselli INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI FRA INSIEMI. Generalità sugli insiemi e sulle funzioni fra insiemi. Dai numeri naturali ai numeri razionali. Operazioni e confronto fra numeri reali. Valore assoluto e sue proprietà. Insiemi finiti, infiniti, numerabili. Potenza del continuo. Densità di Q e di R-Q in R. Intervalli, intorni. Punti interni, di accumulazione, isolati. Insiemi limitati: massimo e minimo, maggioranti e minoranti, estremi superiore ed inferiore e loro proprietà (senza dim.) Insiemi separati (con dim.), insiemi contigui (senza dim.). Teorema della radice n-ma aritmetica (senza dim.). Equazione binomia. Potenze dei numeri reali. Proprietà analitiche delle funzioni reali di una variabile reale (estremi assoluti e relativi, oscillazione, monotonia globale e locale, rapporto incrementale). Funzioni elementari (potenza, radice, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse). Numeri complessi. Forma algebrica e trigonometrica. Potenze e radici. SUCCESSIONI DI NUMERI REALI. Definizione. Proprietà verificate definitivamente. Successioni limitate. Successioni regolari e successioni oscillanti. Regolarità e limitatezza. Unicità del limite (con dim.). Teorema della permanenza del segno (con dim.). Teoremi di confronto (con dim.). Successioni monotone (con dim.) Cenni sulle successioni estratte. Operazioni con i limiti delle successioni. Limiti di successioni in forma elementare. Il numero e (senza dim.). Alcuni limiti notevoli. Criterio del rapporto (senza dim.). Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. LIMITI DI FUNZIONI. Limite di una funzione al tendere di x a c o all’infinito. Teoremi di unicità del limite, di permanenza del segno e di confronto. Teorema ponte (senza dim.). Limite di una funzione composta. Teorema sui limiti di funzioni monotone (con dim.) Operazioni con i limiti di funzioni. Limiti notevoli (quelli dedotti dal numero e e quelli dedotti da (sin x)/x). Funzioni continue. Proprietà dei valori intermedi. Teorema dei valori intermedi (senza dim.). Continuità delle funzioni monotone (con dim.). Continuità delle funzioni elementari. Teorema di Weierstrass (senza dim.). Immagine di un intervallo mediante una funzione continua. Classificazione dei punti di discontinuità. Asintoti. Caso particolare: asintoti di una funzione razionale fratta. CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di derivata. Derivabilità e continuità (con dim.). Approssimazione di una funzione derivabile mediante un polinomio di primo grado (con dim.). Interpretazione geometrica della derivata. Punti angolosi, cuspidi, flessi ascendenti e discendenti. Regole di derivazione. Formule di derivazione. Derivate di ordine superiore. Monotonia di una funzione con derivata di segno costante. Teorema di Fermat (con dim.). Teorema di Rolle (con dim.). Teorema di Lagrange (con dim.). Teorema di prolungamento della derivata (senza dim.). Criterio di monotonia (con dim.). Criterio di stretta monotonia (senza dim.). Ricerca degli estremi relativi ed assoluti. Teorema sulle funzioni con derivata nulla. Primitive. Teorema sulle primitive. Definizione di integrale indefinito. Studio di una funzione mediante l'uso delle derivate prima e seconda. Funzioni convesse. Punti di flesso. Studio della convessità mediante la derivata seconda (con dim.). Teoremi di de l'Hopital (senza dim.). ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE CON APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA ANALITICA. Matrici e determinanti. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker (senza dim.). Prodotto di matrici. Generalità sui sistemi lineari. Teoremi di Rouché-Capelli e di Cramer (senza dim.). Spazi vettoriali: definizione, vettori linearmente indipendenti, dimensione. Lo spazio vettoriale euclideo. Vettori in R^2. Basi. Base canonica. Prodotto scalare. Applicazioni dell'Algebra lineare alla Geometria analitica: l'equazione della retta (per due punti, passante per un punto e parallela o perpendicolare ad un vettore assegnato). Fasci di rette. L'equazione della circonferenza, le tangenti ad una circonferenza, l'asse radicale di due circonferenze. Cenni sulle coniche. Trasformazioni di coordinate.