LICEO SCIENTIFICO PARITARIO “Ven. A. Luzzago”

LICEO SCIENTIFICO PARITARIO “Ven. A. Luzzago”
Compito di Matematica nella classe 4A - Lunedı̀ 23 Marzo 2015
Cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La valutazione viene attribuita in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei vari
quesiti, nonchè alle caratteristiche dell’esposizione (chiarezza e ordine). É assolutamente vietato
l’uso di appunti o libri di testo. L’alunno è invitato a non utilizzare (pena il ritiro dell’elaborato) ogni tipo di telefono cellulare, smartphone, tablet, notebook e qualsiasi altro strumento
idoneo alla conservazione e/o trasmissione di dati. Gli esercizi facoltativi possono essere risolti
solamente dopo aver affrontato tutti gli esercizi obbligatori.
1. In una circonferenza di diametro AB = 2r, si consideri la corda BC di lunghezza pari al lato
dell’esagono regolare inscritto in tale circonferenza. Dimostrato che BC = r, si consideri sulla
semicirconferenza non contenente C il punto D con AB̂D = x.
(a) Indicato con y il perimetro del triangolo ACD, esprimere y in funzione di x, individuando
i casi limite del problema.
√
√
(b) Dopo aver verificato che una possibile espressione di y è y = r 3 1 + cos x + 3 sen x , si
rappresenti tale funzione almeno in un suo periodo, mettendo in evidenza il tratto relativo
al problema.
(c) Determinare il valore massimo che può assumere y e in quale/i valore/i di x si ottiene tale
valore.
2. Si consideri il segmento OB = 2a con A punto medio di OB. Nello stesso semipiano rispetto
alla retta OB si traccino due semicirconferenze di diametri rispettivamente OA ed OB. Per
il punto O si conduca la semiretta tangente comune alle due semicirconferenze sulla quale si
prenda il segmento OC = a. Con origine O si conduca una semiretta che intersechi in P e in
Q le semicirconferenze. Dopo aver posto B ÔP = x e aver individuato i casi limite, si ricavi
l’espressione
2
2
2
CP + P Q + QC
y=
.
2a2
7
3. Sia ABC un triangolo isoscele tale che AB = AC = a e cos B ÂC = − 25
. Determinare le
misure della base, delle tre altezze, l’area A del triangolo e i raggi delle circonferenze inscritta
e circoscritta al triangolo ABC.
4. Nel triangolo ABC si sa che AB = 4, AC = 3 e che B ÂC =
dell’angolo B ÂC. Determinare:
π
3.
Sia AQ la bisettrice
(a) la misura della bisettrice AQ;
(b) la misura di BC;
(c) le misure delle due parti CQ e QB in cui il lato BC è diviso dalla bisettrice;
5. Di triangoli non congruenti nei quali un lato è lungo 10 cm e i due lati angoli interni adiaA : nessuno; B : uno;
centi ad esso α e β sono tali che sen α = 35 e sen β = 24
25 ne esistono:
1
C : due; D : tre. Una sola risposta è corretta. Individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. (Quesito n. 10 - Esame di Stato 2004 - sessione supplettiva - corso
di ordinamento.)
6. (Facoltativo) Tra gli angoli β = AB̂C e γ = AĈB di un triangolo ABC sussiste la relazione
sen β(cos γ − sen β) = cos β(cos β − sen γ) .
(a) Si dimostri che il triangolo ABC è rettangolo.
(b) Nell’ipotesi in cui β = arcsin 45 e BC = 25`, determinare le lunghezze dei lati del triangolo.
7. (Facoltativo) Si dimostri che per ogni x, y ∈ R con x 6= 0 e y 6= 0 si ha
y
x
π
arctan
= − arctan
.
y
2
x
2