DESTINATARI DELLA FORMAZIONE: PRIMO BIENNIO
AMBITO PREVALENTE: Dati e Previsioni
TITOLO: “Verso il Modello Binomiale”
CONTENUTI SPECIFICI: L’attività si propone di pervenire alla definizione classica di probabilità, di comprendere il
legame concettuale tra probabilità e statistica e di pervenire al modello di Bernoulli per la risoluzione di problemi
reali ad esso riconducibili.
PREREQUISITI: elementi basilari della teoria degli insiemi; rappresentazione di dati in semplici tabelle e grafici;
potenza di un binomio.
FINALITA’:
avviare alla consapevolezza e alla padronanza del calcolo soprattutto per quelle operazioni in cui sono più
diffusi gli errori di calcolo a tutti i livelli scolastici: divisioni, rapporti, frazioni.
stimolare le capacità intuitive dei giovani, una realtà sociale in rapido, quasi vorticoso cambiamento;
far comprendere agli studenti l'esigenza sempre più pressante di disporre di solide basi matematiche
necessarie per adeguarsi alle multiformi esigenze del mondo in cui viviamo;
fornire agli studenti le competenze di base per affrontare l'analisi quantitativa dei fenomeni collettivi - socioeconomici o sperimentali - e per l'assunzione consapevole di decisioni in condizioni di incertezza;
condurre gradualmente a verificare la validità delle intuizioni e delle congetture con ragionamenti via via più
organizzati;
sollecitare ad esprimersi in un linguaggio che diventi sempre più chiaro e preciso avvalendosi anche di
simboli, formule matematiche, rappresentazioni grafiche… che facilitano l’organizzazione del pensiero;
avviare gli alunni verso quel processo di modellizzazione della realtà che via via andranno sempre più a
sviluppare;
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI:
-“Scoprire la statistica e la probabilità nell’insegnamento della matematica a scuola” (M.Gabriella Ottaviani,
Dipartimento di Scienze statistiche Sapienza Università di Roma)
“Cenni di statistica e probabilità” (appunti e slide del Corso MathUp per la I classe della scuola secondaria di
II grado, lezioni tenute dal prof. Walter Racugno - Cagliari)
Treccani Scuola - sez. Matematica
Esercizi proposti da INVALSI
Esercizi proposti da “Matematica multimediale. Verde” (vol.2) – Zanichelli
Corso di formazione on-line su “Didattica digitale integrata” - Zanichelli
GRUPPO DI LAVORO:
Dipartimento Matematica dell’ IIS “Fermi” di Gaeta
Dipartimento Matematica dell’ ITC “Libero de Libero” di Fondi
Dipartimento Matematica dell’ITIS “Pacinotti” di Fondi
Premessa:
In accordo con quanto affermava Bruno De Finetti (Cfr. <<…non è necessario definire la “probabilità” per
comprenderne il significato, così come non è necessario definire il concetto di “temperatura” per comprendere che
due corpi sono in equilibrio termico tra loro>>) abbiamo ritenuto di perseguire gli obiettivi fissati attraverso un
processo intuitivo, evitando formalismi eccessivi e riferimenti a teoremi e definizioni.
Se ritenuto opportuno, gli argomenti trattati potranno essere ripresi e approfonditi nel secondo biennio.
In questa sede, intendiamo adottare un approccio didattico di tipo “laboratoriale”, attraverso il quale condurremo
per mano gli allievi dal concreto, a livelli di astrazione sempre maggiori senza, con questo, rinunciare a raggiungere
una sistemazione finale formale delle conoscenze.
La didattica laboratoriale ed il collegamento con il vissuto dei ragazzi consentiranno di raggiungere gli obiettivi
prefissati in modo più dinamico, con la possibilità di dedicare più tempo all’aspetto formativo, stimolando
maggiormente il ragionamento ed aiutando la comprensione dei concetti con un campo di applicazione più ampio.
Preme inoltre sottolineare che gli alunni a cui è rivolta tale attività non sono “tabula rasa” ma provengono da un
percorso didattico precedente che gli ha consentito di prendere confidenza con diversi concetti che verranno
trattati.
PIANIFICAZIONE DELLE ATTIVITA’
Fase 1: “Solo frasi”
L’insegnante fa esempi di proposizioni che si possono riferire a fatti reali, accaduti o che devono ancora accadere, a
fatti astratti, facendo osservare che, in alcuni casi è possibile stabilirne la veridicità o meno mentre in altri casi ciò
non è possibile
OBIETTIVI SPECIFICI:
Pervenire al concetto di “evento aleatorio” (impossibile, possibile, certo); riconoscere “eventi incompatibili”; saper
individuare lo spazio campionario di una “prova sperimentale”.
METODOLOGIA:
lezione frontale e interattiva
- gli esercizi preparati dall’insegnante (scheda 1) possono essere proposti con Kahoot nel laboratorio di informatica
organizzando un gioco a squadre.
Fase 2: “Al Luna Park”
Attraverso l’esempio di un gioco ambientato al Luna Park (lancio di una moneta su un tavolo interamente coperto di
pacchetti di dimensioni diverse e contenenti oggetti più o meno preziosi), l’insegnante guiderà gli allievi a
comprendere che la probabilità è la misura dell’incertezza sul verificarsi di un evento e che tale misura può essere
espressa con un numero compreso tra 0 e 1. Attraverso un processo intuitivo si perverrà così alla formalizzazione del
concetto di probabilità e alla sua misura.
OBIETTIVI SPECIFICI:
calcolare la probabilità di eventi equiprobabili, della somma di due eventi incompatibili e del prodotto di due eventi
indipendenti.
METODOLOGIA:
lezione frontale e interattiva. Gli esercizi preparati dall’insegnante (scheda 2) possono essere proposti con Kahoot
nel laboratorio di informatica organizzando un gioco a squadre.
Fase 3: “Schema di urne”
Attraverso lo svolgimento di un toy-example svolto in classe (estrazioni ripetute da un sacchetto di composizione
non nota) gli alunni scopriranno che all’aumentare del numero delle prove la frequenza tende a coincidere con la
probabilità.
Partendo dall’analisi di problemi reali gli alunni comprenderanno che nella maggior parte dei casi essi sono
riconducibili a schemi di urne con composizione non nota.
OBIETTIVI SPECIFICI:
pervenire al legame concettuale tra probabilità e statistica e comprendere che la maggior parte dei problemi reali
sono riconducibili a schemi di urne con composizione non nota
METODOLOGIA:
lezione interattiva: attività in laboratorio con l’ausilio di Info.gram (scheda 3) per l’elaborazione dei grafici ed esercizi
da svolgere in gruppi di 2-4 alunni (scheda 4)
Fase 4: “Verso il modello binomiale”
In questa attività si prenderà in considerazione un’urna contenente palline bianche e nere, di composizione nota.
Saranno effettuate da 1 a 4 estrazioni (con reimbussolamento) e si inviteranno gli alunni a calcolare, di volta in volta,
le probabilità che possano essere estratte da 0 a 4 palline bianche. La complessità dei calcoli farà sorgere negli alunni
l’esigenza di poter disporre di una formula che faciliti i calcoli.
L’insegnante, infine, introdurrà il coefficiente binomiale e fornirà la “formula magica” per calcolare le probabilità
della variabile aleatoria in modo più veloce e meno laboriosa.
OBIETTIVI SPECIFICI:
comprendere l’utilità della legge di Bernoulli e saperla applicare in problemi diversi.
METODOLOGIA:
Lezione interattiva:
1. Presentazione con Prezi della Legge di Bernoulli
(http://prezi.com/nh4-mpwcpe9e/?utm_campaign=share&utm_medium=copy&rc=ex0share)
2. Scheda 7 per lavori di gruppo
Fase 5: “Torniamo alla realtà”
Si analizzeranno problemi reali riconducibili allo schema binomiale e che potranno essere risolti mediante la “regola”
fornita nella fase precedente.
OBIETTIVI SPECIFICI:
Saper riconoscere che un problema reale, in alcuni contesti, può essere pensato come caso particolare di uno
schema di prove ripetute e che può essere risolto mediante la formula di Bernoulli.
METODOLOGIA:
problem solving (scheda 6)
VERIFICA FINALE:
Gli alunni saranno suddivisi in piccoli gruppi e dovranno presentare ai loro compagni un lavoro multimediale
(utilizzando a scelta Power Point, Prezi, Padlet, Video tutorial, Rai Scuola,…) per spiegare la risoluzione di un
problema a scelta, riconducibile allo schema binomiale.
Nella presentazione non dovranno mancare ricerche svolte su Jacob Bernoulli e su alcune proprietà del Triangolo di
Tartaglia (senza tralasciare quella relativa ai coefficienti binomiali).
SCHEDA N.1 : “Solo Frasi”
In classe abbiamo stabilito che nel calcolo della probabilità si dà il nome di EVENTO solo a quelle proposizioni di cui si
possa stabilire il valore di verità, dopo aver acquisito le informazioni necessarie ad esempio attraverso l’osservazione
(ossia la realizzazione di un esperimento).
Abbiamo visto che esistono diverse tipologie di eventi (reali che devono ancora accadere, reali accaduti, astratti), che
alcuni di essi sono eventi CERTI (certamente veri), altri IMPOSSIBILI (che non possono mai verificarsi)
Stabilisci quali proposizioni possono essere considerate EVENTI e se tra loro esistono eventi CERTI o IMPOSSIBILI:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
L’atleta Bolt vincerà la gara
Nel lancio di un dado a sei facce esce il numero 3
Nel lancio di un dado a sei facce esce un numero pari
Il prossimo cliente sarà maschio
Questa statua è bella
2+2=4
Domani pioverà
Attività 1
Cristoforo Colombo scoprì l’America nel 1492
Vai a comprare il giornale!
La mia squadra vincerà la partita
Giorgio sarà promosso
Nel lancio di una moneta esce Testa
Ti prego di chiamarmi
Estraendo una pallina da un’urna che contiene palline bianche e nere, la pallina estratta è bianca
Nel lancio di una moneta esce Testa o Croce
Nel lancio di un dado a sei facce esce il numero 7
Spero che la mia squadra vinca la partita
Abbiamo inoltre chiamato EVENTI INCOMPATIBILI quegli eventi che non possono verificarsi contemporaneamente.
Indica tra i seguenti eventi quali sono incompatibili
1. nel lancio di un dado esce un numero:
a. A=”dispari”; B=”multiplo di 3”;
b. C=”maggiore di 2”; D=”divisibile per 5”
Attività 2
2. Nell’estrazione da un mazzo di 40 carte, esce:
a. A=”una figura”; B=”una carta di spade”;
b. C=”una figura di coppe”; D=”un cavallo”
Abbiamo inoltre stabilito che quando si valuta un evento è indispensabile considerare tutti i possibili risultati (eventi
ELEMENTARI incompatibili a due a due). Essi formano lo SPAZIO CAMPIONARIO.
Determina tutti i possibili esiti delle seguenti “prove sperimentali”
1. Lancio di una moneta
3. Lancio di un dado cubico
4. Estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte che possono essere di quattro semi
5. Estrazione di una pallina da un’urna che contiene palline di due colori
Attività 3
Scheda 2
1. La figura rappresenta una roulette un po’ particolare: non ci sono numeri ma solo settori indicati con delle
lettere. Se la pallina si muove lungo il bordo, qual è l probabilità che si fermi sull’arco che delimita il settore
A?
2. quale tra i seguenti numeri non può rappresentare la probabilità di un evento?
a. ¼
b. 1 c. 17/20 d. 9/8
3. quanto vale la probabilità che una persona risponda correttamente a una domanda che prevede solo una
risposta esatta, scegliendo a caso una risposta fra le quattro proposte?
4. un’urna contiene 21 palline, ognuna delle quali è contrassegnata da una lettera dell’alfabeto italiano. Qual è
la probabilità che, estraendo a caso una di queste palline, si verifichi l’evento “esce la lettera π” ?
5. un’urna contiene 50 gettoni colorati. 20 sono di colore verde, 18 di colore rosso, 10 di colore blu. Qual è la
probabilità di pescare un gettone che non sia né verde, né rosso, né blu?
6. calcola la probabilità che lanciando un dado si ottenga un numero inferiore a 5.
7. un dado viene lanciato due volte di seguito. Calcola la probabilità che esca prima un numero pari e poi un
numero divisibile per 3.
8. se si lanciano contemporaneamente due monete, qual è la probabilità che escano una testa e una croce?
9. un’urna A contiene 2 palline bianche, 4 nere e 2 gialle mentre un’urna B contiene 3 palline bianche e 5 nere.
Estraiamo a caso una pallina da A e una da B. Calcola la probabilità di estrarre: a. palline dello stesso colore;
b. palline di colore diverso; c. palline entrambe nere.
10. Franco estrae una carta da un mazzo di 40 carte e poi la rimette nel mazzo e ne estrae un’altra. Calcola la
probabilità che escano: a. due re; b. due figure; un asso e una carta di spade.
Scheda 3 – Prove Ripetute
TOY EXAMPLE
Consideriamo questo sacchetto contenente palline bianche e nere. Non conosciamo il numero di palline bianche e il
numero di palline nere. Per scoprire la composizione dell’urna abbiamo bisogno di acquisire informazioni attraverso
l’osservazione dell’esito (estrazione)
Per questo, iniziamo la nostra prova sperimentale!
1. estraiamo una pallina e ne osserviamo il colore: Bianca o Nera
Osservazioni
1. Una sola osservazione è poco informativa, non è sufficiente per dedurre la composizione dell’urna.
2. Reimbussolamento.
Rimettiamo la pallina nell’urna e ripetiamo l’esperimento più volte: m volte!
3. ogni estrazione è indipendente dalle altre ed è come se avvenisse per la prima volta visto che non ci dà alcuna
informazione sull’esito della estrazione successiva.
Iniziamo con… m=20: effettuiamo 20 estrazioni con reimbussolamento ed effettuiamo lo
spoglio dei dati…
La frequenza relativa di “bianca” = 7/20=0,35. Questo vuol dire che …
SU 20 OSSERVAZIONI IL 35% DELLE PALLINE DELL’URNA SONO BIANCHE
Passiamo a m=40: effettuiamo 40 estrazioni con reimbussolamento ed effettuiamo lo
spoglio dei dati…
La frequenza relativa di “bianca” = 11/40=0,275. Questo vuol dire che …
SU 40 OSSERVAZIONI IL 27,5 % DELLE PALLINE DELL’URNA SONO BIANCHE
Passiamo a m=60: effettuiamo 60 estrazioni con reimbussolamento ed effettuiamo lo
spoglio dei dati…
La frequenza relativa di “bianca” = 15/60=0,25. Questo vuol dire che …
SU 60 OSSERVAZIONI IL 25 % DELLE PALLINE DELL’URNA SONO BIANCHE
…E’ arrivato il momento di scoprire la vera composizione dell’urna!
Aprendo il sacchetto scopriamo che ci sono 12 palline di cui 3 bianche. Se calcoliamo la probabilità di estrarre una
pallina bianca dall’urna, essa coincide con p=3/12=0,25
Le due probabilità coincidono!!!!
In generale possiamo affermare che vale la LEGGE DEI GRANDI NUMERI:
al crescere del numero di prove, la probabilità statistica di un evento si avvicina sempre più al valore della sua
probabilità “classica”.
Collegamento con la realtà
PROBLEMA:
NELLA REALTA’ NON E’ POSSIBILE GUARDARE NELL’URNA
Pensiamo al caso di un’epidemia di influenza e che siamo interessati a valutare la probabilità che un individuo preso
a caso sia affetto dalla malattia.
Osservazioni
1. poiché il numero totale di individui è molto elevato, si può assumere che il fenomeno sia ben rappresentato dallo
schema di estrazioni da un’urna, con reimbussolamento.
2. E’ possibile raccogliere informazioni analizzando lo stato di salute di m persone e, se k di esse risultano malate,
stimare la probabilità che un individuo sia malato con p=k/m.
3. …ma non sarebbe possibile aprire l’urna per verificare con certezza il contenuto, così come abbiamo fatto in
classe.
Ora prova tu… scheda 4
Scheda 4
problemi reali riconducibili a schemi di urne con composizione NON nota
Esercizi da svolgere in gruppi di 2-4 alunni
Scheda 6
Torniamo alla realtà
(esempi di problemi riconducibili allo schema binomiale)
1. MICROFONI FUORI USO
Un’antica sala conferenze che deve ospitare una tavola rotonda è attrezzata con 8
microfoni, 3 dei quali sono mal funzionanti.
I 5 relatori invitati si recano, ciascuno “indipendentemente” dagli altri, a provare i microfoni
prima dell’inizio. Ogni relatore accende uno dei microfoni scelto a caso e ne verifica il
funzionamento.
a) con quale probabilità i 5 relatori potrebbero non accorgersi che vi sono alcuni microfoni
fuori uso?
b)con quale probabilità tutti i relatori potrebbero convincersi che non vi sono microfoni
funzionanti?
2. QUANTO GUADAGNERO’ OGGI?
Un venditore di piccoli elettrodomestici che vende porta-a-porta, in base alla propria
esperienza, valuta pari a 0,4 la probabilità che bussando alla porta di un cliente, concluda
positivamente la vendita.
Nel corso della mattina deve visitare 7 possibili clienti scelti a caso da un elenco
numerosissimo.
a)calcolare la probabilità che il venditore concluda al massimo una vendita.
b)calcolare la probabilità che le vendite realizzate siano almeno 5.
SCHEDA 7
LAVORO DI GRUPPO – esercizi reperiti da
http://www.treccani.it/scuola/lezioni/matematica
