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Analisi Matematica A PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA A A.A. 2008‐2009 INGEGNERIA CIVILE TEORIA DEGLI INSIEMI Unione, intersezione, differenza Insieme vuoto, complementare di un insieme, insieme delle parti, cardinalità. LOGICA DELLE PROPOSIZIONI I quantificatori I connettivi logici: simbolo di somma e prodotto logico, negazione, deduzione, equivalenza logica. INTRODUZIONE AI NUMERI NATURALI Assiomi di Peano Il Principio d’Induzione (Formula di Gauss e Conteggio delle parti). I NUMERI REALI Insufficienza di Q Densità di Q, insiemi discreti Definizione assiomatica di R e assioma di completezza Massimo, minimo, maggiorante, minorante, estremo superiore e inferiore Teorema dell’esistenza dell’estremo superiore Proprietà di Archimede Numerabilità di Z e Q, non numerabilità di R . NUMERI COMPLESSI Definizione di numero complesso come coppia ordinata, in forma algebrica, in forma geometrica, in forma trigonometrica Coniugato, modulo Operazioni algebriche (somma, prodotto, quoziente), potenza ad esponente intero, radici ennesime Teorema fondamentale dell’algebra. CALCOLO COMBINATORIO Insieme prodotto Disposizioni semplici Permutazioni semplici e anagrammi Combinazioni semplici Il coefficiente binomiale e sue proprietà Il triangolo di Tartaglia Il binomio di Newton. INTRODUZIONE ALLA TOPOLOGIA Distanza euclidea e spazio metrico Il concetto di intorno Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, punto isolato. Il teorema di Bolzano-Weierstrass Insiemi aperti, chiusi, derivato, chiusura di un insieme. FUNZIONI E APPLICAZIONI Definizione di applicazione Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2008-2009 Prof.ssa Chiara Giacomoni 1 Analisi Matematica A Applicazione iniettiva, suriettiva, biiettiva. Definizione di funzione, dominio, codominio, insieme immagine, grafico Funzione limitata, pari o dispari, composta Funzione inversa, funzione monotona e loro correlazioni Grafici di funzioni elementari e loro inverse. LIMITI DI SUCCESSIONI Definizione di successione Successioni convergenti, divergenti, successione regolare Verifiche di limiti Teorema dell’unicità del limite Successioni limitate Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima Operazioni coi limiti nel caso finito e infinito Forme indeterminate Teorema della permanenza del segno I criteri di confronto, il teorema dei due carabinieri Successioni monotone Numero di Nepero Limiti notevoli di successioni polinomiali, di potenze, esponenziali Successioni estratte. LIMITI DI FUNZIONI Definizione di limite nei casi specifici Teoremi dedotti dalle successioni: limitatezza locale, unicità del limite, permanenza del segno Limite destro e limite sinistro, teorema dei limiti unilaterali Teorema sulle operazioni con i limiti Teorema del limite della funzione composta sin x 1 − cos( x) 1 − cos( x) 1 Limiti notevoli, in particolare lim = 1 , lim = 0 , lim = x →0 x → 0 x → 0 x x2 2 x Infiniti e infinitesimi. FUNZIONI CONTINUE Funzione continua in un punto (isolato, interno, di frontiera) e funzione continua in un intervallo Punti di discontinuità Continuità delle operazioni, della funzione composta, della funzione inversa Teorema della permanenza del segno, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di compattezza, teorema di Weierstrass. x log a (1 + x) a x −1 ⎛ 1⎞ Limiti notevoli lim ⎜1 + ⎟ = e , lim = ln a , lim = log a e . x→ 0 x→ ∞ x→ 0 x x x⎠ ⎝ IL CALCOLO DIFFERENZIALE Rapporto incrementale e definizione di derivata Significato geometrico Derivata destra e sinistra Punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspide) Teorema sulla relazione tra continuità e derivabilità Derivate delle funzioni elementari Regole di derivazione: teorema sulla derivata di una somma, di un prodotto, del quoziente, derivata di funzioni polinomiali Derivata delle funzioni composte, derivata della funzione inversa Derivate successive. Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2008-2009 Prof.ssa Chiara Giacomoni 2 Analisi Matematica A MASSIMI E MINIMI Definizione di massimo e minimo relativo e assoluto. Teorema di Fermat Punti stazionari Teorema di Rolle e significato geometrico Teorema di Lagrange e significato geometrico Conseguenze del teorema di Lagrange Teorema di Cauchy Criterio di stretta monotonia. FUNZIONI CONVESSE Definizione di funzione convessa, epigrafico e insieme connesso Teorema di caratterizzazione delle funzioni convesse Punti di flesso Asintoti. TEOREMI DI DE L’HOSPITAL Primo e secondo teorema di de l’Hospital e conseguente regola Applicazione dei teoremi nelle forme di indecisione 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , 1∞ , ∞ 0 . FORMULA DI TAYLOR Polinomio di Taylor Resto in forma di Peano Formula di Mac Laurin delle funzioni fondamentali Applicazione della formula nel calcolo di limiti e teorema sulla determinazione dei punti stazionari Resto in forma di Lagrange. INTEGRALE Concetto di area Somme integrali inferiori e somme superiori L’integrale di Riemann Teorema di Riemann Proprietà dell’integrale definito Condizioni sufficienti di integrabilità Teorema della media integrale Definizione di funzione integrale Teorema fondamentale del calcolo integrale Nozione di primitiva Teorema di caratterizzazione delle primitive Formula fondamentale del calcolo integrale Teorema di linearità L’integrale indefinito: integrali indefiniti immediati Formula di integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione delle funzioni razionali. Testi di riferimento: Elementi di Analisi Matematica uno – P. Marcellini, C. Sbordone – Liguori Editore Esercitazioni di Matematica - 1° volume parte prima – P. Marcellini, C. Sbordone – Liguori Editore Esercitazioni di Matematica - 1° volume parte seconda – P. Marcellini, C. Sbordone – Liguori Editore Software didattico: www.unirsm.sm/analisimatematica Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2008-2009 Prof.ssa Chiara Giacomoni 3
