Analisi Matematica A
PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA A A.A. 2008‐2009 INGEGNERIA CIVILE TEORIA DEGLI INSIEMI Unione, intersezione, differenza
Insieme vuoto, complementare di un insieme, insieme delle parti, cardinalità.
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI I quantificatori
I connettivi logici: simbolo di somma e prodotto logico, negazione, deduzione, equivalenza logica.
INTRODUZIONE AI NUMERI NATURALI Assiomi di Peano
Il Principio d’Induzione (Formula di Gauss e Conteggio delle parti).
I NUMERI REALI Insufficienza di Q
Densità di Q, insiemi discreti
Definizione assiomatica di R e assioma di completezza
Massimo, minimo, maggiorante, minorante, estremo superiore e inferiore
Teorema dell’esistenza dell’estremo superiore
Proprietà di Archimede
Numerabilità di Z e Q, non numerabilità di R .
NUMERI COMPLESSI Definizione di numero complesso come coppia ordinata, in forma algebrica, in forma geometrica,
in forma trigonometrica
Coniugato, modulo
Operazioni algebriche (somma, prodotto, quoziente), potenza ad esponente intero, radici ennesime
Teorema fondamentale dell’algebra.
CALCOLO COMBINATORIO Insieme prodotto
Disposizioni semplici
Permutazioni semplici e anagrammi
Combinazioni semplici
Il coefficiente binomiale e sue proprietà
Il triangolo di Tartaglia
Il binomio di Newton.
INTRODUZIONE ALLA TOPOLOGIA Distanza euclidea e spazio metrico
Il concetto di intorno
Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, punto isolato.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass
Insiemi aperti, chiusi, derivato, chiusura di un insieme.
FUNZIONI E APPLICAZIONI Definizione di applicazione
Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2008-2009 Prof.ssa Chiara Giacomoni
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Analisi Matematica A
Applicazione iniettiva, suriettiva, biiettiva.
Definizione di funzione, dominio, codominio, insieme immagine, grafico
Funzione limitata, pari o dispari, composta
Funzione inversa, funzione monotona e loro correlazioni
Grafici di funzioni elementari e loro inverse.
LIMITI DI SUCCESSIONI Definizione di successione
Successioni convergenti, divergenti, successione regolare
Verifiche di limiti
Teorema dell’unicità del limite
Successioni limitate
Teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima
Operazioni coi limiti nel caso finito e infinito
Forme indeterminate
Teorema della permanenza del segno
I criteri di confronto, il teorema dei due carabinieri
Successioni monotone
Numero di Nepero
Limiti notevoli di successioni polinomiali, di potenze, esponenziali
Successioni estratte.
LIMITI DI FUNZIONI Definizione di limite nei casi specifici
Teoremi dedotti dalle successioni: limitatezza locale, unicità del limite, permanenza del segno
Limite destro e limite sinistro, teorema dei limiti unilaterali
Teorema sulle operazioni con i limiti
Teorema del limite della funzione composta
sin x
1 − cos( x)
1 − cos( x) 1
Limiti notevoli, in particolare lim
= 1 , lim
= 0 , lim
=
x →0
x
→
0
x
→
0
x
x2
2
x
Infiniti e infinitesimi.
FUNZIONI CONTINUE Funzione continua in un punto (isolato, interno, di frontiera) e funzione continua in un intervallo
Punti di discontinuità
Continuità delle operazioni, della funzione composta, della funzione inversa
Teorema della permanenza del segno, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema di
compattezza, teorema di Weierstrass.
x
log a (1 + x)
a x −1
⎛ 1⎞
Limiti notevoli lim ⎜1 + ⎟ = e , lim
= ln a , lim
= log a e .
x→ 0
x→ ∞
x→ 0
x
x
x⎠
⎝
IL CALCOLO DIFFERENZIALE Rapporto incrementale e definizione di derivata
Significato geometrico
Derivata destra e sinistra
Punti di non derivabilità (punti angolosi e cuspide)
Teorema sulla relazione tra continuità e derivabilità
Derivate delle funzioni elementari
Regole di derivazione: teorema sulla derivata di una somma, di un prodotto, del quoziente,
derivata di funzioni polinomiali
Derivata delle funzioni composte, derivata della funzione inversa
Derivate successive.
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Analisi Matematica A
MASSIMI E MINIMI Definizione di massimo e minimo relativo e assoluto.
Teorema di Fermat
Punti stazionari
Teorema di Rolle e significato geometrico
Teorema di Lagrange e significato geometrico
Conseguenze del teorema di Lagrange
Teorema di Cauchy
Criterio di stretta monotonia.
FUNZIONI CONVESSE Definizione di funzione convessa, epigrafico e insieme connesso
Teorema di caratterizzazione delle funzioni convesse
Punti di flesso
Asintoti.
TEOREMI DI DE L’HOSPITAL Primo e secondo teorema di de l’Hospital e conseguente regola
Applicazione dei teoremi nelle forme di indecisione 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 00 , 1∞ , ∞ 0 .
FORMULA DI TAYLOR Polinomio di Taylor
Resto in forma di Peano
Formula di Mac Laurin delle funzioni fondamentali
Applicazione della formula nel calcolo di limiti e teorema sulla determinazione dei punti
stazionari
Resto in forma di Lagrange.
INTEGRALE Concetto di area
Somme integrali inferiori e somme superiori
L’integrale di Riemann
Teorema di Riemann
Proprietà dell’integrale definito
Condizioni sufficienti di integrabilità
Teorema della media integrale
Definizione di funzione integrale
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Nozione di primitiva
Teorema di caratterizzazione delle primitive
Formula fondamentale del calcolo integrale
Teorema di linearità
L’integrale indefinito: integrali indefiniti immediati
Formula di integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Integrazione delle funzioni razionali.
Testi di riferimento: Elementi di Analisi Matematica uno – P. Marcellini, C. Sbordone – Liguori Editore
Esercitazioni di Matematica - 1° volume parte prima – P. Marcellini, C. Sbordone – Liguori Editore
Esercitazioni di Matematica - 1° volume parte seconda – P. Marcellini, C. Sbordone – Liguori Editore
Software didattico: www.unirsm.sm/analisimatematica
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