Istituzioni di Matematiche AA 2009-2010

Università degli Studi di Catania
Facoltà di Architettura - sede di Siracusa
Corso di laurea Specialistica quinquennale in Architettura - Classe delle lauree n. 4/S
Programma del corso di
Istituzioni di Matematiche
(Prof. O. Muscato)
Anno Accademico 2009/2010
I numeri reali e complessi. Assiomi dei numeri reali. Operazioni. Cenni di teoria degli insiemi. La
retta reale ed i suoi intervalli. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore. I numeri
complessi, operazioni, forma trigonometrica, radici n-esime dei numeri complessi. Elementi di
calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni.
Successioni. Definizioni, limiti, teorema di unicità del limite, algebra dei limiti, teorema del
confronto e della permanenza del segno, successioni monotone e loro proprietà, il numero di
Nepero, le successioni di Fibonacci, la sezione aurea, cenni sui frattali.
Funzioni. Funzione, dominio, immagine. Funzioni iniettive. Funzione composta ed inversa.
Funzioni razionali, irrazionali, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche ed iperboliche. Grafici di
funzioni elementari.
Limiti e continuità. Nozione di limite. Algebra dei limiti. Teorema del confronto, della
permanenza del segno. Limiti fondamentali. Forme indeterminate. Infiniti ed infinitesimi. Funzioni
continue. Teorema degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Discontinuità. Asintoti.
Funzioni derivabili. Concetto di derivata. Interpretazione geometrica della derivata ed
applicazioni. Calcolo delle derivate delle funzioni elementari. Derivabilità e continuità. Algebra
delle derivate. Massimi e minimi relativi, teorema di Fermat . I teoremi di Rolle e di Lagrange.
Intervalli di monotonia per funzioni derivabili. Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo.
Derivate di ordine superiore. Concavità e convessità. Flessi.
Applicazioni delle derivate. Teorema De l'Hopital ed applicazioni. Polinomi di Taylor e Mc
Laurin. Resto di Lagrange. Stime di errori di approssimazione.
Integrazione indefinita e definita. Primitive di funzioni, integrale indefinito. Metodi di
integrazione elementare indefinita: per decomposizione in somma, per parti , per sostituzione, per le
funzioni razionali fratte, per alcune classi di funzioni trascendenti.
Integrabilità ed integrale secondo Riemann : proprietà. Integrali definiti. Teorema della media.
Funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri.
Funzioni di più variabili. Dominio, immagine e rappresentazione grafica. Continuità. Derivate
parziali. Cenni sui punti di massimo, minimo e sella, derivata direzionale. Formula di Taylor.
Elementi di geometria analitica nel piano. Equazione di una retta. Parallelismo ed ortogonalità
tra rette. Cambiamenti di riferimento. Coordinate polari. Punti impropri. Classificazione delle
coniche: circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.
Elementi di geometria analitica nello spazio. Equazione di una retta e di un piano.
Perpendicolarità e parallelismo. Cambiamenti di riferimento. Coordinate cilindriche e sferiche.
Modalità di esame
L'esame prevede una prova scritta atta a verificare le capacita' di calcolo dello studente e di una
prova orale che verterà sugli aspetti teorici del programma.
Bibliografia
S. BENENTI, R. MONACO, Calcolo differenziale per le Scienze applicate, CELID, Torino, 1997
E. SERRA, Calcolo integrale per le Scienze applicate, CELID, Torino, 1998
P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Istituzioni di matematica e applicazioni, Liguori, Napoli ,1991
P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di matematica, Vol. 1 ( parte I e II) , Liguori,
Napoli, 1991
M. GIONFRIDDO, B. MATARAZZO, S. MILICI, Esercitazioni di matematiche, CULC, Catania,
1996
R. A. ADAMS, Calcolo differenziale 1 , CEA, Milano,1997