Circonferenza - compiti di esempio

3^A - MATEMATICA
compito n°3 - 2014-2015
1. Determina le equazioni delle circonferenze passanti per l'origine O, tangenti in O alla retta r di
coefficiente angolare m=−2 e aventi diametro di lunghezza d =2  5 .
Considera la circonferenza avente centro nel primo quadrante e indica con A il suo ulteriore
punto di ordinata nulla. Conduci da O il diametro OB e da A la corda AD parallela ad OB.
Dimostra per via sintetica che un diametro di una circonferenza ed una corda parallela al
diametro determinano sulla circonferenza un trapezio isoscele.
Calcola perimetro e area del trapezio OBAD.
2. Prendi un segmento AB di lunghezza AB=6 e scegli un opportuno sistema di coordinate
cartesiane. Verifica che il luogo dei punti P tali che PA/ PB=k (con k 0 ) è una
circonferenza, e trovane centro e raggio. Per quale valore di k il luogo degenera in una retta?
Giustifica per via sintetica l'ultima risposta.
3. Dati i punti P 0, 5 ed R 6 ,3 , determina:
•
l'equazione della circonferenza C1 di diametro PR;
•
gli altri due vertici del quadrato PQRS inscritto nella circonferenza C1;
•
l'equazione della circonferenza C2 inscritta nel quadrato.
Definisci l'asse radicale di due circonferenze e spiega cosa puoi dire dell'asse radicale delle
circonferenze C1 e C2.
3^A - Correzione compito n°3
1. I centri delle circonferenze si trovano sulla retta s passante per
l'origine
e
perpendicolare
y= x / 2 ⇒ x=2 y .
ad
Indichiamo
r,
di
equazione
con P 2 t , t  il
punto
r
C
al raggio della circonferenza:
PO=  2 t 2t 2=  5 ⇒ 5 t 2=5 ⇒ t=±1 .
Le
circonferenze
hanno
quindi
centri C 12 =±2 ,±1 ed
A
O
D
equazioni:
•
 x−22 y−12=5 ⇒ x 2 y 2−4 x−2 y=0 ;
•
 x22 y12=5 ⇒ x 2 y 24 x2 y=0 .
{
s
B
generico della retta s e imponiamo che la distanza PO sia uguale
x 2 y 2−4 x−2 y=0 ⇒ x 2−4 x=0 ⇒ x =0 ; x =4 ⇒ A4 , 0
.
1
2
y=0
Il punto B è il simmetrico di O rispetto a C:
{
x B =2 x C − x O =4 ⇒ B 4 , 2
.
y B =2 y C − y O =2
La retta AD è parallela ad OB e passante per A: y=1/ 2 x−4 ⇒ y= x / 2−2 .
Cerchiamo le intersezioni tra la retta AD e la circonferenza:
{
2
x 2 y 2−4 x−2 y=0 ⇒ x 2 x −2 −4 x−2 x −2=0 ⇒
2
2
y=x /2−2
x 2
x2
8
−2 x4−4 x−x4=0 ⇒ 5 x 2−28 x32=0 ⇒ x 1= ⇒ D 8/5 ,−6/5 .
4
5


Il triangolo CAD è isoscele perché CA e CD sono raggi, per cui CAD=
. Le rette OB e
CDA
A
D




AD sono parallele per ipotesi, per cui: OCD=
e BCA=
perché angoli alterni
CDA
CAD
interni formati con le trasversali CD e CA rispettivamente.


Quindi OCD=
per la proprietà transitiva dell'uguaglianza, e OD= AB perché ad O
BCA
angoli al centro congruenti corrispondono corde congruenti c.v.d.
Sappiamo dal testo che BO=2  5 ; AB=OD= y B − y A=2 ;

5 .
12 2 6 2 6
AD=     =  5 . Quindi 2 pOBAD =416
5
5
5
5
d  A , OB=
4
2  56  5/5 4 32
⋅ =
. Quindi: Area OBAD =
.
2
5
5 5
2. Poniamo l'origine degli assi nel punto medio di AB e l'asse delle ascisse sulla retta AB.
Quindi: A−3 , 0 , B 3 , 0 . Imponiamo che il punto P  x , y appartenga al luogo:
PA
=k ⇒
PB
 x32 y 2 =k
 x−32 y 2
⇒ x 26 x9 y 2=k 2 x 2−6 k 2 x9 k 2 k 2 y 2 ⇒
C
B
1−k 2  x 2 1−k 2  y 261k 2  x91−k 2 =0 . Osserviamo che:
•
se k =1 , l'equazione diventa x=0 , che è quella dell'asse y. Infatti, in questo caso il luogo
richiesto è quello dei punti equidistanti da A e da B, ovvero l'asse del segmento AB;
•
2
2
, ottenendo: x  y 6
1k 2
x9=0 .
1−k 2
se k 0 ∧ k ≠1 , possiamo dividere per 1−k
2
Si tratta di una circonferenza avente centro C 3
k 21
, 0 appartenente all'asse y.
k 2−1

Il raggio misura: r= 9

1k 2 2
1k 2 2−1−k 2 2 12 k
.
−9=3
=
∣1−k 2∣
1−k 2 2
1−k 2 2
A numeratore non è necessario il valore assoluto per la condizione k 0 .
3. La circonferenza C1 ha centro nel punto medio di PR:
C1
M 3 , 4 e raggio r 1=PM =  10 .
La sua equazione è:
2
2
S
P
2
2
 x−3  y−4 =10 ⇒ x  y −6 x−8 y15=0 .
C2
I vertici Q ed S si trovano sul diametro perpendicolare a PR:
m PR =−1/3 ⇒ mQS =3 ⇒ y−4=3 x−3 ⇒ y=3 x−5 .
R
Cerchiamo le intersezioni tra la retta QS e la circonferenza:
{
x 2 y 2−6 x−8 y15=0 ⇒
y=3 x−5
2
Q
2
x 9 x −30 x25−6 x−24 x4015=0 ⇒
2
10 x −60 x80=0 ⇒ x 1=2 ; x 2=4 ⇒ Q 2 , 1 ; S 4 , 7 .
La circonferenza C2 è concentrica a C1 ed ha raggio r 2=r 1 /  2=  5 .
La sua equazione è:  x−32 y−42=5 ⇒ x 2 y 2 −6 x−8 y20=0 .
Riguardo l'asse radicale, vedi pagg. 252-254 del libro di testo.
Le circonferenze C1 e C2, essendo concentriche, non ammettono un asse radicale (o, in un certo senso,
il loro asse radicale è una retta posta “all'infinito”). Infatti, sottraendo membro a membro le loro
equazioni, otteniamo: 5=0 falsa !
3^C PNI – MATEMATICA
compito n°3 - 2011-2012
1. Dati i punti A3 , 0 , B −3 , 0 , D 0 ,1 , determina:
a. il centro C e l'equazione della circonferenza g1 circoscritta al triangolo ABD;
b. le equazioni delle rette t1, t2 e t3 tangenti a g1 rispettivamente nei punti A, B e D;
c. le coordinate dei punti P di intersezione tra t1 e t2 e T di intersezione tra t1 e t3.
d. Detta O l'origine degli assi, dimostra che i triangoli OAP e OAC sono simili.
e. Dimostra che il quadrilatero ACBP è inscrivibile in una circonferenza g2 ed è circoscrivibile
ad una circonferenza g3, e determina le equazioni di tali circonferenze.

 e perché?
f. Quale relazione esiste tra le ampiezze degli angoli ACD
e TAD
2. Determina le equazioni delle circonferenze circoscritta e inscritta al triangolo di vertici
O 0 , 0 , A4 , 4 , B0 ,8 .
3. Risolvi, sia algebricamente che con metodo grafico, la disequazione
 4 x−x 2≤4−x
.
4. Dimostra con metodo analitico che l'asse radicale di due circonferenze generiche (non
concentriche) è perpendicolare alla retta dei centri. Dimostra la stessa proprietà con metodo
sintetico, limitandoti al caso di circonferenze secanti e tangenti.
3^C - Correzione compito n°3
1.
a. Il centro C deve appartenere all'asse del lato AB, che è l'asse y. Ponendo C ≡0 , t  ,
impongo: DC = AC ⇒ 1−t=  9t 2 ⇒ 1−2 tt 2=9t 2 ⇒ t =−4 ,
quindi: C ≡0 ,−4 e r=14=5 . L'equazione della circonferenza g1 è:
x 2 y42=52 ⇒ x 2 y 28 y−9=0 .
b.
4
3
m AC = ⇒ mt1 =− . Equazione t1:
3
4
3
3
9
y=−  x−3 ⇒ y=− x .
4
4
4
P
t3
T
B
D
t2
Poiché t2 è la simmetrica di t1 rispetto all'asse y, la sua
A
t1
C
3
9
equazione è: y= x .
4
4
Poiché t3 è perpendicolare rispetto al raggio CD, la
sua equazione è y=1 .
9
c. Poiché P si trova sull'asse y, le sue coordinate sono: P 0 ,  .
4
y T =1 ⇒
3
9
5
5
x= −1 ⇒ x T = ⇒ T  , 1 .
4
4
3
3
d. I triangoli OAD e OAC sono simili sia per il 3° criterio (in quanto hanno i lati in
proporzione), che per il 1°, in quanto entrambi hanno un angolo retto e gli angoli



perché complementari di OAC
(al limite, anche per il 2°).
ACO=
DAO
e. Il quadrilatero APBC è inscrivibile in una circonferenza g2 in quanto ha gli angoli in A e in B
retti. Per lo stesso motivo, PC è un diametro, quindi il centro della circonferenza circoscritta è
7
7
25
il punto medio di PC: C 2 0 ,−  e il raggio è r 2=C 2 C =− 4=
.
8
8
8
7 2 25 2
7
2
2
L'equazione di g2 è: x  y  =  ⇒ x  y  y−9=0 .
8
8
4
2
Sappiamo che AC =BC e AP=BP perché simmetrici rispetto all'asse y. Quindi, il
quadrilatero APBC è circoscrivibile ad una circonferenza g3 in quanto ACBP=BCBP .
Il centro C3 della circonferenza inscritta deve appartenere all'asse y, che è la bisettrice degli
angoli in C e in P, quindi deve essere: C 3 0 , t  con −4t9/ 4 .
Scrivo le equazioni delle rette AP e AC in forma implicita: 4 x−3 y−12=0 e
3 x4 y−9=0 e impongo che le distanze di C3 da tali rette siano uguali:
∣−3 t−12∣ ∣4 t−9∣
3
=
⇒ 4 t−9=±3 t12 ⇒ t 1=− . (L'altra soluzione t 2=21 non è
7
 169  916
3
accettabile, in quanto esterna al quadrilatero). Quindi C 3 0 ,−  , mentre il raggio r3 si
7
∣
∣
9
15
ottiene sostituendo t1 in una delle distanze trovate: r 3= −12 :5=
.
7
7
3 2 15 2
6
216
2
2
2
=0 .
L'equazione di g3 è quindi: x  y  =  ⇒ x  y  y−
7
7
7
49

 in quanto sono rispettivamente angolo al centro ed angolo alla circonferenza
ACD=2
TAD
f.
relativi alla circonferenza g1 e che insistono sull'arco AD.
2. E' immediato vedere che il triangolo OAB è rettangolo
B
in A, in quanto mOA=1 e m AB =−1 , ed isoscele
sulla base OB, in quanto OA= AB=4  2 .
Essendo rettangolo, il centro della circonferenza
circoscritta è il punto medio dell'ipotenusa C 1 0 , 4
C1
C2
A
ed il raggio è r 1=4 . Quindi, l'equazione della
circonferenza circoscritta è:
x 2 y−42=16 ⇒ x 2 y 2−8 y=0 .
Essendo isoscele, la mediana AC1, di equazione y=4 ,
O
è anche bisettrice, per cui il centro della circonferenza inscritta appartiene a tale retta. Esso avrà
quindi coordinate C 2 t , 4 con 0t4 . La retta OA è la bisettrice del 1° e del 3° quadrante,
per cui la sua equazione in forma implicita è x− y=0 .
Impongo che le distanze di C2 dalle rette OA e OB siano uguali:
4−t
=t ⇒   21t=4 ⇒ t=4  2−1 . Quindi: C 2≡4  2−1 , 4 , r 2=4  2−1 .
2
L'equazione della circonferenza inscritta è:
2
2
 x−4   2−1  y−42=4   2−1 ⇒ x 2 y 2−8  2−1 x−8 y16=0 .
3.
{
2
4 x− x ≥0 ⇒ 0≤ x≤4
⇒ 0≤ x≤2∨ x=4 .
4− x≥0 ⇒ x≤4
2
2
2
4 x− x ≤16−8 x x ⇒ x −6 x8≥0 ⇒ x≤2∨ x≥4
La funzione y=  4 x− x 2 equivale a:
{
y≥0
,
x 2 y 2−4 x=0
e rappresenta la semicirconferenza di centro C 2 , 0 e raggio
r=2 posta nel semipiano delle ordinate positive.
4. Vedi i libri di testo del 3° anno (per il metodo analitico) e del 2° anno
(per quello sintetico).
3^F - MATEMATICA
compito n°3 - 2014-2015
1. Dati i punti A0 ,−6 , B 2 , 0 , D 0 , 6 , determina:
a. il centro C e l'equazione della circonferenza g1 circoscritta al triangolo ABD;
b. le equazioni delle rette t1, t2 e t3 tangenti a g1 rispettivamente nei punti A, B e D;
c. le coordinate del punto E di intersezione tra t1 e t3.
d. Dimostra che il quadrilatero ACDE è inscrivibile in una circonferenza g2 ed è circoscrivibile
ad una circonferenza g3, e determina le equazioni di tali circonferenze.
e. Cosa puoi affermare sugli assi radicali delle coppie di circonferenze g1 e g2, g1 e g3, g2 e g3?
(Non è necessario svolgere i calcoli, ma puoi spiegare i risultati per via sintetica).
2. Determina le equazioni delle circonferenze passanti per i punti P −1 , 0 , Q 0 ,−3 e aventi
raggio r=5 . Considera la circonferenza avente centro C nel primo quadrante e trova la sua
intersezione A con il semiasse positivo delle ordinate.
Disegna la corda AB parallela all'asse delle ascisse, e determina le coordinate del punto D di
intersezione delle tangenti alla circonferenza passanti per A e per B.
(Puoi evitare qualche calcolo ricordando il teorema sulle tangenti alla circonferenza condotte
per un punto esterno ad essa).
3^F - Correzione compito n°3
1.
a. Il centro C deve appartenere all'asse del lato
t3
g1
D
AD, ovvero l'asse x.
g2
Ponendo C t , 0 , ricaviamo:
CD=CB ⇒
t2
 t 262=∣2−t∣
⇒
g3
C
E
B
t 236=4−4 tt 2 ⇒ t=−8 .
Quindi: C −8 , 0 , r=28=10 .
L'equazione della circonferenza g1 è:
2
2
2
2
A
2
 x8  y =10 ⇒ x  y 16 x−36=0 .
b. La
tangente
ad
una
circonferenza
è
t1
perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza: m AC =−3/ 4 ⇒ mt1 =4/3 .
4
4
Equazione t1: y6= x ⇒ y= x−6 .
3
3
4
Poiché t3 è la simmetrica di t1 rispetto all'asse x, essa avrà equazione: y=− x6 .
3
Poiché t2 è perpendicolare al raggio CB, la sua equazione è x=2 .
c. Sommando e sottraendo membro a membro le equazioni di t2 e t3, ricaviamo:
9
x−6 ⇒
y=0
⇒ E  , 0 .
{y=4/3
{
2
y=−4/3 x6
y=−4/3 x6
d. Il quadrilatero ACDE è inscrivibile in una circonferenza g2 in quanto ha gli angoli in A e in D
retti, e perciò gli angoli opposti supplementari. Pertanto g2 ha come diametro CE, come centro
7
7
25
il punto medio di CE C 2 − , 0 e come raggio r 2=C 2 C =− 8=
.
4
4
4
2
2
7
25
7
2
2
2
L'equazione di g2 è:  x   y =  ⇒ x  y  x−36=0 .
4
4
2
Sappiamo che AC=DC e AE= DE perché simmetrici rispetto all'asse x.
Quindi il quadrilatero ACDE è circoscrivibile ad una circonferenza g3 in quanto ha la somma
di due lati opposti congruente alla somma degli altri due.
Il centro C3 della circonferenza inscritta deve appartenere all'asse x, che è la bisettrice degli
angoli in C e in E, quindi possiamo porre C 3 t , 0 con −8t9/ 2 .
Scriviamo le equazioni delle rette CD e DE in forma implicita: 3 x−4 y24=0 e
4 x3 y−18=0 , e imponiamo che le distanze di C3 da tali rette siano uguali:
∣3 t24∣ ∣4 t−18∣
6
=
⇒ 3 t24=±4 t−18 ⇒ t 1=42 ; t 2=− .
7
 916  169
6
La soluzione t1 non è accettabile, in quanto esterna al quadrilatero. Quindi C 3 − , 0 ,
7
∣
mentre il raggio r3 si ottiene sostituendo t2 in una delle distanze: r 3= −
∣
18
30
24 :5=
.
7
7
6 2 2 30 2
12
864
2
2
=0 .
L'equazione di g3 è quindi:  x   y =  ⇒ x  y  x−
7
7
7
49
e. Sappiamo che le tre circonferenze hanno i centri sull'asse delle ascisse e che gli assi radicali
sono perpendicolari alla retta dei centri, quindi essi saranno paralleli all'asse y.
Inoltre, poiché le circonferenze g1 e g2 sono secanti in A e D, il loro asse radicale sarà proprio
l'asse delle ordinate. Invece, poiché g2 e g3 sono l'una interna all'altra, il loro asse radicale sarà
esterno a entrambe.
D
2. Il centro della circonferenza appartiene all'asse del segmento
PQ: m PQ =−3 ⇒ masse =1/3 ; M −1/ 2 ,−3/ 2 .
Equazione asse di PQ:
3 1
1
1
4
y =  x  ⇒ y= x− ⇒ x=3 y4 .
2 3
2
3
3
Indichiamo le coordinate del centro: C 3 t4 , t  .
Imponiamo: CA=r ⇒
3 t5 t =25
2
2
B
A
P
C
⇒
Q
10 t 230 t=0 ⇒ t 1=−3 ; t 2=0 .
Ricaviamo le equazioni delle circonferenze:
C 1 −5 ,−3 ⇒  x52 y32=25 ⇒ x 2 y 210 x6 y9=0 ;
2
2
2
2
C 2 4 , 0 ⇒  x−4  y =25 ⇒ x  y −8 x−9=0 .
La circonferenza che ci interessa è la seconda, per cui:
{
2
2
x  y −8 x−9=0 ⇒ y 2 =9 ⇒ y=±3 ⇒ A0 , 3 ⇒ B 8 , 3
.
x=0
La tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza:
m AC =−
3
4
4
4
⇒ mtg A = ⇒ y−3= x ⇒ y= x3 .
4
3
3
3
Il vertice D è l'intersezione della tangente in A con l'asse della corda AB:
{
y=4/3 x3 ⇒ y= 16 3= 25 ⇒ D 4 , 25 
3
3
3 .
x=4