LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
Unità 9
Esercizi per il recupero
ARGOMENTO: La circonferenza e le sue proprietà
CONTENUTI:
Archi, corde, angoli al centro e alla circonferenza
Posizioni reciproche retta/circonferenza, circonferenza/ circonferenza
Poligoni inscritti e circoscritti
INDICAZIONI DI LAVORO
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Utilizzando lo schema riassuntivo rivedi con cura gli enunciati dei teoremi studiati
→
Controlla se conosci i termini inseriti nel glossario
→
Rifai gli esercizi svolti del libro di testo, controllando se fai errori
→
Svolgi i seguenti esercizi
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Correggili, utilizzando la correzione
ESERCIZIO 1
Dato il segmento AB con punto medio M, sia γ la circonferenza con centro in un punto O non appartenente
ad AB, tangente in M ad AB e con raggio minore di AM. Dai punti A e B si conducano le ulteriori rette
tangenti a γ. Siano P e Q i rispettivi punti di tangenza, sia poi R il loro punto di intersezione.
Dimostra che
1. il triangolo ABR è isoscele
2. i punti R,O,M sono allineati.
3. L’angolo B Â R è supplementare a PÔM .
ESERCIZIO 2
ABCD è un trapezio isoscele, di base maggiore AB, tale che l’altezza sia congruente alla proiezione di
ciascuno dei lati obliqui CB e AD sulla base maggiore. Dimostra che
1. detti M e N i punti medi di AD e BC e H e K le proiezioni ortogonali di D e C sulla base maggiore AB,
le rette rKN e rHM si intersecano in un punto P che è centro sia della circonferenza passante per i
vertici del trapezio sia della circonferenza tangente ai lati obliqui del trapezio.
2. P appartiene alla bisettrice dell’angolo formato dalle rette dei lati AD e CB
3. il quadrilatero che ha come vertici i punti M, P, N e il punto di intersezione delle rette dei lati AD e CB
è un quadrato.
ESERCIZIO 3
La bisettrice dell’angolo di vertice C del triangolo ABC inscritto in una circonferenza γ interseca la
circonferenza nel punto D; la retta parallela al lato AC e passante per il punto D interseca la corda BC in F e
la circonferenza γ in E. Dimostra che:
1. i triangoli BFD e CFE sono congruenti;
2. le corde EB e CD sono parallele;
3. il quadrilatero ADEC è un trapezio isoscele.
ESERCIZIO 4
Date due circonferenze γ e γ’ di centri O e O’ tangenti esternamente in A e tali che il raggio di γ sia doppio di
quello di γ’. Siano B e C i punti diametralmente opposti ad A in γ’ e γ rispettivamente.
La retta, passante per B e tangente a γ in E, interseca γ’ in D. La retta BE interseca in P la retta tangente in A
alle due circonferenze ed in Q la retta tangente w a γ in C.
Dimostra che:
1. AD è asse del segmento BE;
2. O’D è parallelo ad AE;
3. O’AD e AOE sono triangoli equilateri;
4. P è ortocentro del triangolo BOS dove { S }= r(OE)∩r(AP);
5. PACQ è un trapezio rettangolo con il lato obliquo uguale alla somma delle basi.
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
ESERCIZIO 5
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB inscritto in una circonferenza di centro O e diametro CD. Detto
H il punto di intersezione fra il diametro e la base AB (H compreso fra O e D), sia E il corrispondente di D
nella simmetria di centro H e sia F il punto di intersezione fra la retta rAE e la corda CB. Dimostra che:
1. AF è perpendicolare a BC e deduci che il punto E è........;
2. EHBF è inscrittibile in una circonferenza di cui si chiede di indicare il diametro;
3. AHFC è inscrittibile in una circonferenza di cui si chiede di indicare il centro;
4. detto G il punto di intersezione delle rette t ed s tangenti la circonferenza rispettivamente in A ed in
B, il quadrilatero AGBC è circoscrittibile ad una circonferenza di cui si chiede di indicare come si
ottiene il centro.
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dell’angolo AĈB .
5. l’angolo EÂG è congruente a
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ESERCIZIO 6
Nella circonferenza γ è inscritto il quadrato ABCD di cui a e b sono gli assi dei lati opposti. Preso sull’arco AD
che non contiene B e C un punto P, sia E un punto della semiretta PA tale che il segmento EP sia
congruente al segmento PC.
Dimostra che :
1. la semiretta di origine P e passante per B è bisettrice dell’angolo AP̂C
2. il triangolo PEC è rettangolo
3. il quadrilatero PECD è un trapezio
4. il quadrilatero PEBC è circoscrittibile ad una circonferenza
5. gli archi arcoPF e arcoAB sono congruenti (avendo ottenuto F intersecando CE con la circonferenza).
ESERCIZIO 7
Sia γ una circonferenza di centro O e γ‘ una circonferenza di raggio maggiore, con centro O’ e passante per
O. Siano A e B i punti di intersezione delle due circonferenze e sia OP un diametro di γ‘.
Dimostra che le corde PA e PB sono tangenti alla circonferenza γ .
Sia poi s la retta parallela ad AO e passante per O’. Indicati con M e K i punti di intersezione della retta s
rispettivamente con AP e PB e indicato con H il punto di intersezione fra le rette rAO e rPB , dimostra che
1.
la retta s è asse di AP
2.
gli angoli MK̂P e AĤP sono congruenti
3.
gli angoli HÔB e AP̂H sono congruenti
ESERCIZIO 8
Sia data una circonferenza γ di centro O e un punto P esterno, da cui sono condotte le rette tangenti rPA e rPB
con A e B punti di tangenza. La retta rPO interseca la circonferenza nei punti C e D (con PC<PD).
La bisettrice dell’angolo PÔA interseca la circonferenza γ nel punto E, mentre la retta t, tangente in D alla
circonferenza, interseca la retta rPA in R. Dimostra che
1. il raggio OE è parallelo alla corda AD
2. sommando gli angoli AP̂D, DÂO, AD̂O si ottiene un angolo retto
gli angoli DÂO e CÂP sono congruenti
il quadrilatero RDOA è inscrittibile in una circonferenza
la semiretta di origine A passante per D è la bisettrice dell’angolo RÂB
il quadrilatero OAKH è inscrittibile in una circonferenza, indicando con H il punto comune ai
segmenti AB e OP e con K il punto comune ai segmenti OE e AC. Indica poi il centro di tale
circonferenza.
7. i segmenti CQ e OA sono perpendicolari, essendo Q il punto comune ai segmenti OK e AH.
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