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MMFI

Appunti del corso di
METODI MATEMATICI DELLA FISICA
Guido Cognola
∗
anno accademico 2006-2007
Questi appunti sono essenzialmente la trascrizione, in maniera schematica e concisa, delle lezioni svolte
nel corso di Metodi Matematici della Fisica – Prima Unità – nell’anno accademico 2006-2007.
Il materiale è preso dai libri di testo consigliati e non deve assolutamente diventare un sostituto degli
stessi.
∗ e-mail:[email protected]
Indice
1 Numeri complessi
4
2 Funzioni di variabile complessa
4
2.1
Alcune funzioni importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Funzioni analitiche
3.1
7
8
Condizioni di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Integrazione nel campo complesso
8
9
4.1
Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.2
Rappresentazione integrale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5 Sviluppi in serie di Taylor e Laurent
13
5.1
Singolarità isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
5.2
Singolarità all’inﬁnito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
6 Classificazione delle funzioni
17
7 Residui
17
7.1
Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
7.2
Indicatore logaritmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
7.3
Sviluppo di Mittag-Leﬄer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
8 Prolungamento analitico
21
8.1
Metodo di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8.2
Punti di diramazione e funzioni polidrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8.3
Funzioni con bordo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
9 Funzioni speciali
24
9.1
Funzione Gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
9.2
Funzione Zeta di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
10 Complementi
27
10.1 Lemma di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
10.2 Somma di serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
10.3 Integrazione di funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
10.4 Valore principale di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
10.5 Trasformate di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
i
11 Applicazioni
32
11.1 Integrali di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
11.2 Sviluppi di Mittag-Leﬄer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
11.3 Quantizzazione secondo Bohr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
12 Spazio Euclideo (complesso)
39
12.1 Esempi di spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
12.2 Sistemi ortonormali chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
12.3 Teorema di Riesz-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
12.4 Lo spazio L2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
12.5 Basi ortonormali in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
12.5.1 Sistema trigonometrico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
12.6 Forma complessa della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
13 Serie di Fourier
46
13.1 Convergenza della serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
13.1.1 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
14 Integrale di Fourier
48
14.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
14.2 Alcune importanti proprietà della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
14.3 Trasformata di Fourier in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
14.4 Soluzione di equazioni diﬀerenziali mediante la trasformata di Fourier . . . . . . . . . . .
50
14.5 Trasformata di Fourier in L2 (−∞, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
14.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
15 Trasformata di Laplace
55
15.1 Proprietà della trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
15.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
15.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
ii
Testi consigliati
E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions, second editions, Oxford U.P. (1968).
A.N. Kolmogorov and S.V. Fomin. Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. Edizioni
MIR 1980.
M.R. Spiegel, Teoria ed Applicazioni delle Variabili Complesse, Collana Schaum, Etas Libri, Milano
(1985).
G.Arfken, H. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Harcourt Academic Press (2001).
iii
PRIMA PARTE
Definizioni e richiami
• Un insieme si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa contenuta al suo interno è contrattibile ad un punto. Di seguito, se non speciﬁcato diversamente, con D si indicherà sempre un
insieme semplicemente connesso.
• IR e C
I rappresentano i campi dei numeri reali e complessi rispettivamente. Se non speciﬁcato
altrimenti, x, y, ϑ saranno variabili reali, z = x + iy sarà una variabile complessa, z ∗ ≡ z̄ = x − iy
la sua variabile coniugata, |z| il modulo, x = Re z, y = Im z e ϑ = arg z la parte reale, la parte
immaginaria e l’argomento rispettivamente.
• Con γ, Γ si indicheranno curve generiche nel piano complesso e con C curve chiuse. Il verso di
percorrenza di una curva chiusa si dirà positivo se lungo il cammino la regione interna rimane
sempre a sinistra della curva stessa. Di fatto, se la regione interna contiene solo punti al ﬁnito,
allora il verso di percorrenza positivo coincide con il verso antiorario, mentre coincide con il verso
orario se la regione interna contiene l’inﬁnito.
• Di norma, con f (z) si indicherà una funzione ad un solo valore deﬁnita in un dominio semplicemente
connesso D.
Sviluppi in serie
• serie esponenziale:
ex =
∞
X
xn
,
n!
n=0
(|x| < ∞) ;
• serie iperbolica:
cosh x =
∞
X
x2n
,
(2n)!
n=0
sinh x =
∞
X
n=0
x2n+1
,
(2n + 1)!
(|x| < ∞) ;
• serie trigonometrica:
cos x =
∞
X
(−1)n
n=0
x2n
,
(2n)!
∞
X
sin x =
(−1)n
n=0
x2n+1
,
(2n + 1)!
(|x| < ∞) ;
• serie logaritmica:
log(1 + x) = −
∞
X
n=1
(−1)n
xn
,
n
(|x| < 1) ;
• serie geometrica:
∞
X
1
xn ,
=
1 − x n=0
(|x| < 1) ;
∞
X
1
1
=−
,
n
1−x
x
n=1
1
(|x| > 1) ;
• derivata della serie geometrica:
∞
X
1
(n + 1)xn ,
=
(1 − x)2
n=0
(|x| < 1) ;
∞
X
1
n−1
=
,
1 − x n=2 xn
(|x| > 1) ;
• radice quadrata:
√
x x2
1+x∼1+ −
+ ... ,
2
8
√
1
x 3x2
+ ... ,
∼1− +
2
8
1+x
2
(|x| < 1) ;
3
1
Numeri complessi
I numeri complessi emergono in modo naturale come soluzione delle equazioni algebriche di grado superiore al primo1 e si trovano nelle opere di alcuni matematici del XVI secolo come Girolamo Cardano e
Rafael Bombelli. Quest’ultimo in particolare studiò le loro proprietà. Il termine “immaginari”, dovuto a
René Descartes (1596-1650), viene introdotto per indicare delle soluzioni a quel tempo considerate ﬁttizie
e irreali. Come conseguenza di questa terminologia, i numeri “non immaginari” vengono chiamati “reali”
nel IXX secolo.
Da un punto di vista formale, un numero complesso z è deﬁnito come una coppia ordinata di numeri
reali z ≡ (x, y) e con
√ tale notazione, l’unità reale e immaginaria sono rappresentate rispettivamente dalle
coppie 1 ≡ (1, 0) e −1 ≡ i ≡ (0, 1).
Dal punto di vista del calcolo è molto più utile usare la notazione algebrica z = x + iy a cui corrisponde
un’intuitiva rappresentazione graﬁca (geometrica)2 . In questa notazione x = Re z e y = Im z sono dette
rispettivamente parte reale e parte immaginaria del numero complesso z.
Dalla rappresentazione geometrica è immediato ottenere la rappresentazione polare (o trigonometrica)
z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) ,
ρ = |z| ,
tan ϑ =
y
,
x
p
dove ρ = x2 + y 2 e ϑ = arg z sono detti rispettivamente modulo e argomento di z. La rappresentazione
polare può essere scritta usando la formula di Eulero3
eiϑ = cos ϑ + i sin ϑ
eiπ = −1 ,
=⇒
che si dimostra rapidamente confrontando gli sviluppi di Taylor delle funzioni trigonomatriche e dell’esponenziale. In questo modo si ottiene
z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = ρ eiϑ
e questa espressione permette di ricavare rapidamente le formule
z1 z2 = ρ1 ρ2 ei(ϑ1 +ϑ2 ) ,
(n)
zk
= e2πik/n ,
k = 0, 1, 2, ..., n − 1 ,
(n)
(n)
dove zk sono le n radici n − esime dell’unità, ossia [zk ]n = 1, mentre le radici di un numero qualsiasi
z = ρeiϑ sono
(n)
zk
2
=
√
n
ρ ei(ϑ+2πk)/n ,
(n)
[zk ]n = z ,
k = 0, 1, ..., n − 1 .
Funzioni di variabile complessa
L’estensione dei concetti di funzione, limite e continuità dal campo dei numeri reali a quello dei numeri
complessi non presenta particolari diﬃcoltà in quanto una funzione complessa f (z) si può vedere come
somma di due funzioni reali (di due variabili), vale a dire
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ,
u(x, y) = Re f (z) ,
v(x, y) = Im f (z) .
1 Teorema fondamentale dell’algebra: ogni equazione algebrica di grado arbitrario ha almeno una radice nel campo
complesso, sia che i coefficienti siano reali o complessi (Carl Friedrich Gauss, 1799).
2 Questa rappresentazione era usata da Gauss nelle dimostrazioni, ma non compariva nelle pubblicazioni ufficiali in quanto
“non ortodossa”.
3 Leonhard Eulero (1707-1783).
4
Im z
z
Im z
z2
z1
y
θ
0
z3
x
z0
0
Re z
Re z
z4
z
Figura 1: rappresentazione geometrica (a sinistra) ——
√
6
5
1 (a destra)
Ad esempio f (z) si dirà continua nel punto z0 se ﬁssato ε > 0 esiste δ > 0 per cui
|f (z) − f (z0 )| < ε ,
∀z tale che |z − z0 | < δ .
Usando la disuguaglianza triangolare si veriﬁca facilmente che f (z) è continua in z0 = x0 + iy0 se e solo
se u(x, y) e v(x, y), come funzioni di due variabili, sono continue nel punto P0 ≡ (x0 , y0 ).
L’estensione del concetto di derivata è più “problematica” in quanto il rapporto incrementale in generale
ha un limite che dipende da come tendono a zero gli incrementi che lo deﬁniscono. Per chiarire meglio
questo concetto si consideri la funzione complessa di variabile complessa
f (z) = z + 2z̄ = u(x, y) + iv(x, y)
=⇒
u(x, y) = 3x ,
v(x, y) = −y
e il rapporto incrementale
f (z) − f (z0 )
∆ u(x, y) + i∆ v(x, y)
3∆ x − i∆ y
∆ f (z)
≡
=
=
.
∆z
z − z0
∆ x + i∆ y
∆ x + i∆ y
Nel limite in cui ∆ z → 0 questo dovrebbe deﬁnire la derivata della funzione in z0 , ma si vede chiaramente
che questo limite non è unico. Esistono infatti inﬁniti limiti corrispondenti agli inﬁniti modi di far tendere
∆ z = z − z0 → 0. Ad esempio, facendo tendere a zero prima ∆ x e successivamente ∆ y si ottiene
lim
lim
∆ y→0 ∆ x→0
3∆ x − i∆ y
= −1 .
∆ x + i∆ y
Viceversa, scambiando l’ordine si ricava
lim
lim
∆ x→0 ∆ y→0
3∆ x − i∆ y
= 3.
∆ x + i∆ y
Più in generale si può porre ∆ y = α∆ x e quindi
lim
∆ x→0
3∆ x − i∆ y
3∆ x − iα∆ x
4
= lim
= −1 +
,
∆ x→0
∆ x + i∆ y
∆ x + iα∆ x
1 + iα
da cui segue che il limite dipende dal rapporto α = ∆ y/∆ x.
5
La funzione f (z) si dirà diﬀerenziabile in z0 quando il limite del rapporto incrementale esiste ed è unico
e più precisamente, se e solo se esiste un numero λ ∈ C
I e una funzione ω(z, z0 ) tali che
f (z) − f (z0 ) = λ(z − z0 ) + ω(z, z0 ) ,
ω(z, z0 )
= 0.
z − z0
lim
z→z0
(2.1)
In tal caso λ = df /dz|z=z0 si dirà derivata di f (z) in z0 . Per quanto visto sopra, la derivabilità di u(x, y)
e v(x, y) non è suﬃciente a garantire la derivabilità di f (z). Una funzione f (z) diﬀerenziabile in z0 e in
un suo intorno sarà detta analitica in z0 . (a volte viene usato anche il termine olomorfa). Una funzione
diﬀerenziabile in tutti i punti z ∈ D si dirà analitica in D.
Teorema – Ogni serie di potenze in z deﬁnisce una funzione diﬀerenziabile nel dominio di convergenza
della serie.
Dimostrazione – Si consideri una serie di potenze con raggio di convergenza uguale a r. Allora
f (z) ≡
X
an z n < ∞ per ogni z tale che |z| < r = lim
g(z) ≡
X
nan z n−1 < ∞ per ogni z tale che |z| < r .
n
n
n→∞
|an |
,
|an+1 |
Per dimostrare il teorema basta veriﬁcare che g(z) è la derivata di f (z) secondo la deﬁnizione data sopra,
ossia che
lim
h→0
ω(z + h, z)
= 0,
h
ω(z + h, z) = f (z + h) − f (z) − hg(z) .
A tale scopo sia ρ < r, |z| < ρ e |z + h| ≤ |z| + |h| < ρ. Poiché la serie converge deve esistere K tale che
|an ρn | ≤ K, ∀n. Ricordando lo sviluppo binomiale
n
(z + h) =
n
X
bk z n−k hk ,
b0 = bn = 1 , b1 = bn−1 = n , ...
bk (coeﬃcienti binomiali),
k=0
si ottiene
(z + h)n − z n
− nz n−1
h
=
n
X
bk z n−k hk−1
k=2
≤
n
X
k=2
bk |z|n−k |h|k−1 =
(|z| + |h|)n − |z|n
− n|z|n−1 .
h
Usando ora questa maggiorazione nella serie che deﬁnisce ω(z + h, z) e ricordando lo sviluppo della serie
geometrica e della sua derivata si ricava
ω(z + h, z)
h
(|z| + |h|)n − |z|n
− n|z|n−1
|h|
n
X 1 (|z| + |h|)n − |z|n
n−1
≤ K
− n|z|
ρn
|h|
n
1
1
|h|
Kρ
−
−
=
|h| ρ − |z| − |h| ρ − |z| (ρ − |z|)2
Kρ|h|
,
=
(ρ − |z| − |h|)(ρ − |z|)2
≤
X
|an |
6
che tende a zero per h → 0 e quindi la serie è diﬀerenziabile in ogni punto interno al raggio di convergenza.
Come si vedrà in seguito, questo è un caso particolare di un teorema generale sullo sviluppo in serie di
potenze delle funzioni analitiche.
2.1
Alcune funzioni importanti
La funzione esponenziale, le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche si possono deﬁnire per ogni
valore dell’argomento usando gli sviluppi in serie, che hanno raggio di convergenza inﬁnito. Quindi
ez =
∞
X
zn
,
n!
n=0
cos z =
∞
X
(−1)n
n=0
cosh z =
z 2n
,
(2n)!
∞
X
z 2n
,
(2n)!
n=0
sin z =
∞
X
(−1)n
n=0
sinh z =
∞
X
n=0
z 2n+1
.
(2n + 1)!
z 2n+1
.
(2n + 1)!
Come nel campo reale, per ogni z ∈ C
I valgono le formule di Eulero
eiz = cos z + i sin z ,
cos z =
eiz + e−iz
,
2
sin z =
eiz − e−iz
2i
e inoltre
ez = cosh z + sinh z ,
cosh z =
ez + e−z
,
2
sinh z =
ez − e−z
.
2
E’ chiaro che nel campo complesso la distinzione fra funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche è
puramente formale. Infatti valgono le relazioni
sin iz = i sinh z ,
cos iz = cosh z .
Le funzioni iperboliche hanno proprietà simili a quelle trigonometriche ma non identiche, quindi si deve
fare un po’ di attenzione quando si usano. Valgono le proprietà
cosh2 z − sinh2 z = 1 ,
d
sinh z = cosh z ,
dz
cos2 z + sin2 z = 1 ,
d
cosh z = sinh z ,
dz
d
sin z = cos z ,
dz
d
cos z = − sin z .
dz
Il logaritmo si può deﬁnire come funzione inversa dell’esponenziale richiedendo che goda delle proprietà
note. Usando la rappresentazione polare si ha
z = |z|ei arg z
=⇒
log z = log |z| + i arg z .
Si vede subito che in questo caso si va incontro ad una situazione completamente nuova in quanto e2πi = 1.
Questo signiﬁca che il logaritmo è una funzione polidroma ad inﬁniti valori, che dipendono da come si
sceglie l’argomento di z. A volte si trova la notazione
Log z = log z + 2πik = log |z| + i arg z + 2πik ,
7
0 ≤ arg z ≤ 2π ,
k ∈ ZZ ,
dove con Log z si intende la funzione completa ad inﬁniti valori e con log z solo la determinazione principale
in cui l’argomento di z è compreso in [0, 2π] o [−π, π] e per la quale si ha log 1 = 0. Nei rami successivi
della funzione si ha invece Log 1 = 2πik.
3
Funzioni analitiche
Come già detto sopra, una funzione derivabile in un punto z0 e in un suo intorno si dice analitica.
3.1
Condizioni di Cauchy-Riemann
Una condizione necessaria (ma non suﬃciente) per l’analiticità di f (z) = u(x, y) + iv(x, y) è che le sue
componenti soddisﬁno le condizioni di Cauchy-Riemann
u′x ≡
∂u(x, y)
∂v(x, y)
=
≡ vy′ ,
∂x
∂y
u′y ≡
∂u(x, y)
∂v(x, y)
=−
≡ −vx′ .
∂y
∂x
Se queste condizioni non sono soddisfatte in un punto z0 si può immediatamente aﬀermare che la funzione
f (z) non è analitica in z0 . In generale però le condizioni di Cauchy-Riemann da sole non sono suﬃcienti
per determinare l’analiticità di f . Aﬃnché questo avvenga si deve richiedere anche la continuità di tutte
le derivate prime di u e v.
Per vedere che queste condizioni sono necessarie consideriamo una funzione f (z) analitica in z0 . Poiché
la funzione è derivabile si ha
∆ f (z)
∆z
=
=
∆ f (z)
u′ ∆ x + ivx′ ∆ x
= x
= u′x + ivx′ ,
∆x
∆x
u′y ∆ y + ivy′ ∆ y
∆ f (z)
=
= vy′ − iu′y ,
i∆ y
i∆ y
da cui seguono le condizioni di Cauchy-Riemann e inoltre
f ′ (z) ≡
df (z)
= u′x + ivx′ = vy′ − iu′y .
dz
Come si vedrà in seguito, la derivata di una funzione analitica è ancora una funzione analitica e quindi
le funzioni analitiche ammettono derivate di qualunque ordine e in particolare la derivata seconda. Per
questa si ha
f ′′ (z) ≡
d2 f (z)
=
dz 2
′′
u′′xx + ivxx
′′
−u′′yy − ivyy
′′
′′
u′′xx + u′′yy = vxx
+ vyy
= 0.
=⇒
La parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica sono entrambe funzioni armoniche, vale
a dire che soddisfano l’equazione di Laplace
∆ u(x, y) =
∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y)
+
= 0,
∂x2
∂y 2
∆ v(x, y) =
∂ 2 v(x, y) ∂ 2 v(x, y)
+
= 0.
∂x2
∂y 2
Un’altra importante proprietà delle funzioni analitiche consiste nel fatto che il piano (x, y) e il piano
(u, v) sono conformemente correlati. Una funzione f (z) connette il punto P ≡ (x, y) nel piano (x, y) al
punto P̃ ≡ (u, v) nel piano (u, v) e al variare del punto stabilisce una corrispondenza fra una curva γ(x,y)
1
2
nel piano (x, y) e una curva γ̃(u,v) nel piano (u, v). Più in generale, siano date due curve γ(x,y)
e γ(x,y)
1
2
che si intersecano nel punto P ≡ (x, y) formando un angolo α e le curve corrispondenti γ̃(u,v) γ̃(u,v) che
si intersecano nel punto P̃ ≡ (u, v) formando un algolo α̃. Allora se la funzione f è analitica α ≡ α̃ e
questo signiﬁca che la trasformazione generata da f è una trasformazione conforme (preserva gli angoli).
In particolare, le curve nel piano che corrrispondono a f = costante sono ortogonali fra loro.
8
4
Integrazione nel campo complesso
L’integrale di una funzione complessa f (z) lungo la curva orientata γ si può ricondurre ad una coppia di
integrali reali osservando che
f (z) dz = (u + iv)(dx + idy) = (u dx − v dy) + i(v dx + u dy) .
Pertanto si deﬁnisce
Z
dz f (z) =
γ
Z
[u(x, y) dx − v(x, y) dy] + i
γ
Z
[v(x, y) dx + u(x, y) dy] .
γ
Se la funzione f (z) è limitata e la curva γ è rettiﬁcabile si ha (teorema di Darboux)
Z
γ
dz f (z) ≤ Kℓγ ,
sup |f (z)| ≤ K ,
ℓγ =
z∈γ
Z
ds ,
(4.1)
γ
p
dove ds = dx2 + dy 2 è l’elemento di linea. La dimostrazione di questo teorema deriva direttamente
dalle proprietà dell’integrale, infatti
Z
γ
4.1
dz f (z) ≤
Z
γ
|dz| |f (z)| ≤ K
Z
ds = Kℓγ .
γ
Teorema di Cauchy
Andiamo ora a dimostrare uno dei teoremi più importanti dell’analisi complessa.
Teorema di Cauchy – Sia f (z) una funzione (ad un valore) analitica deﬁnita in un insieme semplicemente connesso D e C una curva chiusa contenuta nel dominio D (o sulla frontiera). Allora
I
dz f (z) = 0 .
(4.2)
C
Questa formulazione del teorema è dovuta a Goursat. Nella versione originale di Cauchy si assumeva
anche la continuità della derivata prima di f .
Dimostrazione – Anche qui per semplicità assumiamo f (z) = u + iv analitica e con derivata continua.
Senza questa ipotesi (in eﬀetti ridondante) la dimostrazione risulta assai complicata.
Si introduca il vettore dr ≡ (dx, dy) nel piano (x, y) e i due campi di vettori F ≡ (u, −v), G ≡ (v, u) nel
piano (u, v). Usando queste notazioni di ha
I
dz f (z) =
C
I
C
dr · F + i
I
C
dr · G .
L’ipotesi di continuità di f ′ (z), ossia di u′ (x, y) e v ′ (x, y) permette di applicare il teorema di Stokes. In
tal modo si ottiene
I
C
dz f (z) =
Z
Σ
dσ rot F · n + i
Z
Σ
dσ rot G · n ,
(4.3)
dove Σ è la superﬁcie racchiusa dalla curva C e n è il versore normale a tale superﬁcie (è un versore
costante perché la superﬁcie è piana). Usando le condizioni di Cauchy-Riemann si ha
rot F = u′y + vx′ = 0 ,
rot G = vy′ − u′x = 0
9
e questo implica che l’integrale (4.3) si annulla come dovevasi dimostrare.
Corollario – 1. Sia f (z) una funzione analitica in D e C una curva chiusa avente almeno un tratto
contenuto in D. Allora
Z
Z
dz f (z) =
dz f (z) ,
C̃
C
dove C̃ è una curva ottenuta mediante un’arbitraria deformazione di C nella regione di analiticità D.
Se f è interamente contenuta in D allora il risultato è banale in quanto l’integrale è nullo qualunque sia
la curva chiusa (in D). Il risultato diventa signiﬁcativo quando solo un tratto di cammino γ è contenuto
in D. In tal caso l’integrale non è necessariamente nullo (non vale il teorema di Cauchy in quanto la
curva C non è interamente in D). Il risultato precedente si ottiene osservando che la diﬀerenza fra i due
integrali sopra coincide con l’integrale di f fatto lungo la curva chiusa ottenuta dall’unione di γ con la
sua deformazione γ̃. Questa è interamente contenuta in D e pertanto l’integrale di f su tale curva è nullo
per il teorema di Cauchy.
Corollario – 2. Se f (z) è una funzione analitica in D, allora l’integrale
F (z0 , z1 ) =
Z
z1
dz f (z) ,
∀z0 , z1 ∈ D ,
z0
non dipende dal cammino.
Questo è una diretta conseguenza del fatto che la diﬀerenza fra gli integrali di f fatti lungo due cammini
arbitrari (in D), che portano da z0 a z1 coincide con l’integrale della funzione lungo la curva chiusa
ottenuta dall’unione dei due cammini e questo integrale è nullo per il teorema di Cauchy.
Teorema fondamentale del calcolo – Sia f (z) una funzione analitica in un dominio semplicemente
connesso D e z0 ∈ D un punto arbitrario, allora la funzione
F (z) =
Z
z
dw f (w) ,
∀z ∈ D
z0
è analitica in D e F ′ (z) = f (z).
Dimostrazione – Per il teorema di Cauchy l’integrale di f (z) non dipende dal cammino e quindi le
uno-forme dU = u dx − v dy e dV = v dx + u dy sono esatte in quanto
Z
z
dw f (w) =
Z
z
z0
z0
(u dx − v dy) + i
Z
z
(v dx + u dy) .
z0
Si ha quindi
F (z) =
Z
(x,y)
dU (x, y) + i
(x0 ,y0 )
Z
(y,y)
(x0 ,y0 )
dV (x, y) = U (x, y) − U (x0 , y0 ) + i[V (x, y) − V (x0 , y0 )] ,
da cui segue che F (z) è una funzione analitica poiché U e V soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann
e hanno derivate continue, infatti
∂V
∂U
=u=
,
∂x
∂y
∂V
∂U
=v=−
∂x
∂y
e inoltre
F ′ (z) = Ux′ + iVy′ = Vy′ − iUy′ = u + iv = f (z) .
10
4.2
Rappresentazione integrale di Cauchy
Un altro teorema fondamentale per l’analisi complessa dal quale derivano importanti conseguenze è il
seguente.
Teorema (rappresentazione integrale di Cauchy) – Sia f (z) una funzione analitica in D, C una
qualunque curva chiusa contenuta in D (o sulla frontiera) e z un punto arbitrario contenuto (strettamente)
all’interno di C. Allora
1
f (z) =
2πi
I
dw
C
f (w)
.
w−z
Questo signiﬁca che il valore di una funzione analitica in un punto arbitrario è determinato dai valori che
la funzione assume lungo una qualunque curva chiusa che racchiude il punto stesso.
Si osservi che la funzione integranda non è analitica in quanto diverge per w = z e quindi non vale il
teorema di Cauchy (4.2), altrimenti l’integrale sarebbe nullo.
Dimostrazione – Si consideri un cammino chiuso Cε ≡ Γε + γε (r) + γ+ + γ− che non contiene z al suo
interno (vedi ﬁgura 2). Γε è un cammino aperto che coincide con C a parte un piccolo tratto di lunghezza
(inﬁnitesima) ε; γε (δ) è un arco di circonferenza di raggio δ (inﬁnitesimo) (percorso in senso orario) che
circonda il punto z, mentre γ+ e γ− sono due tratti paralleli a distanza inﬁnitesima ε, ma percorsi in
senso opposto.
La funzione integranda è analitica all’intenrno di Cε per cui si ha
0=
I
dw
Cε
f (w)
=
w−z
Z
dw
Γε
f (w)
+
w−z
Z
dw
γε (δ)
f (w)
+
w−z
Z
f (w)
+
w−z
dw
γ+
Z
dw
γ−
f (w)
.
w−z
Nel limite in cui ε → 0 la curva aperta Γε diventa la curva chiusa C, l’arco di circonfrenza γε (δ) diventa
una circonferenza di raggio δ e i due tratti paralleli γ± diventano coincidenti. Tenendo conto che questi
due ultimi tratti sono percorsi in senso opposto si ottiene
I
C
dw
f (w)
= lim
w − z ε→0
Z
dw
Γε
f (w)
= − lim
ε→0
w−z
Z
dw
γε (r)
f (w)
=
w−z
I
|w−z|=δ
dw
f (w)
.
w−z
L’ultimo integrale è fatto su una circonferenza di raggio δ e si può calcolare usando la rappresentazione
polare e l’analiticità di f (z). Si ha infatti
w − z = δ eiϑ ,
dw = iδ eiϑ dϑ ,
f (w) = f (z) + f (w) − f (z) ,
per cui
I
dw
|w−z|=δ
f (w)
w−z
= if (z)
Z
2π
dϑ +
0
= 2πif (z) +
I
I
dw
|w−z|=δ
dw
|w−z|=δ
f (w) − f (z)
w−z
f (w) − f (z)
.
w−z
Il risultato richiesto si ottiene prendendo il limite δ → 0. In questo caso infatti l’ultimo integrale si
annulla poiché la funzione integranda è derivabile in z (basta applicare il lemma di Darboux).
Corollario – Ogni funzione analitica in D è inﬁnitamente derivabile e la derivata n − esima è una
funzione analitica in D data da
f (n) (z) =
n!
2πi
I
C
dw
f (w)
.
(w − z)n+1
(4.4)
11
Γε
γ_
δ
ε
γ+
γ
ε
Cε = Γε + γ+ + γε + γ_
Figura 2: Rappresentazione integrale di Cauchy (cammino usato)
Dimostrazione – Dal teorema precedente si ottiene
1
f (z + h) − f (z)
=
h
2πhi
I
dw f (w)
C
I
1
1
f (w)
1
=
−
.
dw
w−z−h w−z
2πi C
(w − z)(w − z − h)
Nel limite h → 0 si ottiene il risultato per n = 1. Per ottenere il risultato per n arbitrario si può procedere
per induzione. Si dimostra che se la formula è valida per n − 1 allora vale anche per n. Si ha infatti
f (n−1) (z + h) − f (n−1) (z)
h
=
=
I
1
(n − 1)!
1
dw f (w)
−
2πhi
(w − z − h)n
(w − z)n
C
I
n−1
1
nh(w − z)
+ o(h2 )
,
dw f (w)
2πhi C
(w − z)n (w − z − h)n
dove o(h2 ) sta per termini di ordine h2 e superiore. Prendendo ora il limite h → 0 si ottiene il risultato
per n arbitrario (Nota: nell’ultimo integrale si è fatto uso dello sviluppo binomiale).
H
Teorema di Morera – Sia f (z) una funzione continua in D e C dz f (z) = 0 per ogni curva chiusa in
D. Allora f (z) è analitica. (è “l’inverso” del teorema di Cauchy).
Rz
Dimostrazione – Basta dimostrare che F (z) = z0 dw f (w) è analitica e F ′ (z) = f (z). Allora per il
corollario al teorema precedente anche f (z) è analitica. Per le ipotesi fatte, l’integrale che deﬁnisce F (z)
non dipende dal percorso. Ricordando la (2.1) e posto λ = f (z) si ha allora
ω(z + h, z) = F (z + h) − F (z) − hf (z) =
Z
z+h
dw [f (w) − f (z)] .
z
Usando ora la disuguaglianza di Darboux e la continuità di f si ha
|ω(z + h, z)| ≤ |h|
sup
|w−z|<|h|
|f (w) − f (z)|
=⇒
lim
h→0
|ω(z + h, z)|
= 0.
|h|
Teorema di Liouville – Una funzione analitica e limitata in tutto il piano complesso è costante.
Dimostrazione – Per l’ipotesi di analiticità, la funzione f ′ (z) si può rappresentare mediante un integrale
sulla circonferenza CR di raggio R centrata in z (vedi 4.4)), ossia
1
f (z) =
2πi
′
I
CR
f (w)
1
dw
=
(w − z)2
2πR
Z
2π
dϑ e−iϑ f (z + Reiϑ ) .
0
Prendendo il modulo di quest’ultima equazione, maggiorando e usando il fatto che |f (z)| ≤ M (∀z ∈ C)
I
si ottiene |f ′ (z)| ≤ M/R e poiché R è arbitrariamente grande la derivata di f si annulla in ogni punto e
quindi f è costante.
12
Come corollario a questo teorema si ottiene il
Teorema fondamentale dell’algebra –
almeno una radice complessa.
Ogni polinomio complesso P (z), di ordine arbitrario, ha
Dimostrazione – Si supponga per assurdo che P (z) non abbia radici, ossia P (z) 6= 0, ∀z ∈ C.
I Allora
la funzione f (z) = 1/P (z) è analitica e limitata e per il teorema precedente deve essere costante, da cui
l’assurdo.
5
Sviluppi in serie di Taylor e Laurent
Teorema – Sia f (z) una funzione analitica per |z − z0 | ≤ R (cerchio di raggio R centrato in z0 ). Allora
vale lo sviluppo (serie di Taylor)
f (z) =
∞
X
f (n) (z0 )
(z − z0 )n ,
n!
n=0
|z − z0 | < R .
(5.1)
Nota: in precedenza si era dimostrato che ogni serie di potenze rappresenta una funzione analitica
all’interno del raggio di convergenza. Questo teorema ci dice che vale anche il viceversa.
Dimostrazione – Indichiamo con CR ≡ {z : |z −z0 | = R} il bordo del cerchio e con z un punto arbitrario
(strettamente) contenuto al suo interno. Osserviamo inoltre che, per ogni punto sul bordo w ∈ CR si ha
1
w−z
=
1
1
h
=
w − z0 + z0 − z
(w − z0 ) 1 −
n
∞ X
1
z − z0
i=
.
z−z0
w − z0 n=0 w − z0
w−z0
Dal teorema di rappresentazione integrale e dal suo corollario si ottiene allora
f (z)
1
2πi
=
I
dw
CR
I
∞
f (w)
f (w)
1 X
dw
=
(z − z0 )n
w−z
2πi n=0
(w
−
z0 )n+1
CR
∞
X
f (n) (z0 )
=
(z − z0 )n .
n!
n=0
Esiste una generalizzazione dello sviluppo in serie di Taylor valida in punti di non analiticità. Questa
risulta estremamente utile per studiare il comportamento di una funzione nell’intorno di punti singolari.
Teorema di Laurent – Sia f (z) una funzione analitica in una corona circolare Cr,R centrata in z0
(punto al ﬁnito), con raggi r < R. Allora, per ogni punto z interno a Cr,R vale lo sviluppo (serie di
Laurent)
f (z) =
∞
X
n=0
n
an (z − z0 ) +
∞
X
n=1
∞
X
bn
cn (z − z0 )n ,
=
(z − z0 )n
n=−∞
dove
an
=
bn
=
cn
=
I
f (w)
1
,
dw
2πi C
(w − z0 )n+1
I
1
dw (w − z0 )n−1 f (w) ,
2πi C
I
f (w)
1
dw
,
2πi C
(w − z0 )n+1
n = 0, 1, 2, ...
n = 1, 2, 3, ...
n = 0, ±1, ±2, ...
13
(5.2)
R
Γε
z
γε
r2
γ_
r1
r
ε
z0
γ+
C ε = γ ε + Γ ε + γ ++ γ_
Figura 3: Teorema di Laurent (cammino usato)
e C è una qualunque curva chiusa percorsa in verso positivo
P∞ (antiorario) contenente la singolarità al suo
interno e contenuta nella corona di analiticità. La serie n=1 bn (z − z0 )−n è detta parte principale di f .
Dimostrazione – Si consideri una curva chiusa Cε = γε + Γε + γ+ + γ− dove, per ε → 0, γε e Γε
diventano due circonferenze concentriche di raggi r1 e r2 (r < r1 < r2 < R) centrate in z0 , interne alla
corona di analiticità e connesse da due tratti paralleli γ+ e γ− coincidenti ma percorsi in verso opposto
(vedi ﬁgura 3). La funzione f (z) è analitica all’interno di Cε e per il teorema integrale di Cauchy si può
scrivere nella forma
f (z) =
1
2πi
I
Cε
dw
f (w)
w−z
=
1
2πi
Z
f (w)
f (w)
1
dw
+
w−z
2πi Γε
w−z
γε
Z
Z
1
f (w)
f (w)
1
+
dw
dw
+
,
2πi γ+
w−z
2πi γ−
w−z
Z
dw
che vale per ogni z ∈ Cr1 ,r2 . Nel limite ε → 0, tenendo conto dei versi di percorrenza si ottiene
f (z) =
1
2πi
I
dz2
|z2 −z|=r2
1
f (z2 )
−
z2 − z
2πi
I
dz1
|z1 −z|=r1
f (z1 )
.
z1 − z
Tenendo conto che r1 < |z − z0 | < r2 , nei due integrali precedenti possiamo usare gli sviluppi (serie
geometrica)
1
1
h
=
z2 − z
(z2 − z0 ) 1 −
z−z0
z2 −z0
1
1
h
=−
z1 − z
(z − z0 ) 1 −
i=
z1 −z0
z−z0
∞
X
n=0
i =−
(z − z0 )n
,
(z2 − z0 )n+1
∞
X
(z1 − z0 )n−1
,
(z − z0 )n
n=1
z − z0
< 1,
z2 − z0
z − z0
> 1.
z1 − z0
In tal modo si ottiene
f (z)
=
I
∞
1 X
f (z2 )
(z − z0 )n
dz2
2πi n=0
(z
−
z0 )n+1
2
|z2 −z|=r2
I
∞
1 X
1
+
dz1 f (z1 )(z1 − z0 )n−1 .
2πi n=1 (z − z0 )n |z1 −z|=r1
14
Il risultato ﬁnale si ottiene deﬁnendo i coeﬃcienti an e bn , tenendo conto che all’interno del dominio di
analiticità il contorno di integrazione può essere deformato a piacere per cui le due circonferenze possono
essere sostituite mediante una curva chiusa arbitraria C (contenente z0 ).
Corollario – Se f (z) è analitica nel cerchio |z − z0 | ≥ R, allora vale lo sviluppo in serie di Taylor
∞
X
f (n) (z0 )
(z − z0 )n ,
f (z) =
n!
n=0
|z − z0 | < R .
In questo caso infatti tutti i bn si annullano come conseguenza del teorema di Cauchy e lo sviluppo (5.2)
diventa lo sviluppo di Taylor (5.1). In questo caso e solo in questo caso il coeﬃciente an coincide con
con la derivata f (n) (z0 )/n!.
5.1
Singolarità isolate
Un punto del piano complesso in cui f (z) non è deﬁnita si dice singolarità della funzione. In particolare, un
punto singolare z0 si dice singolarità isolata se la funzione è analitica in un intorno di z0 e più precisamente
se la funzione è analitica in una corona circolare Cε,R , centrata in z0 , con ε > 0 arbitrariamente piccolo.
• Se ε può assumere anche il valore nullo, allora la funzione è regolare in z0 .
• Se ε non può essere scelto piccolo a piacere allora la singolarità non è isolata.
• Se R può essere scelto grande a piacere, allora f non ha altre singolarità (al ﬁnito).
Sia z0 una singolarità isolata per f (z). Allora in un intorno di z0 vale lo sviluppo di Laurent
f (z) =
∞
X
k=0
ak (z − z0 )k +
∞
X
k=1
bk (z − z0 )−k ,
0 < |z − z0 | < R .
In generale si possono avere tre possibilità:
• tutti i coeﬃcienti bn sono nulli; in tal caso il punto z0 è regolare oppure la singolarità è rimovibile.
Il caso tipico è quello di una discontinuità in z0 . Se tutti i bn sono nulli la serie defnisce una
funzione analitica (quindi continua) con f (z0 ) = a0 . Per rimuovere la singolarità basta allora porre
f (z0 ) = a0 .
• soltanto un numero ﬁnito di coeﬃcienti bk è diverso da zero; in tal caso la singolarità z0 si chiama
polo di ordine n, dove n corrisponde al più alto coeﬃciente non nullo, vale a dire bn 6= 0, bk = 0 per
ogni k > n. I coeﬃcienti con k < n possono essere anche tutti nulli. Quindi si avrà un polo semplice
se solo b1 6= 0, un polo doppio se bk = 0 per ogni k > 2, etc... L’espansione assume la forma
f (z) =
∞
X
k=0
ak (z − z0 )k +
n
X
k=1
bk (z − z0 )−k ,
bn 6= 0 .
In z0 la funzione diverge mentre 1/f (z) ha in z0 uno zero di ordine n.
• un numero inﬁnito di coeﬃcienti bk è diverso da zero; in tal caso la singolarità z0 si chiama essenziale.
Nell’intorno di una singolarità essenziale la funzione ha un comportamento sorprendente e inaspettato in quanto può avvicinarsi arbitrariamente ad un qualunque valore ﬁssato. Più precisamente si
ha
Teorema di Weierstrass – Fissato arbitrariamente un numero complesso w e due numeri reali
ρ e ε, nell’intorno di una singolarità essenziale esiste sempre un punto z per cui
|f (z) − w| < ε ,
|z − z0 | < ρ .
15
Dimostrazione – Scelto arbitrariamente un numero positivo M si ha sempre |f (z)| > M per
qualche z con |z − z0 | < ρ (questo perché z0 è un punto singolare). Infatti, sia per assurdo
|f (z)| ≤ M , allora si ha
|bn | =
1
2πi
Z
|z−z0 |=r
dz (z − z0 )n−1 f (z) ≤ M rn ,
(n ≥ 1)
e poiché per una singolarità isolata r può essere piccolo a piacere, bn → 0. Quindi tutti i bn sono
nulli e la funzione è regolare in z0 , da cui l’assurdo. Per dimostrare il teorema, ora consideriamo un
numero complesso qualunque w e la funzione f (z) − w. Se per qualche valore di z con |z − z0 | < ρ
questa funzione si annulla, allora il teorema è dimostrato. Altrimenti la funzione
φ(z) =
1
,
f (z) − w
f (z) =
1
+w,
φ(z)
|z − z0 | < ρ ,
è regolare a parte il punto z0 che è una singolarità essenziale anche per φ(z). Allora per φ(z) vale
quanto dimostrato precedentemente, ossia, scelto M = 1/ε, esiste z per cui
|φ(z)| =
1
1
>
|f (z) − w|
ε
=⇒
|f (z) − w| < ε ,
|z − z0 | < ρ.
bf Nota: per la dimostrazione è fondamentale che z0 sia una singolarità essenziale per f . Se fosse un polo
allora solo φ sarebbe regolare in z0 .
5.2
Singolarità all’infinito
Nel campo complesso l’inﬁnito va considerato alla stregua di un qualsiasi punto al ﬁnito e il comportamento di una funzione f (z) in un intorno dell’inﬁnito si determina studiando la funzione g(w) = f (1/w)
in un intorno dell’origine. Si dirà che z = ∞ è un polo o una singolarità essenziale per f (z) se tale è
w = 0 per la funzione g(w).
E’ interessante osservare che una funzione analitica ovunque (inﬁnito compreso) è necessariamente costante (teorema di Liouville). Infatti, per ogni z < ∞ si ha
f (z) =
∞
X
an z
n
X
∞
∞
X
an
an
1
=
g(w) = f
=
a
+
0
n
n
w
w
w
n=0
n=1
=⇒
n=0
e poiché f (z) è regolare ovunque, g(w) deve essere deﬁnita anche per w = 0 e questo implica ak = 0 per
ogni k > 0.
Come conseguenza di questo fatto si ricava che una funzione le cui uniche singolarità (al ﬁnito e all’inﬁnito)
siano poli è necessariamente una funzione razionale (rapporto di due polinomi). Infatti, sia f (z) una
funzione con poli di ordine k1 , k2 , ..., kn in z1 , z2 , ...zn (il numero è necessariamente ﬁnito altrimenti si
cotraddirebbero le ipotesi). Allora la funzione
g(z) = (z − z1 )k1 (z − z2 )k2 ...(z − zn )kn f (z)
è analitica ovunque a parte eventualmente z = ∞ dove può avere un polo di ordine m ≥ 0 (se lo ha
f ) e di conseguenza può avere un polo di ordine m nell’origine la funzione g(1/w). Questo signiﬁca che
g(1/w) deve avere uno sviluppo della forma
m
m
X
X
bk
ak
1
= a0 +
=
,
g
w
wk
wk
k=1
k=0
ak = bk , (k ≥ 1) ,
16
questo perché in assenza del polo la funzione è costante per il risultato precedente. Si vede dunque che
g(z) è un polinomio di ordine m e
f (z) =
Pm
ak z k
,
− z2 )k2 ...(z − zn )kn
k=0
(z − z1
)k1 (z
è quindi una funzione razionale.
6
Classificazione delle funzioni
Per questa classiﬁcazione consideriamo funzioni ad un solo valore deﬁnite in tutto il campo complesso.
Questo signiﬁca che, se non sono funzioni costanti, devono avere necessariamente delle singolarità (vedi il
terorema di Liouville). In base al tipo di singolarità (al ﬁnito e all’inﬁnito) distinguiamo i seguenti casi:
• funzioni razionali: le uniche singolarità sono poli. Si noti che in tal caso le singolarità non possono
essere in un numero inﬁnito altrimenti ci sarebbe un punto di accumulazione e questo sarebbe una
singolarità essenziale. Queste funzioni si possono esprimere mediante il rapporto di due polinomi.
• funzioni intere: hanno soltanto una singolarità essenziale all’inﬁnito. Queste funzioni hanno uno
sviluppo in serie di Taylor con raggio di convergenza inﬁnito.
• funzioni meromorfe: hanno una singolarità essenziale all’inﬁnito e un numero arbitrario (ﬁnito o
inﬁnito) di poli.
Esistono anche funzioni con due o più singolarità essenziali, ma si incontrano assai raramente e qui non
verranno considerate.
Usando lo sviluppo di Laurent (5.2) si può vedere che una funzione meromorfa con N poli in zj di ordine
nj si può sempre scrivere nella forma
f (z) = G(z) +
N
X
ψj
j=1
1
z − zj
,
ψj
1
z − zj
=
nj
X
k=1
(j)
bk
,
(z − zj )k
dove G(z) è una funzione intera. Infatti G(z) è la funzione f a cui sono state sottratte tutte le parti
principali e quindi è una funzione analitica in tutto il piano complesso, a parte l’eventuale singolarità
all’inﬁnito. Se f non ha singolarità all’inﬁnito, allora G = f (∞) è una costante.
Nota: se il numero di poli è inﬁnito allora non è suﬃciente sostituire la somma con una serie, in quanto
questa potrebbe essere divergente. Vale tuttavia uno sviluppo simile che sarà derivato nel prossimo
capitolo (vedi equazione (7.1)) nel caso particolare in cui gli inﬁniti poli siano semplici.
Come esempio particolare si consideri una funzione razionale R(z) con N poli semplici in zj e regolare
all’inﬁnito. Allora si ha
R(z) = R(∞) +
N
X
k=1
7
Bk
,
z − zk
Bk = Res(R; zk ) .
Residui
Sia z0 una singolarità isolata per la funzione f (z). Dallo sviluppo di Laurent in un intorno della singolarità
si ha
I
1
b1 =
dz f (z) ,
2πi C
17
dove l’integrale è fatto su un qualunque cammino chiuso che racchiude soltanto la singolarità z0 . Il verso
di percorrenza è quello antiorario sia per i punti al ﬁnito che per l’inﬁnito.
Come si vede dall’equazione precedente, il primo coeﬃciente della parte principale di f riveste un ruolo
assai importante in quanto permette di calcolare l’integrale di f su un qualunque cammino chiuso che
racchiude la singolarità. Per le singolarità al ﬁnito, tale coeﬃciente viene chiamato residuo di f in z0
e talvolta si indica con la notazione Res(f ) ≡ Res(f ; z0 ) = b1 . Se la funzione è regolare in z0 allora il
residuo è nullo, ma in generale non vale il viceversa; b1 può essere nullo ma non l’intera parte principale
di f . Per le singolarità all’inﬁnito si pone invece Res(f ; ∞) = −b1 . In tal modo si ha sempre
Res(f ) =
I
dz f (z) ,
C
dove la curva racchiude (soltanto) la singolarità ed è percorsa in verso positivo, vale a dire in senso
antiorario, se la singolarità è un punto al ﬁnito e in senso orario se il punto in esame è l’inﬁnito.
Il residuo di f si determina mediante lo sviluppo di Laurent
f (z)
f (z)
=
=
∞
X
k=0
∞
X
k
ak (z − z0 ) +
∞
X
bk
zk
ak z k +
∞
X
bk
(z − z0 )k
k=1
Res(f ; ∞) = −b1 ,
k=1
k=0
Res(f ; z0 ) = b1 ,
|z − z0 | < r ,
|z| > R
e nel calcolo esplicito è suﬃciente isolare il termine che diverge come (z − z0 )−1 (z −1 per l’inﬁnito).
Nel caso in cui la singolarità al ﬁnito sia un polo di ordine n si può usare la formula
Res(f ; z0 ) ≡ b1 = lim
z→z0
dn−1
1
[(z − z0 )n f (z)] ,
(n − 1)! dz n−1
n = 1, 2, 3, ...
che deriva direttamente dallo sviluppo di Laurent. In particolare, per un polo semplice si ha banalmemte
Res(f ; z0 ) = lim (z − z0 )f (z) ,
polo semplice.
z→z0
Se il punto in esame è l’inﬁnito e la funzione è regolare all’inﬁnito, quindi f (∞) esiste, allora vale la
formula
Res(f ; ∞) ≡ −b1 = − lim z[f (z) − f (∞)] .
z→∞
Nota: il residuo in qualunque punto è sempre legato al coeﬃciente b1 dello sviluppo di Laurent attorno
al punto considerato. Questo signiﬁca che per i punti al ﬁnito il residuo è nullo se la funzione è regolare,
mentre per l’inﬁnito il residuo può essere diverso da zero anche se la funzione è regolare, in quanto
l’inﬁnito è un punto singolare se almeno uno dei coeﬃcienti ak (k ≥ 1) è diverso da zero. Per capire la
natura della singolarità di f (z) all’inﬁnito si studia la funzione g(w) = f (1/w) in un intorno dell’origine,
ma questo sviluppo permette solo di classiﬁcare la singolarità di f all’inﬁnito. Per calcolare il residuo si
deve eﬀettuare lo sviluppo di f (z) per |z| ≫ 1 e isolare il coeﬃciente di 1/z.
Esiste anche un metodo alternativo che deriva dal fatto che il residuo è dato dall’integrale di f (z) su
un cammino che racchiude solo l’eventuale singolarità z = ∞. Mediante il cambiamento di variabile
z → 1/w questo diventa l’integrale della funzione φ(w) = f (1/w)/w2 su un cammino che racchiude solo
la singolarità di φ(w) in w = 0. Infatti si ha
− Res(f ; ∞) =
I
|z|≫1
dz f (z) =
I
|w|≪1
dw
f (1/w)
=
w2
18
I
|w|≪1
dw φ(w) = Res(φ; 0) ,
ε
Γ
ε
γ_
γ+
ε
γ+
γ_
z1
z3
γ
γ
ε
Cε = Γ
ε
+ Σ(γ
ε
+γ
ε
γ_
ε
z2
γ
ε
γ+
+ γ_)
+
Figura 4: Teorema dei residui (cammino usato)
dove gli integrali sono percorsi tutti in senso antiorario. Dall’uguaglianza precedente e dalla deﬁnizione
di residuo si ha
b1 = − Res(f ; ∞) = Res(φ; 0) = b̃1 ,
dove
f (z) =
φ(w)
=
∞
X
n=0
∞
X
an z n +
ãn wn +
n=0
7.1
∞
X
bn
,
n
z
n=1
∞
X
b˜n
,
wn
n=1
|z| ≫ 1 ,
|w| ≪ 1 .
Teorema dei residui
Questo teorema permette di calcolare integrali nel campo complesso conoscendo i residui della funzione
in tutte le singolarità.
Teorema dei residui – Sia f (z) una funzione analitica in D a meno di un numero ﬁnito di singolarità
isolate z1 , z2 , z3 , ... e C una curva chiusa contenuta in D e non passante per alcuna singolarità di f . Allora
l’integrale di f lungo C è dato da 2πi per la somma dei residui in tutte le singolarità interne a C; in
formule
I
C
dz f (z) = 2πi
X
Res(f ; zn ) .
n
Dimostrazione – Per la dimostrazione
si integra la funzione su un cammino chiuso che non contiene
P
n
n
), dove Γε è un cammino aperto che coincide con C
+ γ−
singolarità dato da Cε = Γε + n (γεn + γ+
n
n
sono dei tratti paralleli che connettono
per ε → 0, γε sono dei circoletti intorno alle singolarità e γ±
questi circoletti con Γε (vedi ﬁgura 4). Usando il teorema di Cauchy (4.2) e la deﬁnizione di residuo si
trova direttamente il risultato cercato. Infatti, l’integrale di f su Cε è nullo e nel limite ε → 0 diventa
l’integrale su C meno la somma degli integrali sui circoletti attorno alle singolarità.
Corollario – Sia f (z) una funzione analitica in C
I a meno di un numero ﬁnito di singolarità isolate
z1 , z2 , z3 , ..., zN . Allora la somma di tutti i residui (inﬁnito compreso) è nulla; in formule
N
X
n=1
Res(f ; zn ) + Res(f ; ∞) = 0 .
La dimostrazione è una diretta conseguenza del teorema precedente. Basta infatti integrare la funzione
su una generica circonferenza |z| = R non passante per qualche singolarità. L’integrale percorso in senso
antiorario è dato dalla somma dei residui nelle singolarità interne (|zk | < R), mentre l’integrale percorso
19
in senso orario è dato dala somma dei residui nelle singolarità esterne (|zk | > R) e la somma dei due
integrali è nulla. Si noti che il risultato P
precedente in generale non è valido per un’inﬁnità numerabile di
∞
singolarità, però vale ancora se la serie n=1 Res(f ; zn ) è convergente.
7.2
Indicatore logaritmico
Sia f (z) una funzione analitica in D a meno di un numero ﬁnito di poli. La derivata logaritmica della
funzione
L(z) =
d log f (z)
f ′ (z)
=
,
dz
f (z)
ha poli semplici dove f ha zeri o poli ed è regolare altrimenti. Più precisamente, se z0 è uno zero o un
polo di ordine n per f allora è un polo semplice con residuo n o −n (rispettivamente) per L(z). Scrivendo
la funzione nella forma
f (z) = (z − z0 )α g(z) ,
α = 0, ±n ,
g(z0 ) 6= 0 ,
g(z) analitica si ottiene
L(z) =
α
g ′ (z)
α(z − z0 )α−1 g(z) + (z − z0 )α g ′ (z)
=
+
,
α
(z − z0 ) g(z)
z − z0
g(z)
da cui si vede che il polo (eventuale) è semplice e il residuo è uguale ad α = 0, ±n.
Integrando ﬁnalmente L(z) su una curva chiusa contenente al suo interno N zeri e P poli (zeri e poli di
ordine n sono contati n volte) si ricava
1
N −P =
2πi
f ′ (z)
1
dz
=
f
(z)
2πi
C
Z
Z
C
dz
d log f (z)
1
=
∆ arg f (z)|C ,
dz
2π
dove ∆ argf (z) è l’incremento dell’argomento di f lungo l’intera curva chiusa C. Questo è chiaramente un
multiplo di 2π. L’integrale precedente è detto indicatore logaritmico e come si vede fornisce la diﬀerenza
fra il numero di zeri e il numero di poli (contati con la loro molteplicità) interni al cammino di integrazione.
E’ interessante osservare che se una funzione è analitica in tutto il piano complesso a meno di un numero
ﬁnito di poli, allora il numero totale di zeri è uguale al numero totale di poli. Infatti, l’indicatore
logaritmico fatto lungo una circonferenza di raggio R fornisce sempre la diﬀerenza N − P fra gli zeri e i
poli interni alla curva. Questo signiﬁca che se l’integrale è fatto in senso antiorario allora contano i poli e
gli zeri con |z| < R, mentre se l’integrale è fatto in senso orario allora contano i poli e gli zeri con |z| > R
e la somma dei due integrali è sempre nulla.
Una immediata conseguenza di questa fatto è che un polinomio PN (z) di grado N ha sempre N radici
(teorema fondamentale dell’algebra) in quanto è una funzione analitica in tutto C
I a parte un polo di
ordine N all’inﬁnito.
7.3
Sviluppo di Mittag-Leffler
E’ uno sviluppo in serie che permette di ricostruire l’intera funzione conoscendo il comportamento in
tutti i poli. Qui lo dimostreremo solo per il caso in cui la funzione in esame abbia solo poli semplici, però
esistono simili sviluppi anche per funzioni con poli di ordine arbitrario.
Teorema di Mittag-Leffler – Sia f (z) una funzione meromorfa con (inﬁniti) poli semplici nei punti
0 < |z1 | < |z2 | < ... con residui B1 , B2 , B3 , ... e CN una circonferenza di raggio RN contenente i primi N
poli. Se vale la condizione
lim
max
N →∞ |z|=RN
|f (z)|
= 0,
RN
20
allora vale lo sviluppo di Mittag-Leﬄer
f (z) = f (0) +
∞ X
Bn
Bn
Bn z
.
= f (0) +
+
zn (z − zn )
zn
(z − zn )
n=1
∞
X
n=1
(7.1)
Per la dimostrazione si immagina di ordinare i poli in ordine crescente (in modulo), ma è evidente che
nelle applicazioni la sommatoria è fatta su tutti i poli della funzione. Si faccia inoltre attenzione al fatto
che in generale non è consentito separare le ultime due serie precedenti perché singolarmente potrebbero
non convergere.
Dimostrazione – Si consideri la funzione g(w) = f (w)/[w(w−z)] che ha un polo semplice nell’origine, un
polo semplice in z e inﬁniti poli semplici nei punti zn . I residui sono rispettivamente Res(g; 0) = −f (0)/z,
Res(g; z) = f (z)/z e Res(g; zn ) = Bn /[zn (zn − z)] (n = 1, 2, 3, ...). Integrando questa funzione con
|z| < RN su CN e usando il teorema dei residui si ottiene
FN (z) =
1
2πi
= −
I
CN
1
dw g(w) =
2πi
N
X
I
dw
|w|=RN
Bn
f (0) f (z)
+
+
,
z
z
z (z − z)
n=1 n n
f (w)
w(w − z)
|z| < RN .
Questo integrale può essere maggiorato usando la disuguaglianza di Darboux (4.1). Si ha
|FN (z)| ≤ max |g(w)| RN = max
|w|=RN
|w|=RN
|f (w)|
1
max |f (w)|
≤
|w − z|
RN − |z| |w|=RN
e per le ipotesi fatte questa espressione tende a 0 per N → ∞, da cui il risultato (7.1).
E’ chiaro che il risultato vale anche se il numero di poli è ﬁnito. In questo caso si ottiene l’espansione di
una funzione razionale in frazioni semplici.
8
Prolungamento analitico
Alla base del concetto di prolungamento analitico (o continuazione analitica) sta l’osservazione del fatto
che due funzioni
f1 (z) e f2 (z) deﬁnite nei domini D1 e D2 possono coincidere in tutti i punti dell’interseT
zione D1S D2 . Allora la funzione f2 (z) si può pensare come il prolungamento di f1 (z) all’intero dominio
D = D1 D2 e allo stesso tempo, la funzione f1 (z) si può vedere come il prolungamento di f2 (z) a D.
A questo punto è naturale pensare f1 (z) e f2 (z) come due rappresentazioni della stessa funzione f (z)
riferite a domini diversi. Quando si parla di una funzione complessa si intende sempre la sua massima
estensione analitica.
Si cosiderino dapprima le seguenti funzioni reali deﬁnite negli intervalli aperti I1 , I3
f1 (x)
f3 (x)
=
∞
X
xn ,
n=0
∞
X
= −
n=0
I1 ≡ {x : |x| < 1} ,
(−1)n (x − 2)n ,
I3 ≡ {x : |x − 2| < 1} .
Queste due funzioni sono deﬁnite in intervalli disgiunti e non c’è modo di confrontarle fra loro. L’unico
modo per vedere che di fatto sono due sviluppi in serie della stessa funzione f (x) = 1/(1 − x) è quello
di sommare le serie (in questo caso si sa fare). La funzione f (x) è singolare in x = 1 e quindi non esiste
nessun sviluppo che valga in un intervallo I2 con intersezioni non nulle con I1 e I3 . Nel campo reale il
punto x = 1 costituisce un “limite invalicabile” alla possibile estensione di f1 .
21
Nel campo complesso la situazione è completamente diversa in quanto il “conﬁne” in cui vale lo sviluppo
in serie è una circonferenza lungo la quale in generale ci sono dei tratti di analiticità attraverso i quali è
possibile “passare”. Si considerino ad esempio le seguenti funzioni deﬁnite nei domini D1 , D2 , D3
f1 (z) =
∞
X
zn ,
n=0
∞
X
f2 (z) = i
(i)n [z − (1 + i)]n ,
n=0
∞
X
f3 (z) = −
D1 ≡ {z : |z| < 1} ,
n=0
(−1)n (z − 2)n ,
D2 ≡ {z : |z − (1 + i)| < 1} ,
D3 ≡ {z : |z − 2| < 1} .
Queste funzioni deﬁnite da serie convergenti in domini diversi coincidono nell’intersezione dei domini e
pertanto è naturale considerarle come rappresentazioni di un’unica funzione f (z), che in questo caso è
f (z) =
1
,
1−z
z 6= 1 ,
che è una funzione razionale deﬁnita in tutto il piano complesso eccetto che nel punto z = 1 dove c’è un
polo semplice. Questa costituisce la massima estensione di f1 (z) , f2 (z) , f3 (z).
8.1
Metodo di Weierstrass
Esponiamo brevemente il metodo di continuazione analitica dovuto a Weierstrass e basato sullo sviluppo
in serie di Taylor. E’ noto infatti che se una funzione è analitica in un certo dominio D allora può essere
sviluppata in serie di Taylor attorno ad un punto qualunque interno al dominio e la serie converge in un
cerchio centrato nel punto considerato. Si immagini allora di avere una funzione f1 deﬁnita mediante la
sua serie di Taylor nel cerchio D1 ≡ {z : |z − z1 | < r1 }. f1 è analitica nel cerchio D1 e lo sviluppo di
Taylor si può fare attorno ad un qualunque punto z2 ∈ D1 . Eﬀettuando eﬀettivamente tale sviluppo si
ottiene una serie di potenze che converge ad una funzione f2 (z) per ogni z ∈ D2 ≡ {z : |z − z2 | < r2 }. E’
chiaro
T per costruzione che f1 (z) = f2 (z) per tutti i punti che appartengono all’intersezione dei due cerchi
D1 D2 . Se succede che il cerchio D2 S
non è interamente contenuto in D1 , allora abbiamo ottenuto un
prolungamentoSdi f1 (z) al dominio D1 D2 . Ora si può continuare il processo sviluppando attorno al
punto z3 ∈ D1 D2 e ottenendo unaTfunzione
coincide con
T f3 (z) deﬁnita in D3 ≡ {z : |z − z3 | < r3 } che S
f1 (z) e/o f2 (z) nell’intersezione D1 D2 D3 . Se D3 non è interamente contenuto in D1 D2 , allora
abbiamo ottenuto un prolungamento di f1 e/o f2 . In linea di principio con questo metodo è possibile
ottenere la massima estensione di ogni funzione, ma nella pratica si usano metodi più rapidi.
Con questo metodo è anche possibile prolungare la funzione lungo un percorso chiuso e dopo un numero
n di passi tornare al punto di partenza.
Sia f1 (z) deﬁnita in D1 la funzione di partenza e fn (z) deﬁnita in
T
Dn la funzione di arrivo con D1 Dn 6= φ. Se la funzione f (z) che rappresentaTla massima estensione di
f1 è una funzione ad un solo valore allora si ha f1 (z) = fn (z) per ogni z ∈ D1 Dn , se però la funzione
è a più valori (polidroma) allora nell’intersezione dei domini si può avere f1 (z) 6= fn (z). Questo succede
ad esempio con la funzione log z. Questa è infatti una funzione ad inﬁniti valori e ogni volta che si fa un
giro completo attorno all’origine la funzione aumenta di 2πi.
8.2
Punti di diramazione e funzioni polidrome
I punti di diramazione sono delle singolarità delle funzioni a molti valori e pertanto una funzione polidroma
non è mai analitica. Tali singolarità non sono isolate e si presentano sempre a coppie.
A titolo di esempio si consideri l’equazione w2 = z = |z|eiϑ . Le soluzioni sono della forma
wk =
p
|z|ei(ϑ+2πk)/2 ,
k ∈ ZZ .
22
La radice quadrata è quindi un funzione polidroma a p
due valori poiché w2k = −w2k+1 = w2k+2 . Come è
ben noto le due radici diﬀeriscono per il segno (w0 = |z|eiϑ/2 = −w1 ).
√
E’ chiaro che la funzione f (z) = z non è analitica in z = ∞, ma anche
√ il punto z = 0 è un punto di
non-analiticità in quanto f non è derivabile nell’origine (f ′ (z) = 1/[2 z] diverge in 0). La funzione ha
due punti (0,∞) in cui non è derivabile (singolarità). Queste “singolatità” sono di natura completamente
diversa rispetto alle singolarità isolate incontrate ﬁno ad ora. Questo si vede già dal fatto che f non è
sviluppabile in serie di Laurent attorno all’origine.
Per capire meglio quanto succede, calcoliamo l’integrale della funzione lungo la circonferenza |z| = r. Si
ha
I
Z 2π
p
4r3/2
3/2
dz |z| = ±ir
.
dϑ e3iϑ/2 = ∓
3
|z|=r
0
Vediamo che l’integrale è diverso da zero, ma questo non è sorprendente in quanto sappiamo già che la
funzione non è analitica nell’origine. La cosa nuova sta invece nel fatto che l’integrale dipende da r e
questo signiﬁca che non esiste una corona circolare centrata nell’origine in cui f è analitica. Se questo
fosse possibile, per il teorema di Laurent l’integrale di f su una qualunque circonferenza Cr ≡ {z : |z| = r}
contenuta nella corona circolare sarebbe uguale a b1 , indipendentemente da r.
Queste singolarità sono quindi di tipo diverso rispetto a quelle classiﬁcate mediante lo sviluppo di Laurent
e sono dovute al fatto che la funzione è a più valori. Quando si fa un giro completo attorno alla singolarità
la funzione cambia segno. Queste singolarità sono dette punti di diramazione.
Il modo più semplice per trattare le funzioni a più valori è quello di considerare un solo ramo (o ramificazione o determinazione) della funzione, considerando un dominio D ⊂ C
I nel quale non è possibile
girare attorno ai punti di diramazione e quindi togliendo dal piano complesso le linee (detti tagli) che
congiungono le coppie di punti di diramazione. Nel caso della radice quadrata la coppia di punti di
diramazione è (0, ∞) e pertanto se dal piano complesso si esclude una qualunque linea che congiunge
l’origine con l’inﬁnito, la funzione risulta analitica. Poiché in tale dominio non è possibile fare un giro
completo attorno all’origine (o all’inﬁnito), la funzione è ad un solo valore corrispondente al ramo ﬁssato.
Il ramo corrispondente alla scelta | arg z| < 2π è detto determinazione principale. L’intervallo in cui
varia arg z dipende da dove si eﬀettua il taglio e questo è dettato dal problema speciﬁco. Il taglio che
congiunge i due punti di diramazione in linea di principio è abitrario, ma nei casi più semplici e frequenti
questo coincide con il semiasse reale positivo (negativo) e questo corrisponde alla scelta 0 < arg z < 2π
(−π < arg z < π). Il valore della funzione “sopra” il taglio è diverso rispetto a quello che la funzione
assume “sotto” il taglio (discontinuità). Nel caso della radice quadrata la funzione cambia segno, mentre
nel caso del logaritmo la funzione aumenta di 2πi.
Se analizziamo con maggior dettaglio l’integrale precedente, vediamo che il risultato non dipende dalla
curva di integrazione, come potrebbe sembrare a prima vista, ma dalla discontinuità della primitiva
attraverso il taglio. Questo risulta chiaro se integriamo la radice quadrata lungo un curva arbitraria
C ≡ {z : z = z(ϑ) = ρ(ϑ)eiϑ } contenente l’origine. Poniamo
f (z) =
p
√
z = ρ(ϑ)eiϑ/2 ≡ F ′ (z) ,
F (z) =
Con queste notazioni si ottiene
I
dz f (z) =
C
I
C
dz F ′ (z) =
2
3
Z
ϑ0 +2π
dϑ
ϑ0
= F (z0+ ) − F (z0− ) = −
3/2
4ρ0
3
3/2
2z 3/2
2 =
ρ(ϑ)eiϑ
.
3
3
3/2
d ρ(ϑ)eiϑ
dϑ
.
Con z0 si è indicato il punto (arbitrario) sulla curva chiusa dove “inizia” e “termina” l’integrazione. Più
precisamente
z0+ = ρ0 eiϑ0 ,
z0− = ρ0 ei(ϑ0 +2π) ,
23
sono i due estremi di integrazione, uno sopra e uno sotto il taglio.
Un modo più elaborato per trattare queste funzioni è quello di considerare tante copie del piano complesso
quanti sono i rami della funzione, tagliarle lungo delle linee che congiungono i punti di diramazione e
saldarle fra loro ottenendo in tal modo quella che viene chiamata superficie di Riemann. Su tale superﬁcie
la funzione è ad un solo valore. Quando si fa un giro completo attorno al punto di diramazione si passa
sul piano complesso superiore (2πk ≤ arg z ≤ 2(k + 1)π). Se la funzione ha n ramiﬁcazioni (come z 1/n )
allora la superﬁcie di Riemann è una torre con n piani e l’ultimo è saldato con il primo. Nel caso del
logaritmo la torre è inﬁnita perchè il logaritmo ha inﬁnite ramiﬁcazioni. La topologia delle superﬁci di
Riemann è non banale e diventa assai complicata per funzioni con molti punti di diramazione.
8.3
Funzioni con bordo naturale
Esistono delle funzioni che non possono essere prolungate analiticamente in quanto hanno un bordo
naturale in cui le singolarità (non isolate) formano un insieme denso.
Un classico esempio è dato dalla funzione
f (z) =
∞
X
z n! ,
|z| < 1.
n=0
Questa funzione ha un insieme di singolarità che è denso sulla circonferenza |z| = 1 (bordo naturale).
E’ evidente che per z = 1 la serie diverge e quindi z = 1 è una sigolarità per f . Per la stessa ragione, tutti
i punti sulla circonferenza unitaria C1 ≡ {z : |z| = 1} della forma zk = eiϑk costituiscono una singolarità
per f se
ϑk n! = 2πk ,
(per n ≥ q ∈ IN) ,
k ∈ ZZ .
Infatti in tal caso si ha
fN (zk ) =
N
X
zkn!
n=0
=
q−1
X
iϑk n!
e
+
N
X
n=q
n=0
z
iϑk n!
=
q−1
X
eiϑk n! + N ,
n=0
che diverge nel limite N → ∞. Punti che soddisfano queste richieste ce sono inﬁniti. Tutti i punti della
forma
zp,q = e2πip/q ,
p, q ∈ IN ,
soddisfano le proprietà
|zp,q | = 1 ,
pn!
= k ∈ IN ,
q
∀n ≥ q
e pertanto f ha inﬁnite singolarità su C1 . Ciò che eﬀettivamente impedisce il prolungamento analitico è il
fatto che questi punti formano un insieme denso su C1 . Questo signiﬁca che in ogni arco (arbitraramente
piccolo) di C1 si trovano inﬁnite singolarità della funzione e pertanto il bordo è un limite invalicabile.
Nota: la densità deriva direttamente dal fatto che in un intorno arbitrariamente piccolo di ogni numero
reale ci sono inﬁniti numeri razionali.
9
Funzioni speciali
Come esempi di prolungamento analitico studiamo le proprietà di alcune funzioni speciali che si incontrano
frequentemente nella ﬁsica.
24
9.1
Funzione Gamma di Eulero
E’ deﬁnita mediante l’equazione (integrale di Eulero del II tipo)
Γ(z) =
Z
∞
dt tz−1 e−t ,
Re z > 0 .
(9.1)
0
Questo integrale deﬁnisce una funzione analitica nel semipiano Re z > 0. L’integrale diverge per z = 0 e
quindi la funzione deve avere una singolarità in tale punto. Per vedere il tipo di singolarità prolunghiamo
la funzione facendo una prima integrazione per parti, vale a dire
Z
∞
dt tz−1 e−t =
0
1
z
Z
∞
dt tz e−t ,
Re z > 0 .
0
L’uguaglianza precedente vale per Re z > 0, però l’ultimo integrale è deﬁnito per Re z > −1. Si vede
dunque che l’origine è un polo semplice per la funzione Γ(z) e che si ha
Γ(z) =
1
z
∞
Z
dt tz e−t ,
Re z > −1 ,
0
z 6= 0 .
(9.2)
In z = −1 c’è un’altra singolarità. Ora si può continuare ad integrare per parti isolando le singolarità
della funzione. Dopo n + 1 integrazioni si ottiene
Γ(z) =
1
z(z + 1)(z + 2)...(z + n)
Z
∞
dt tz+n e−t ,
0
Re z > −n ,
z 6= 0, −1, −2, ..., −n ,
da cui si vede che la funzione Γ(z) è una funzione meromorfa con poli semplici nei punti 0, −1, −2, ....
Il residuo nel generico polo si ottiene mediante la formula
Res(Γ; −n) = lim (z + n)Γ(z) =
z→−n
(−1)n
,
n!
n ∈ IN .
Se z non è un polo, si ha la relazione (vedi 9.2)
Γ(z + 1) = zΓ(z)
=⇒
Γ(n + 1) = n! .
Quest’ultima relazione si potrebbe usare per prolungare la funzione dal dominio Re z > −n al dominio
Re z > −n − 1.
Vogliamo ora ricavare una relazione che connette Γ(z) con Γ(1 − z). Per 0 < Re z < 1 si ha
R∞
z−1 −x
Γ(z) = 0 dx
R ∞x e−z −y
Γ(1 − z) = 0 dy y e
=⇒
Γ(z)Γ(1 − z) =
Z
∞
Z
∞
dxdy xz−1 y −z e−(x+y) .
0
0
Per calcolare l’integrale conviene prima eﬀettuare il cambiamento di variabili (x, y) → (x2 , y 2 ) e passare
quindi a coordinate polari (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ). In tal modo si ottiene
Γ(z)Γ(1 − z) = 4
Z
∞
0
dr re−r
2
Z
π/2
dϕ [cos ϕ]2z−1 [sin ϕ]1−2z =
Z
0
0
1
dt
tz−1
= B(z, z + 1) . (9.3)
(1 − t)z
La funzione beta B(x, y) (integrale di Eulero del I tipo) è data da
B(x, y) =
Z
0
1
dt
Γ(x)Γ(y)
tx−1
=
,
(1 − t)y−1
Γ(x + y) = B(y, x)
25
Re x > 0 , Re y > 0 .
(9.4)
L’ultimo integrale in (??) si calcola esattamente con il metodo dei residui considerando la funzione
f (w) = wz−1 /(1 − w)z e integrandola su un contorno chiuso C che racchiude la coppia di punti di
diramazione w = 0 e w = 1. Se il cammpino è percorso in senso orario (positivo rispetto all’inﬁnito) si
ha
2πi Res(f ; ∞) =
I
z
dw f (w) = (−1) sin πz
Z
1
dt f (t) .
0
C
Per calcolare il residuo all’iniﬁnito conviene eﬀettuare lo sviluppo di Laurent della funzione per |w| ≫ 1.
Si ha
(1 − w)z = (−w)z
1
w
1−
∼ (−w)z
z
z(1 − z)
1− −
+
...
,
w
2w2
da cui segue
wz−1
wz−1
∼
∼ (−1)z
z
z
(1 − w)
(−w) (1 − z/w + ...)
f (w) =
1
z
+ 2 + ...
w w
=⇒
Res(f ; ∞) = (−1)z .
Finalmente si ottiene il risultato cercato
Γ(z)Γ(1 − z) =
9.2
(−1)z π
π
Res(f ; ∞) =
.
sin πz
sin πz
(9.5)
Funzione Zeta di Riemann
Questa è deﬁnita mediante la serie
ζ(z) =
∞
X
1
,
nz
n=1
Re z > 1 .
(9.6)
Per ottenere il prolungamento analitico e studiare le singolarità conviene usare un’altra rappresentazione
di ζ(z). Si osserva dapprima che per Re z > 0
Z
∞
dt t
z−1 −nt
0
e
1
= z
n
Z
∞
dt tz−1 e−t =
0
Γ(z)
.
nz
Allora, per Re z > 1 si può scrivere
ζ(z) =
Z ∞
∞ Z
tz−1
1 X ∞
1
dt t
dt tz−1 e−nt =
.
Γ(z) n=1 0
Γ(z) 0
e −1
Ricordando le proprietà del logaritmo si ottiene anche
Z
0
∞
1
tz−1
=−
dt t
e −1
2i sin πz
Z
γ
dw
(−w)z−1
,
ew − 1
dove γ è un cammino aperto da (∞, −iδ) a (∞, +iδ) che gira attorno all’asse reale positivo. Il cammino non deve contenere i poli della funzione integranda wk = 2πik , k = ±1, ±2, .... Dall’espressione
precedente e usando la (9.5) si ha ﬁnalmente
ζ(z) = −
Γ(1 − z)
2πi
Z
γ
dw
(−w)z−1
,
ew − 1
z 6= 1, 2, 3, ...
26
(9.7)
Questa rappresenta il prolungamento analitico per ogni valore di z 6= 1, 2, 3, .... In z = 1 la funzione ha
un polo semplice con residuo uguale a 1. Infatti
Γ(2 − z)
Res(ζ; 1) = lim (z − 1)ζ(z) = lim
z→1
z→1
2πi
Z
dw
γ
1
= 1.
ew − 1
L’integrale è stato calcolato con il metodo dei residui osservando che la funzione integranda ora è ad un
solo valore e quindi il taglio può essere rimosso. In tal modo il cammino di integrazione diventa una curva
chiusa attorno all’origine.
Per ﬁnire calcoliamo il valore di ζ(0) dove la funzione è analitica. Per z = 0 la funzione integranda
f (w) = 1/w(ew − 1) ha una singolarità essenziale nell’origine per cui si può rimuovere il taglio e chiudere
il cammino di integrazione. Allora si ha
ζ(0) =
1
2πi
I
dw f (w) = Res(f ; 0) .
C
Per calcolare il residuo nella singolarità essenziale w = 0 si deve eﬀettuare lo sviluppo di Laurent per
|w| < 1. Si ha
1
1
∼ 2
∼ 2
f (w) =
w(ew − 1)
w [1 + w/2 + w2 /6 + ...
w
1
w w2
1
1
1
1− +
+ ... ∼ 2 −
+
+ ...
2
12
w
2w 12
In conclusione ζ(0) = −1/2.
Si veriﬁca anche facilmente che z(−2n) = 0 (n = 1, 2, 3, ...). A questo proposito basta osservare che la
funzione g(w) è una funzione dispari, cioè g(w) = −g(−w), dove
g(w) =
1
1
1
− +
ew − 1 w 2
e quindi la funzione g(w)/w2n+1 è pari e il suo sviluppo conterrà solo potenze pari di w. Questo signiﬁca
che lo sviluppo di Laurent per |w| < 1 della funzione integranda
f (w) =
1
g(w)
1
1
1
1
1
+ 2n+1 ,
=
−
+
g(w)
= 2(n+2) −
2n+1
w
2n+1
2n+1
w
(e − 1)
w
w 2
2w
w
w
non contiene il termina b1 /w (per n > 1) e dunque il residuo nell’origine è nullo.
Una rappresentazione integrale simile alla (9.7) si può ricavare anche per la funzione Γ(z). Si può veriﬁcare
direttamente che
Z
1
Γ(z) = −
dw (−w)z−1 e−w
2i sin πz γ
e questa vale per ogni valore di z 6= 0, −1, −2, .. dove la funzione ha poli semplici. Il cammino γ è quello
precedente senza restrizioni in quanto qui la funzione integranda non ha poli.
10
10.1
Complementi
Lemma di Jordan
Sia f (z) una funzione che si annulla all’inﬁnito nel semipiano superiore, vale a dire
lim f (Reiϑ ) = 0 ,
R→∞
0≤ϑ≤π
27
e α un numero reale positivo (α > 0). Allora si ha
lim
R→∞
Z
Γ+
R
dz eiαz f (z) = 0 ,
Γ+
R ≡ {z : |z| = R , 0 ≤ arg z ≤ π} .
α > 0,
Dimostrazione – Riscriviamo l’integrale precedente usando la rappresentazione polare, cioè
Z
Γ+
R
dz eiαz f (z) = iR
π
Z
dϑ eiϑ eiαR(cos ϑ+i sin ϑ) f (Reiϑ ) .
0
Per le ipotesi fatte, ﬁssato arbitrariamente ε > 0, per R abbastanza grande si ha |f (Reiϑ )| < ε, quindi
Z
Γ+
R
dz eiαz f (z)
≤ R
=
Z
π
dϑ e−αR sin ϑ |f (Reiϑ )| ≤ εR
0
2εR
Z
Z
π
dϑ e−αR sin ϑ
0
π/2
dϑ e−αR sin ϑ .
0
L’ultima espressione si è ottenuta usando il fatto che sin ϑ è simmetrico rispetto all’asse ϑ = π/2. Per
maggiorare ulteriormente l’integrale si osserva che nell’intervallo che interessa (0 ≤ ϑ ≤ π/2) vale la
disuguaglianza
2ϑ
π
sin ϑ ≥
e−αR sin ϑ ≤ e−2αRϑ/π ,
=⇒
per cui
Z
π/2
dϑ e
−αR sin ϑ
0
≤
Z
π/2
π(1 − e−αR )
.
2αR
dϑ e−2αRϑ/π =
0
Finalmente si ha
lim
R→∞
Z
Γ+
R
dz eiαz f (z) ≤ lim
R→∞
πε
επ(1 − e−αR )
=
2α
α
e dall’arbitrarietà di ε segue il risultato cercato.
In modo del tutto simile si può dimostrare il lemma precedente con “tutti i segni scambiati” (ossia nel
semipiano inferiore). Più precisamente si ottiene
lim |f (Re±iϑ )| = 0
R→∞
=⇒
lim
R→∞
Z
Γ±
R
dz e±i|α|z f (z) = 0 ,
0 ≤ ϑ ≤ π,
(10.1)
dove Γ±
R ≡ {z : |z| = R , 0 ≤ ϑ = arg z ≤ ±π}. Come si vedrà in seguito, il lemma di Jordan risulta
particolarmente utile nel calcolo delle trasformate di Fourier di funzioni razionali.
10.2
Somma di serie numeriche
Il metodo dei residui permette di calcolare la somma di serie numeriche della forma
∞
X
n=−∞
f (n) ,
∞
X
(−1)n f (n) ,
n=−∞
28
quando il modulo della funzione f (z) tende a zero più rapidamente di 1/|z| all’inﬁnito.
Siano zk i poli di f (z) (zk ∈
/ ZZ, altrimenti la serie diverge) e |zf (z)| → 0 per |z| → ∞. Allora si ha
∞
X
f (n)
=
n=−∞
∞
X
n
(−1) f (n)
=
n=−∞
−π
X
Res (f (z) cot πz; zk ) ,
−π
X
Res
k
k
f (z)
; zk
sin πz
,
dove la somma è estesa a tutti i poli della funzione f (z).
Dimostrazione – Le funzioni cot πz e 1/ sin πz hanno poli semplici su tutti i numeri interi (wn = n,
n ∈ ZZ) e i rispettivi residui sono
Res(cot πz; n) =
1
,
π
Res
(−1)n
1
;n =
.
sin πz
π
Si consideri allora una curva chiusa CN contenente (strettamente) al suo interno i poli wn con |n| ≤ N e
non passante per nessun polo di f (z). Integrando si ottiene
I
dz f (z) cot πz
=
2πi
CN
=
2πi
"
"
N
X
Res(f (z) cot πz; wn ) +
n=−N
X
, Res(f (z) cot πz; zk
k
#
#
N
X
f (n) X
+
, Res(f (z) cot πz; zk ,
π
n=−N
k
dove la somma su k è fatta su tutti i poli di f (z) interni a CN . Una equazione simile si ottiene considerando
l’inverso del seno in luogo della cotangente. Il risultato richiesto si ricava prendendo il limite per N → ∞
se si dimostra che in tal caso l’integrale su CN si annulla. Questo è garantito dal seguente
Lemma: le funzioni trigonometriche | cot πz| e |1/ sin πz| sono limitate su ogni quadrato QN di lato
2(N + 1/2) centrato nell’origine.
Dimostrazione – Si consideri un punto z = x + iy ∈ QN . Si hanno i seguenti casi:
• y > 1/2, x arbitrario
| cot πz| =
1 + e−2πy
1 + e−π
eiπz + e−iπz
π
≤
≤
= coth ,
eiπz − e−iπz
1 − e−2πy
1 − e−π
2
• y < −1/2, x arbitrario
| cot πz| =
π
1 + e−π
eiπz + e−iπz
1 + e+2πy
= coth , ,
≤
≤
eiπz − e−iπz
1 − e2πy
1 − e−π
2
• −1/2 ≤ y ≤ 1/2, x = ±(N + 1/2)
1
| cot πz| = cot π N + ± iy
2
= |tan iπy| = | tanh πy| ≤ tanh
π
π
< coth .
2
2
Di qui segue che per ogni z ∈ QN , cot πz è maggiorata da una costante indipendente da N , cioè
| cot πz| ≤ coth
π
,
2
z ∈ QN .
29
Una simile maggiorazione vale anche per l’inverso del seno.
Questo signiﬁca che, data una qualunque funzione che si annulla più rapidamente di 1/|z| all’inﬁnito, per
il teorema di Darboux si ha
lim
N →∞
I
QN
1
|f (z)||T (z)| = 0 ,
dz f (z)T (z) ≤ lim 8 N +
N →∞
2
dove T (z) è una delle funzioni trigonometriche precedenti (cotangente o cosecante). Il cammino di
integrazione può essere deformato a piacere (basta non attraverare i poli) e quindi a QN si può sostiture
una qualsiasi curva chiusa CN .
E’ evidente che un risultato analogo vale anche per la tangente e la secante che sono le funzioni precedenti
traslate. Volendo eﬀettuare una dimostrazione diretta anche per questi due casi si deve considerare un
quadrato QN di lato 2N , in quanto i poli sono i numeri semi-interi).
Per concludere si ha
lim
N →∞
I
CN
dz f (z)T (z) ≤ 0 ,
(10.2)
dove T (z) è la tangente, la cotangente, la secante o la cosecante e CN è un cammino chiuso che non
interseca nessun polo.
E’ evidente che il metodo di somma appena esposto si può applicare anche se la funzione f (z) non è
razionale, ma in tal caso bisogna veriﬁcare esplicitamente la validità dell’equazione (10.2). A titolo di
esempio si consideri la serie trigonometrica
g(α) =
∞
X
(−1)n
n=1
sin nα
,
n3
che converge uniformemente ad una funzione (continua) dispari e periodica. E’ quindi suﬃciente considerare α ∈ [0, π]. In questo intervallo, procedendo come sopra per y > 1/2 e x arbitrario si ha
π
sin αz
e−iαz (1 − e2iαz )
eαy (1 + e−2αy )
1 + e−π
−(π−α)y
.
= −iπz
≤
≤
[e
]
≤ coth
2iπz
πy
−2πy
−π
sin πz
e
(1 − e
)
e (1 − e
1−e
2
In modo simile si ottengono le maggiorazioni sugli altri lati del quadrato e quindi la (10.2) è veriﬁcata.
Ora integrando la funzione sin αz/(z 3 sin πz sul quadrato QN e prendendo il limite N → ∞ si ottiene
0=
I


X
sin αz
sin
nα
sin
αz
dz 3
= 2πi 
+ Res
;0  ,
(−1)n
z sin πz
πn3
z 3 sin πz
n6=0
da cui segue
g(α) =
1 X
π
sin αz
sin nα
=
−
Res
;
0
.
(−1)n
2
n3
2
z 3 sin πz
n6=0
Si osservi che il polo nell’origine deve essere trattato a parte in quanto il polo è triplo. Dallo sviluppo di
Laurent attorno all’origine si ha
sin αz
αz − α3 z 3 /6 + ...
α
∼
∼
3
3
3
3
z sin πz
z (πz − π z /6) + ...
πz 3
α2 z 2
1−
6
30
π2 z2
1+
6
+ ... ∼
α(π 2 − α2 )
+ ...
6πz
da cui
g(α) = −
α(π 2 − α2 )
,
12
−π ≤ α ≤ π .
(Si veriﬁchi il risultato usando lo sviluppo di Fourier).
10.3
Integrazione di funzioni trigonometriche
L’integrale su un periodo di una funzione arbitraria di funzioni trigonometriche F (sin ϑ, cos ϑ) è equivalente all’integrale di una funzione f (z) sulla circonferenza |z| = 1. Mediante il cambiamento di variabile
z = eiϑ e l’uso delle formule di Eulero si ricava infatti
Z
2π
I
dϑ F (sin ϑ, cos ϑ) =
0
10.4
dz f (z) ,
f (z) =
|z|=1
1
F
iz
z2 − 1 z2 + 1
,
2iz
2z
.
Valore principale di Cauchy
E’ una regola che permette di dare un senso a integrali altrimenti divergenti. Si consideri una funzione
f (x) continua in [a, b] eccetto che nel punto x0 e la funzione
I(ε) =
Z
x0 −ε
dx f (x) +
b
Z
dx f (x) .
x0 +ε
a
Il limite per ε → 0 di I(ε) può esistere anche se la funzione non è integrabile (negli integrali impropri
secondo Riemann si richiede l’esistenza del limite destro e sinistro separatamente). Se tale limite è ﬁnito
si dice che l’integrale esiste come valore principale di Cauchy. Si scrive
vP
Z
b
dx f (x) = lim
ε→0
a
"Z
x0 −ε
dx f (x) +
Z
#
b
dx f (x) .
x0 +ε
a
Se nell’intervallo di integrazione ci sono n punti singolari x1 , x2 , ..., xn , allora
vP
Z
b
dx f (x) =
a
n
X
k=1
"Z
lim
εk →0
xk −εk
dx f (x) +
a
Z
b
#
dx f (x) .
xk +εk
In modo analogo si tratta l’eventuale singolarità all’inﬁnito, cioè
vP
Z
∞
dx f (x) = lim
R→∞
−∞
10.5
Z
R
dx f (x) .
−R
Trasformate di Hilbert
Queste connettono fra loro la parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica. Sia f (z) una
funzione analitica nel semipiano superiore Im z ≥ 0 e tale che |f (z)| → 0 per z → ∞ (nel semipiano
superiore). Si chiamano trasformate di Hilbert gli integrali
1
Re f (x) = vP
π
∞
Im f (t)
dt
,
t−x
−∞
Z
1
Im f (x) =
vP
πi
Z
∞
−∞
dt
Re f (t)
.
t−x
Per veriﬁcare questo risultato basta integrare la funzione g(z) = f (z)/(z − x) lungo il cammino chiuso
CR,ε = γR + γε + γ+ + γ− dove γR è la semicirconferenza |z| = R (nel semipiano superiore), γε è la
31
semicirconferenza |z − x| = ε (nel semipiano superiore), γ+ è la semiretta [x + ε, ∞) e inﬁne γ− è la
semiretta (−∞, x − ε]. La funzione integranda g(z) ha un solo polo sull’asse reale, ma questo è esterno
al cammino di integrazione e pertanto il suo integrale è nullo. Pertanto
Z
Z
Z
Z
dz g(z) +
dz g(z) +
dz g(+) +
dz g(z) = 0 .
ΓR
γε
Γ+
Γ−
Nel limite R → ∞, il primo integrale si annulla per il teorenma di Darboux, mentre i due integrali
su γ± , nel limite ε → 0, danno il valore principale dell’integrale della funzione g(x) sull’asse reale. Il
secondo integrale si calcola direttamente usando la rappresentazione polare e osservando che, per l’ipotesi
di analiticità,
f (z) = f (x) + f ′ (x)(z − x) + o [z − x]2 .
In tal modo si ottiene
Z
Z
dz g(z) = f (x)
γε
γε
dz
+ f ′ (x)
z−x
Z
γε
dz + o(ε2 ) = −iπf (x) + o(ε) .
Nel limite R → ∞ , ε → 0 si ha ﬁnalmente
1
vP
f (x) =
iπ
Z
∞
f (t)
.
t−x
dt
−∞
Prendendo la parte reale e la parte immaginaria dell’espressione precedente si ottiene il risultato richiesto.
E’ evidente che un risultato simile vale anche per unaa funzione f (z) analitica e tendente a zero nel
semipiano inferiore. In tal caso si ottengono le stesse trasformazioni però con il segno scambiato. Questo
non è in contraddizione con le formule precedenti perché una funzione analitica ovunque e che si annulla
all’inﬁnito è identicamnte nulla.
11
Applicazioni
Consideriamo ora alcuni problemi classici che si risolvono mediante l’uso dell’analisi complessa.
11.1
Integrali di Fresnel
Si incontrano in ottica nello studio della rifrazione:
Z ∞
Z ∞
dx sin(αx2 ) ,
dx cos(αx2 ) ,
α ∈ IR .
0
0
2
Si consideri la funzione complessa f (z) = e−αz con α > 0 e la si integri sul cammino chiuso C formato
dal perimetro del settore circolare di raggio R e di ampiezza π/4. All’interno di tale settore, costituito
dai punti con |z| ≤ R ; 0 ≤ arg z ≤ π/4, la funzione è analitica. Allora si ha
0=
I
dz f (z) =
Z
0
C
R
iπ/4
dρ f (ρ) − e
Z
R
iπ/2
dρ f (ρe
) + iR
Z
π/4
dϑ eiϑ f (Re2iϑ ) .
0
0
Ora osserviamo che
lim
R→∞
iR
Z
0
π/4
dϑ eiϑ e−αR
2 2iϑ
e
≤
≤
π/4
lim R
Z
R
2
Z
R→∞
lim
R→∞
dϑ e−αR
2
cos 2ϑ
0
32
0
π/2
dϕ e−2αR
2
ϕ/π
= lim
R→∞
i
2
π h
1 − e−αR = 0 .
4αR
Nell’ultimo integrale si è eﬀettuato il cambiamento di variabile 2ϑ = π/2 − ϕ e quindi si è maggiorato
ulteriormente(vedi Lemma di Jordan).
Passando al limite nell’espressione sopra si ottiene quindi
Z
∞
2
dρ e−iαρ = e−iπ/4
Z
∞
2
dρ e−αρ =
0
0
e−iπ/4
2
r
π
1
= √
α
2 2
r
π
(1 − i) ,
α
α > 0.
Si osservi che questo risultato è quello che si ottiene con la sostituzione α → iα se per la radice si prende
la determinazione principale.
Gli integrali di Fresnel corrispondono alla parte reale e immaginaria dell’espressione precedente, per cui
Z
∞
2
dx cos(αx ) =
∞
Z
0
0
1
dx sin(αx ) =
4
2
s
2π
,
|α|
α > 0.
Nel caso del coseno, che è una funzione pari, questo risultato vale anche per α < 0 mentre per il seno,
che è una funzione dispari, il valore dell’integrale è negativo se α < 0.
11.2
Sviluppi di Mittag-Leffler
Sviluppare le seguenti funzioni trigonometriche:
f1 (z) =
1
,
cos z
f2 (z) = tan z ,
f3 (z) =
1
,
sin z
f4 (z) = cot z .
La formula di Mittag-Leﬄer (7.1) vale se tutti i poli sono semplici e ovviamente non nell’origine. Inoltre
la funzione f (z) in esame deve soddisfare la condizione max |f (z)|/|z| → 0 quando z → ∞, con z ∈ CN ;
CN è una curva chiusa che non interseca nessun polo.
Le funzioni considerate sopra soddisfano tutte la condizione richiesta all’inﬁnito in quanto si è dimostrato
precedentemente che sono limitate su opportuni quadrati QN e inoltre hanno tutte poli semplici. Le
funzioni f1 (z) e f2 (z) sono pure regolari nell’origine e quindi si possono sviluppare applicando la formula
(7.1), mentre le funzioni f3 (z) e f4 (z) hanno un polo nell’origine che si deve togliere prima di applicare
la (7.1) deﬁnendo le funzioni
g3 (z) = f3 (z) −
1
1
Res(f3 ; 0)
=
− ,
z
sin z
z
g4 (z) = f4 (z) −
I residui nei poli delle funzioni fk sono (n ∈ ZZ)
Res(f1 ; [n + 1/2]π)
Res(f2 ; [n + 1/2]π)
= −(−1)n ,
= −1 ,
Res(f3 ; nπ) = (−1)n ,
Res(f4 ; nπ) = 1 ,
Ora è possibile applicare la (7.1). Si ottiene
f1 (z) =
∞
X
1
(−1)n z
=1−
,
cos z
[z − (n + 1/2)π](n + 1/2)π
n=−∞
f2 (z) =
tan z = −
f3 (z) =
f4 (z) =
∞
X
z
,
[z − (n + 1/2)π](n + 1/2)π
n=−∞
∞
X
1
(−1)n z
1
,
= +2
2
sin z
z
z − n2 π 2
n=1
∞
X
1
z
cot z = + 2
.
2 − n2 π 2
z
z
n=1
33
Res(f4 ; 0)
1
= cot z − .
z
z
11.3
Quantizzazione secondo Bohr-Sommerfeld
E’ una ricetta di quantizzazione precedente alla meccanica quantistica.
Siano pk , qk le variabili coniugate di una particella (legata; moto classico periodico). La quantizzazione
di Bohr-Sommerfeld aﬀerma che le “traiettorie” della particella nello spazio delle fasi non possono essere
qualsiasi ma devono soddisfare la regola di quantizzazione
I
dqk pk = nk h ,
nk ∈ IN (numeri quantici),
che vale per grandi numeri quantici (nk ≫ 1; quantizzazione semiclassica). Gli integrali sono fatti lungo
la traiettoria classica (chiusa) e devono essere dei multipli interi della costante di Planck h.
• Come primo esempio si consideri un oscillatore armonico unidimensionale di massa m e frequenza
angolare ω. L’hamiltoniana è H = p2 /2m + mω 2 q 2 /2 e classicamente non c’è nessuna restrizione
sui possibili valori dell’energia. Ad ogni valore di E corrisponde una traiettoria (ellisse) nello spazio
delle fasi. Si ha infatti
r
mω 2 q 2
2E
p2
+
=⇒
p2 = m2 ω 2 L2 − q 2 ,
|q| ≤
= L,
E=
2m
2
mω 2
dove L è la massima elongazione. Usando il metodo di quantizzazione descritto sopra si ottiene
I
Z −L p
dq L2 − q 2 = nh .
dq p = 2mω
L
√
L’integrale precedente si calcola con il metodo dei residui integrando la funzione f (z) = L2 − z 2
su una curva chiusa C contenente il segmento [−L, L]. All’esterno della curva la funzione è analitica,
quindi
I
dz f (z) = −2πi Res(f ; ∞) = πL2 .
C
La curva C è arbitraria (basta soltanto che racchiuda il taglio) per cui si può scegliere arbitrariamente vicina al segmento [−L, L]. In tal modo si ottiene
I
C
dz f (z) = 2
Z
−L
L
dq
p
L2 − q 2
e ﬁnalmente
I
I
dq p = mω
dz f (z) = mπωL2 = nh
=⇒
En = nh̄ω ,
C
che per n ≫ 1 coincide con il valore dato dalla meccanica quantistica En = (n + 1/2)h̄ω.
• Come secondo esempio si consideri una particella di massa m in un potenziale centrale attrattivo
V (r) = −k/r (k > 0; atomo di idrogeno). La lagrangiana e l’hamiltoniana in coordinate polari
sferiche sono
i
m h 2
ṙ + r2 ϑ̇2 + r2 sin2 ϑϕ̇2 − V (r) ,
L =
2 "
#
p2ϕ
1
p2ϑ
2
H =
pr + 2 + 2 2
+ V (r) ,
2m
r
r sin ϑ
dove pr , pϑ , pϕ sono gli impulsi coniugati alle coordinate polari r, ϑ, ϕ. Dalla regola di quantizzazione
si ha
I
I
I
Jr = dr pr = nr h ,
Jϑ = dϑ pϑ = nϑ h ,
Jϕ = dϕ pϕ = nϕ h .
34
Poichè ϕ è una variabile ciclica il suo impulso coniugato è costante e quindi
I
Jϕ = dϕ pϕ = 2πpϕ = nϕ h
=⇒
pϕ = nϕ h̄ ,
che è la regola di quantizzazione della proiezione lungo l’asse z del momento angolare L (pϕ ≡ Lz ).
nϕ è il numero quantico magnetico che usulamente si indica con m. Ricordando le equazioni di
Halmiton e la deﬁnizione di impulso coniugato
pk =
∂L
,
∂ q̇k
pk = −
si ricava direttamente
#
"
p2ϕ
d
2
= 0,
pϑ +
dt
sin2 ϑ
∂H
,
∂qk
p2ϑ +
=⇒
p2ϕ
sin2 ϑ
= α2 = costante ,
che è la legge di conservazione del quadrato del momento angolare (α2 = |L|2 ).
Per ricavare Jϑ conviene sfruttare il fatto che il momento angolare è conservato. Questo signiﬁca
che la traiettoria è contenuta in un piano e quindi conviene scegliere il sistema di riferimento in
modo che l’asse z sia ortogonale al piano del moto (o equivalentemente parallelo al vettore momento
angolare). Con questa scelta l’hamiltoniana assume la forma
"
1
H=
2m
p2r
#
p2φ
+ 2 + V (r) ,
r
dove ora r, φ sono coordinate polari piane (cilindriche) e pφ = α è il modulo del momento angolare
(costante).
P
Come è noto, in generale l’energia cinetica è data dall’espressione T = (1/2) k pk q̇k . Per il nostro
sistema, scrivendo questa espressione in coordinate sferiche e cilindriche si ottiene
2T = pr ṙ + pϑ ϑ̇ + pϕ ϕ̇ = pr ṙ + pφ φ̇
=⇒
pϑ dϑ = pφ dφ − pϕ dϕ .
Poiché pφ e pϕ sono entrambi costanti si ha banalmente
Jϑ =
I
dϑ pϑ =
Z
2π
dφ pφ −
0
Z
2π
0
dϕ pϕ = 2π(pφ − pϕ ) .
Da quest’ultima equazione e da Jϕ si ricava ﬁnalmente
Jϑ + Jϕ
pφ =
= (nϑ + nϕ )h̄ = α
2π
=⇒
α2
1
2
p + 2 + V (r) ,
E=
2m r
r
dove E è l’energia della particella. Siamo ora in grado di ricavare anche Jr e di conseguenza la
regola di quantizzazione dell’energia. Si ha
Jr
=
=
r2
r
α2
dr 2m[E − V (r)] − 2
r
r1
s
Z
Z r2
r
2
p
p
dr
dr p
α2
kr
2 2m|E|
r2 −
r − r1 )(r2 − r) ,
+
= 2 2m|E|
r
|E| 2m|E|
r
r1
r1
I
dr pr = 2
Z
dove r1 , r2 sono gli zeri della funzione sotto radice che soddisfano le condizioni
r1 + r2 =
k
,
|E|
r1 r2 =
α2
,
2m|E|
(11.1)
35
L’integrale precedente si calcola con il metodo dei residui. A questo scopo consideriamo la funzione
f (z) =
1p
(z − r1 )(z − r2 ) = ig(z) ,
z
g(z) =
1p
(z − r1 )(r2 − z) ,
z
e la integriamo su un contorno chiuso attorno al taglio fra r1 e r2 . Usiamo la determinazione
principale per entrambe le radici e osserviamo che per z± = x ± iε (0 < ε ≤ 1, x ∈ (r1 , r2 )) si ha
f (z+ )
f (z− )
=
=
1
z
1
z
h
h
1
z
i 1
log(x−r2 −iε)
∼
z
1
log(x−r1 +iε)+ 12 log(x−r2 +iε)
1
log(x−r1 −iε)+ 12
e2
e2
Con la determinazione scelta si ha inoltre
√
√
limz→0 z − r1 = r1 eiπ/2 ,
√
√
=⇒
limz→0 z − r2 = r2 eiπ/2 .
i
∼
lim
z→0
h 1
e2
h 1
e2
p
log |x−r1 |+ 12 log |x−r2 |+i π
2
log |x−r1 |+iπ+ 12
i
= ig(x)
i
log |x−r2 |+i π
2
= −ig(x) .
√
(z − r1 )(z − r2 ) = − r1 r2 .
Tenendo conto di queste osservazioni e del fatto che la funzione ha un polo all’inﬁnito e uno
nell’origine si ottiene
I
dz f (z) = −2i
Z
r2
r1
√
dr g(r) = −2πi[Res(f (z); 0) + Res(f (z); ∞)] = 2πi[− r1 r2 + f racr1 + r2 2] ,
da cui segue
Jr
=k
2π
r
m
− α = nr h̄
2|E|
e ﬁnalmente
En = −
mk 2
,
2n2 h̄2
n2 = (nr + nϑ + nϕ )2 ,
che in questo caso coincide esattamente con la regola di quantizzazione della meccanica quantistica.
36
SECONDA PARTE
Definizioni
Alcuni dei concetti seguenti si possono deﬁnire in spazi più generali, ma qui siamo interessati agli spazi
euclidei per i quali è deﬁnito il concetto di “distanza” fra due punti arbitrari. Questo è dato dalla norma
della diﬀerenza dei due punti, che per spazi reali diventa una vera distanza ρ(x, y) = ||x − y|| (vedi sotto).
• Discontinuità di prima specie. – Quando i limiti destro e sinistro esistono entrambi ma sono diversi
fra loro.
• Funzione a variazione limitata. – f deﬁnita in [a, b] si dice a variazione limitata se, per ogni
suddivisone dell’intervallo del tipo a = x0 < x2 < · · · < xn = b si ha
n
X
k=1
|f (xk ) − f (xk−1 )| < costante .
• Funzione assolutamente continua. – f deﬁnita in [a, b] si dice assolutamente continua se, ﬁssato
arbitrariamente ε > 0, esiste δ per cui
X
k
|f (bk ) − f (ak )| < ε ,
X
k
(bk − ak ) < δ ,
dove (ak , bk ) è una qualsiasi famiglia ﬁnita di intervalli disgiunti.
Ogni funzione assolutamente continua è uniformemente continua e a variazione limitata.
In particolare, l’integrale indeﬁnito di ogni funzione sommabile deﬁnisce una funzione assolutamente
continua.
• Convergenza quasi ovunque. – Si dice che la successione {fn } converge a f quasi ovunque se
fn (x) → f (x), a meno di un insieme di misura nulla, vale a dire, l’insieme dei punti in cui la funzione
non converge ha misura nulla.
• Sottoinsieme denso: un insieme M1 è denso in M se ogni punto di M è circondato da punti di M1
arbitrariamente vicini. In maniera precisa: per ogni x ∈ M e comunque scelto un numero ε > 0,
esiste un elemento x1 ∈ M1 tale che ||x − x1 || < ε.
• Successione Fondamentale (o di Cauchy). – Una successione {xk } si dice fondamentale se soddisfa
il criterio di Cauchy, vale a dire se, comunque scelto un numero ε > 0, esiste un intero Nε tale
che ||xn − xm || < ε, per ogni n, m > Nε . Ogni successione convergente ovviamente soddisfa questo
criterio. In generale però non vale il viceversa. Quindi il criterio di Cauchy è una condizione
necessaria ma non suﬃciente per la convergenza delle successioni.
• Completezza di uno spazio. – Uno spazio M si dice completo se ogni successione fondamentale è
convergente. Questo signiﬁca che in uno spazio completo, la condizione di Cauchy è necessaria e
suﬃciente per la convergenza.
Esempio. L’insieme Q dei numeri razionali non è completo. Esistono infatti successioni di numeri
razionali che convergono ad un numero reale, ma non razionale. L’insieme dei numeri reali IR è
completo ed è anche il completamento di Q. In IR ogni successione fondamentale converge ad un
numero reale.
• Spazio separabile. – Uno spazio M si dice separabile se contiene un insieme numerabile ovunque
denso in M (gli spazi che si incontrano comunemente lo sono).
Esempio. Un numero reale si può approssimare con precisione assoluta mediante un numero razionale. L’insieme dei numeri razionali Q è quindi denso in IR; inoltre Q è numerabile e dunque IR è
separabile.
37
Teoremi classici
• Teorema di Lebesgue. – Se {fn } è una successione di funzioni convergente a f e per ogni n vale
la relazione |fn (x)| ≤ φ(x), dove φ(x) è una funzione integrabile, allora anche le funzioni fn sono
integrabili e il limite degli integrali di fn converge all’integrale di f (si può scambiare il limite con
l’integrale). In particolare, se l’insieme di integrazione ha misura ﬁnita, allora il teorema vale per
ogni successione limitata.
• Teorema di Levi. – Se f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ ... ≤ fn (x) ≤ ... è una successione di funzioni integrabili
e tutti gli integrali sono maggiorati da un’unica costante, allora la successione converge a f quasi
ovunque e inoltre l’integrale di f è il limite degli integrali.
• Teorema di Fatou. – Se {fn } è una successione di funzioni non negative convergente a f e tutti gli
integrali di fn sono maggiorati da una costante comune, allora l’integrale di f esiste ed è maggiorato
dalla stessa costante.
38
12
Spazio Euclideo (complesso)
• Se non speciﬁcato diversamente, in questa sezione x, y, z, ... sono arbitrari elementi (vettori) di uno
spazio lineare M , mentre α, β, ... sono numeri complessi arbitrari.
Si chiama spazio euclideo (complesso) uno spazio lineare complesso M in cui è deﬁnito un prodotto scalare.
Questo è una funzione (x, y) che ad ogni coppia di elementi x, y ∈ M associa un numero complesso e
gode delle seguenti proprietà:
1)
2)
3)
4)
(x, x) ≥ 0
e inoltre
(x, x) = 0
se e solo se
x = 0;
(la barra rappresenta la coniugazione complessa);
(x, y) = (y, x)
(x, α y) = α (x, y) ,
(α x, y) = ᾱ (x, y);
(x, y + z) = (x, y) + (x, z).
Ogni spazio euclideo è anche normato e metrico. Infatti, mediante il prodotto scalare si può deﬁnire la
norma ||x|| del generico elemento x ∈ M , vale a dire
||x|| =
p
(x, x) ,
(12.1)
che gode delle proprietà:
1) ||x|| ≥ 0
e
||x|| = 0
se e solo se
x = 0;
2) ||α x|| = |α| · ||x||;
3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
(disuguaglianza triangolare).
Le proprietà 1) e 2) seguono direttamente dalle proprietà del prodotto scalare, mentre la 3) segue dalla
disuguaglianza di Cauchy-Bounjakowskij4 .
|(x, y)| ≤ ||x|| · ||y|| .
(12.2)
Questa si dimostra facilmente considerando la disuguaglianza
0 ≤ (λx + y, λx + y) = |λ|2 (x, x) + λ̄(x, y) + λ(y, x) + (y, y) = ||x||2 |λ|2 + 2 Re [λ(y, x)] + ||y||2 .
Poiché λ è un un numero complesso arbitrario si può scegliere
λ=
(x, y)
t,
|(x, y)|
t ∈ IR
=⇒
Re [λ(y, x)] = |(x, y)| t .
Con questa scelta si ricava la disequazione
||x||2 t2 + 2|(x, y)|t + ||y||2 ≥ 0 ,
che è sempre veriﬁcata se il discriminante è negativo o nullo. Imponendo tale condizione si ottiene
direttamente la disuguaglianza di Cauchy-Bounjakowskij.
Se lo spazio euclideo è reale, allora mediante la norma si può deﬁnire la distanza ρ(x, y) fra due punti
arbitrari x, y ∈ M . Questa è data da
ρ(x, y) = ||x − y||
e gode delle proprietà:
4 Si ricordi che il modulo del prodotto di due vettori reali è uguale al prodotto dei moduli per il coseno del’angolo
compreso, che è sempre minore di 1.
39
1) ρ(x, y) ≥ 0
e
ρ(x, y) = 0
se e solo se
x = y;
2) ρ(x, y) = ρ(y, x);
3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z)
(disuguaglianza triangolare).
In ogni spazio euclideo la somma, il prodotto per un numero e il prodotto scalare sono continui. Questo
signiﬁca che se {xn } e {yn } sono due successioni che convergono a x e y rispettivamente e αn è una
successione numerica che converge ad α, allora si ha
xn + yn → x + y ,
αn xx → αx ,
(xn , yn ) → (x, y) .
La convergenza nello spazio M va intesa rispetto alla norma, vale a dire:
xn → x
signiﬁca che
||xn − x|| → 0.
Qui dimostriamo la prima di queste relazioni. Le altre due si dimostrano in modo analogo usando le
proprietà della norma e la disugualianza (12.2). Si ha
||(xn + yn ) − (x + y)|| = ||(xn − x) + (yn − y)|| ≤ ||xn − x|| + ||yn − y|| → 0 .
In uno spazio euclideo reale, la norma rappresenta la “lunghezza del vettore” e il prodotto scalare permette
di deﬁnire l’angolo φ formato da due vettori x, y (non nulli) mediante la relazione
cos φ =
(x, y)
,
||x|| · ||y||
| cos φ ≤ 1| ,
0 ≤ φ ≤ π,
(spazio reale).
(12.3)
Se φ = π/2 i due vettori si dicono ortogonali.
Se lo spazio in questione è complesso, la relazione (12.3) perde in generale di signiﬁcato in quanto il
prodotto scalare può essere complesso, tuttavia rimane signiﬁcativo il concetto di ortogonalità fra vettori.
In uno spazio euclideo (complesso) un sistema di vettori non nulli {xi } si dice ortonormale se
(xi , xj ) = δij ,
δij =
0 per
1 per
i 6= j
i=j
,
e semplicemente ortogonale se tutti i vettori in questione non hanno norma uguale a 1.
Si veriﬁca facilmente che i vettori ortogonali sono fra loro linearmente indipendenti. Infatti si ha (basta
moltiplicare scalarmente per xi generico)
α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn = 0
=⇒
αi = 0 ,
i = 1, 2, ..., n .
Un sistema (ortogonale) si dice completo se il più piccolo sottospazio (chiuso) di M che contiene lo
spazio generato dal sistema è M stesso. In tal caso il sistema (ortogonale/ortonormale) forma una base
(ortogonale/ortonormale) e ogni elemento di M si può scrivere (in un solo modo) come combinazione
lineare dei vettori di base.
Si dimostra che in uno spazio euclideo separabile, ogni sistema ortonormale è numerabile (o ﬁnito) e si
dimostra inoltre che esiste sempre un sistema ortonormale completo.
Se non speciﬁcato altrimenti, nel seguito cosidereremo sempre sistemi ortonormali in quanto a partire da
un sistema di vettori linearmente indipendenti è possibile costruire un sistema ortonormale mediante una
procedura di ortonormalizzazione.
12.1
Esempi di spazi euclidei
IR – La retta reale è uno spazio euclideo (reale) di dimensione 1. Il prodotto scalare è banalmente il
prodotto fra numeri reali e la norma coincide con il modulo. La distanza è il modulo della diﬀerenza.
40
IRn – Le n-uple ordinate x ≡ (x1 , x2 , ..., xn ) di numeri reali formano uno spazio euclideo (reale) di
dimensione n con il prodotto scalare dato da (x, y) = x1 y 1 +x2 y 2 +...+xn y n . Una base ortonormale
è data dai versori
e1 = (1, 0, 0, ..., 0) ,
e2 = (0, 1, 0, ..., 0) ,
...
en = (0, 0, 0, ..., 1) .
ℓ2 – P
Lo spazio i cui elementi sono della forma x ≡ (x1 , x2 , ..., xn , ...) (xk ∈ C)
I P
con la condizione
∞
∞
k 2
k k
|x
|
<
∞.
Questo
spazio,
munito
del
prodotto
scalare
(x,
y)
=
k=1
k=1 x̄ y , è uno spazio
euclideo (complesso) inﬁnito-dimensionale. Una base è data dal sistema di inﬁniti vettori
e1 = (1, 0, 0, ...) ,
e2 = (0, 1, 0, ...) ,
e3 = (0, 0, 1, ...) ,
....
C2 [a, b] – Lo spazio delle funzioni complesse, continue nell’intervallo [a, b] munito del prodotto scalare
Rb
è uno spazio euclideo (complesso) inﬁnito-dimensionale. Una base
(f, g) = a f¯(t)g(t) dt
{ϕn , ψn } per questo spazio è data dalle funzioni trigonometriche
ϕ0 = 1 ,
ϕn = cos
2πn t
,
b−a
ψn = sin
2πn t
,
b−a
n = 1, 2, 3, ...
L’ortogonalità di questo sistema si veriﬁca direttamente, mentre la completezza è una diretta conseguenza del teorema di Weierstrass (La completezza di un sistema in genere è assai diﬃcile da
dimostrare).
12.2
Sistemi ortonormali chiusi
Da ora in avanti si assumerà che gli spazi in esame siano separabili.
Dato un vettore x in IRn e una base ortonormale {ek } si ha
x=
n
X
ck xk ,
ck = (xk , x) ,
k=1
dove i coeﬃcienti ck rappresentano le coordinate del vettore rispetto alla base data (se la base è quella
dell’esempio precedente allora ck sono le coordinate cartesiane).
Il concetto di “coordinata” si può generalizzare anche al caso in cui lo spazio sia inﬁnito-dimensionale.
Sia infatti M uno spazio euclideo inﬁnito-dimensionale e ϕn un sistema ortonormale. Dato un arbitrario
elemento f ∈ M , che chiameremo ancora vettore, deﬁniamo le sue “coordinate” ck , dette in questo caso
coefficienti di Fourier (in senso generalizzato-vedi sezione (12.5.1)), mediante la relazione
ck = (ϕk , f ) ,
c̄k = (ϕk , f ) = (f, ϕk ) ,
k = 1, 2, 3, ...
e consideriamo la serie formale
∞
X
ck ϕk ,
(serie di Fourier).
(12.4)
k=1
La serie precedente sarà detta serie di Fourier (in senso generalizzato-vedi sezione (12.5.1)), del vettore
f rispetto al sistema {ϕk }. E’ chiaro che tutto questo è sensato se la serie è convergente e se questa
converge al vettore f .
Per prima cosa dimostriamo che eﬀettivamente la serie precedente è convergente per qualunque f ∈ M .
Abbiamo
Sn =
n
X
k=1
ck ϕk ,
||f − Sn || ≥ 0 .
41
Usando le proprietà della norma e la deﬁnizione di ck si ha
0 ≤ ||f −
n
X
k=1

ck ϕk ||2
= f −
n
X
i=1
= ||f ||2 −
= ||f ||2 −
ci ϕi , f −
n
X
k=1
n
X
n
X
j=1
c̄k (ϕk , f ) −

cj ϕj 
n
X
ck (f, ϕk ) +
k=1
n
n X
X
c̄i cj (ϕi , ϕj )
i=1 j=1
c2k .
k=1
Dalla disuguaglianza precedente segue
n
X
k=1
|ck |2 ≤ ||f ||2
=⇒
∞
X
k=1
|ck |2 ≤ ||f ||2 ,
(disuguaglianza di Bessel)
e di conseguenza la serie di partenza è convergente. Come si vede, la serie (12.4) converge al vettore f
(in norma) quando nell’ultima espressione vale l’uguaglianza.
Pn
E’ interessante osservare che fra tutti i possibili vettori g = k=1 αk ϕk (n e αk sono arbitrari) costruiti
mediante combinazioni lineari delle {ϕk }, quello che ha “distanza” minima da f si ha per αk = ck . Infatti,
procedendo come sopra si ottiene
||f − g||2
= ||f −
n
X
k=1
= ||f ||2 −
αk ϕk ||2 = ||f ||2 −
n
X
k=1
|ck |2 +
n
X
k=1
n
X
(ᾱk ck + αk c̄k ) +
k=1
n
X
k=1
|αk |2
|αk − ck |2 .
Questa espressione è chiaramente minima per αk = ck .
Come detto sopra, la serie (12.4) converge al vettore f quando la relazione di Bessel diventa un’uguaglianza, ossia quando il sistema ortonormale è chiuso.
Definizione . – Il sistema ortonormale ϕk si dice chiuso se vale la relazione di Parseval
∞
X
k=1
|ck |2 = ||f ||2 ,
(uguaglianza di Parseval).
Si è detto precedentemente che in ogni spazio euclideo separabile esiste sempre un sistema ortonormale
(numerabile) completo. Ora dimostriamo che ogni sistema ortonormale completo è anche chiuso e quindi
completezza e chiusura diventano concetti “equivalenti”.
Teorema . – In ogni spazio euclideo separabile M , ogni sistema ortonormale completo {ϕk } è chiuso e
viceversa.
Dimostrazione – . – Sia {ϕk } chiuso. Allora ogni elemento f ∈ M si può sviluppare in serie di Fourier,
ossia si può approssimare, con precisione a piacere, mediante una combinazione di vettori {ϕk }. Questo
signiﬁca che lo spazio generato da {ϕk } è denso in M e quindi il sistema è completo.
– Vicersa, sia {ϕk } completo. Allora ogni elemento f ∈ M si può approssimare, con precisione a piacere,
mediante una combinazione di vettori di base. Per
dimostrato sopra, fra tutte le possibili comPquanto
n
binazioni che approssimano f , la somma parziale k=1 ck ϕk è la più precisa. Quindi la serie di Fourier
converge a f e vale la relazione di Parseval.
Da questo teorema segue che ogni spazio euclideo inﬁnito-dimensionale, separabile e completo è isomorfo
a ℓ2 (i coeﬃcienti di Fourier {ck } di una funzione sono un elemento di ℓ2 ).
42
12.3
Teorema di Riesz-Fisher
Siano dati un sistema ortonormale (non necessariamente completo) e una successione di numeri c1 , c2 , c3 ....
Ci si può chiedere sotto quali condizioni questi numeri sono i coeﬃcienti di Fourier
qualche vettore
Pdi
∞
f ∈ M . Come segue dalla disuguaglianza di Bessel, una condizione necessaria è che k=1 |ck |2 < ∞. Se
lo spazio è completo, questa condizione è anche suﬃciente.
Teorema (Riesz-Fisher). – Sia {ϕk } un sistema P
ortonormale in uno spazio euclideo M separabile e
∞
completo e {ck } una successione numerica tale che k=1 |ck |2 < ∞. Allora esiste un elemento f ∈ M
per cui
∞
X
ck = (ϕk , f ) ,
k=1
|ck |2 = ||f ||2 .
Dimostrazione – . Poniamo fn =
n abbastanza grande si ha
||fn+p − fn ||2 = ||
n+p
X
k=n+1
Pn
k=1 ck ϕk .
ck ϕk ||2 =
n+p
X
k=n+1
Questa è una successione fondamentale in quanto, per
|ck |2 < ε .
L’ultima espressione segue dall’ipotesi di convergenza. Inoltre, per l’ipotesi di completezza di M , deve
esistere un vettore f ∈ M tale che
fn → f ,
vale a dire
||f − fn || → 0 .
Ora osserviamo che, per n ≥ k si ha
(ϕk , f ) = (ϕk , fn ) + (ϕk , f − fn ) = ck + (ϕk , f − fn ) .
Passando al limite per n → ∞ e usando la continuità del prodotto scalare si ottiene la prima tesi
(ϕk , f ) = ck .
Per ricavare la seconda basta sviluppare la norma

||f − fn ||2 = f −
n
X
i=1
ci ϕi , f −
n
X
j=1

cj ϕj  = ||f ||2 −
n
X
k=1
|ck |2
e passare al limite per n → ∞.
Definizione . – Uno spazio euclideo completo inﬁnito-dimensionale è detto spazio di Hilbert.
Teorema . – Ogni spazio di Hilbert separabile è isomorfo a ℓ2 e quindi due qualsiasi spazi di Hilbert
separabili sono isomorﬁ fra loro.
12.4
Lo spazio L2
Un esempio molto importante di spazio di Hilbert è costituito dalle funzioni (complesse) a quadrato
sommabile (integrabile). Per i nostri scopi sarà suﬃciente considerare funzioni f : IRn → C,
I ma IRn può
essere sostituito da qualunque spazio misurabile X.
Sia quindi
L2 (X, µ) ≡ f : X → C
I
tali che
Z
2
|f (x)| dµ < ∞
43
,
dove x ∈ X e dµ è la misura (di Lebesgue) di X e l’integrale è fatto su tutto X (nelle applicazioni ﬁsiche
X ≡ IRn (o un sottospazio) e dµ ≡ dx = dx1 dx2 · · · dxn ). Si dimostra che lo spazio L2 (X, µ) (brevemente
L2 (X) o L2 ) con il prodotto scalare
(f, g) =
Z
f¯(x)g(x) dµ
(12.5)
è uno spazio euclideo inﬁnito-dimensionale e completo (spazio di Hilbert). Nel seguito si considereranno
sempre spazi separabili.
Si dimostra facilmente che la deﬁnizione (12.5) veriﬁca le proprietà del prodotto scalare. A questo scopo
si deve osservare che, se f ∈ L2 , g ∈ L2 e α ∈ C
I allora
f g ∈ L2 ;
f + g ∈ L2 ;
αf ∈ L2 .
Queste proprietà sono una diretta conseguenza di
|f (x) + g(x)|2 = |f (x)|2 + 2|f (x)g(x)| + |g(x)|2 ;
1
|f (x)|2 + |g(x)|2 ;
|f (x)g(x)| ≤
2
|αf (x)|2 = |α|2 |f (x)|2 .
Una funzione f a quadrato sommabile in X non è necessariamente integrabile, ma lo è certamante se X
ha misura ﬁnita (conseguenza della prima disuguaglianza; basta porre g(x) = 1).
Dato il prodotto scalare si ha la norma
||f || =
Z
2
|f (x)| dx
1/2
e si dirà che la successione di funzioni fn ∈ L2 converge in media (quadratica) a f ∈ L2 se
||fn − f || =
12.5
Z
|fn (x) − f (x)|2 dx
1/2
→ 0.
Basi ortonormali in L2
Come segue dalle considerazioni di carattere generale, in L2 (spazio euclideo inﬁnito-dimensionale, separabile e completo)
esiste un sistema ortonormale completo ϕk per cui ogni f ∈ L2 si può scrivere nella
P∞
forma f = k=1 ck ϕk , dove i coeﬃcienti di Fourier {ck } formano un elemento di ℓ2 . Valgono le relazioni
||f ||2 = (f, f ) =
12.5.1
Z
|f (x)|2 dx =
∞
X
k=1
|ck |2 ,
ck = (ϕk , f ) .
Sistema trigonometrico
Si consideri lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile nell’intervallo [−π, π]. E’ immediato veriﬁcare
che le funzioni trigonometriche
1
ϕ0 = √ ,
2π
ϕn (x) =
cos nx
√
,
π
sin nx
ψn (x) √ ,
π
44
n = 1, 2, 3, ...
appartengono a L2 ([−π, π]) e sono fra loro ortonormali. Inoltre formano un sistema completo come
conseguenza di un teorema di Weierstrass. Ogni funzione f ∈ L2 ([−π, π]) avrà quindi uno sviluppo della
forma
f = c0 ϕ0 +
∞
X
cn ϕn +
n=1
∞
X
ĉn ψn =
n=1
∞
∞
X
a0 X
bn sin nx ,
an cos nx +
+
2
n=1
n=1
(12.6)
dove i coeﬃcienti di Fourier sono dati da
an
=
bn
=
Z
1 π
f (x) cos nx dx ,
π −π
Z π
1
f (x) sin nx dx ,
π −π
n = 0, 1, 2, ...
n = 1, 2, 3, ...
(12.7)
Non si deve dimenticare che la convergenza è in media quadratica. Questo signiﬁca che
Z
π
−π
∞
∞
X
a0 X
f (x) −
bn sin nx
an cos nx +
+
2
n=1
n=1
2
dx → 0 .
In generale non vale la convergenza puntuale (vedi sotto). La serie calcolata in un punto può diﬀerire dal
valore della funzione calcolata nello stesso punto.
Anziché [−π, π] si può considerare un intervallo arbitrario [−a, a] di lunghezza 2a. In tal caso per ogni
f ∈ L2 ([−a, a]) si ha (basta fare il cambio di variabile x → πx/a)
f=
∞
an
=
bn
=
12.6
∞
a0 X
nπx X
nπx
an cos
bn sin
+
+
,
2
a
a
n=1
n=1
Z
1 a
nπx
f (x) cos
dx ,
a −a
a
Z a
nπx
1
dx ,
f (x) sin
a −a
a
n = 0, 1, 2, ...
n = 1, 2, 3, ...
Forma complessa della serie di Fourier
Si ottiene come conseguenza diretta delle formule di Eulero
cos x =
eix + e−ix
,
2
sin x =
eix − e−ix
.
2i
Usando queste espressioni e ponendo
c0 =
a0
,
2
c±n =
an ∓ ibn
,
2
n = 1, 2, 3, ...
per ogni f ∈ L2 ([−π, π]) si ha
cn
=
f
=
Z π
1
f (x)e−inx dx ,
2π −π
∞
X
cn einx
n = 0, ±1, ±2, ...
(12.8)
n=−∞
45
13
Serie di Fourier
13.1
Convergenza della serie di Fourier
Come detto sopra, la serie (12.6) o l’analoga complessa (12.8) convergono a f in media quadratica.
Questo è quanto eﬀettivamente serve per quanto concerne la meccanica quantistica. Ci sono tuttavia
situazioni ﬁsiche in cui è necessario avere la convergenza puntuale. In questa sezione studieremo sotto
quali condizioni (suﬃcienti) questo eﬀettivamente si veriﬁca.
Dato che la serie di Fourier è periodica, si possono considerare funzioni periodiche di periodo 2π deﬁnite
su tutta la retta (tipiche dei moti oscillatori). Notiamo inoltre che i coeﬃcienti di Fourier (12.7) sono
deﬁniti per ogni funzione f sommabile nell’intervallo [−π, π], questo perchè le funzioni trigonometriche
sono limitate. E’ quindi suﬃciente che f appartenga a L1 ([−π, π]) e non necessariamente a L2 ([−π, π])
(che è un insieme contenuto nel precedente).
13.1.1
Convergenza puntuale
Poniamo
n
Sn (x) =
a0 X
(ak cos kx + bk sin kx)
+
2
k=1
e a andiamo a vedere sotto quali condizioni questa successione numerica converge a f (x). Abbiamo il
seguente
Teorema .
– La successione delle somme parziali Sn (x) converge alla funzione periodica f (x) se
f ∈ L1 ([−π, π]) e soddisfa la condizione di Dini
Z
ε
−ε
f (x + z) − f (x)
dz < ∞ ,
z
ε > 0.
Dimostrazione – . – Dalla deﬁnizione dei coeﬃcienti si ha
Sn (x) =
=
#
n
1 X
(cos kt cos kx + sin kt sin kx) f (t) dt
+
−π 2
k=1
#
Z "
n
1 π 1 X
cos k(t − x) f (t) dt .
+
π −π 2
1
π
Z
π
"
k=1
Ora osserviamo che
!
n
1 X
y
cos ky sin
+
2
2
=
k=1
=
=
n 1
1
y 1 X
1
y − sin k −
y
sin +
sin k +
2
2 2
2
2
k=1
1
y
1
3y
y
1
sin + sin
y − sin n −
y
− sin + ... + sin n +
2
2
2
2
2
2
1
1
y.
sin n +
2
2
Quindi si ha la relazione
1
π
"
#
n
1 X
sin(n + 1/2)y
cos ky =
+
= Dn (y) .
2
2π sin(y/2)
k=1
46
(13.1)
La funzione Dn (y) è detta nucleo di Dirichlet. E’ immediato veriﬁcare che
Z
π
Dn (z) dz = 1 ,
Sn (x) =
Z
π
f (x + z)Dn (z) dz .
−π
−π
Per ricavare l’ultima espressione si deve usare il fatto che f (x) è una funzione periodica.
La convergenza della serie di Fourier a f è quindi equivalente a dimostrare che
Sn (x) − f (x) =
Z
π
−π
[f (x + z) − f (x)] Dn (z) dz → 0 .
A questo proposito si usa il seguente
Lemma. – Se g ∈ L1 ([−π, π]) allora
lim
n→∞
Z
π
g(z) sin nz dz = 0 .
−π
La dimostrazione è banale (basta integrare per parti) se g ∈ C1 ([−π, π]) (funzioni continue, derivabili e
con derivata continua), ma sfruttando il fatto che tale spazio è denso in L1 si estende il risultato a tutto
L1 .
Nel caso che ci interessa la funzione da considerare è
g(z) =
z
f (x + z) − f (x)
f (x + z) − f (x)
=
,
2π sin(z/2)
z
2π sin(z/2)
nel punto considerato. Questa è una funzione L1 ([−π, π]) come conseguenza della condizione di Dini.
Poiché f ∈ L1 ([−π, π]), l’unico punto critico è l’intorno di x. Di fatto è suﬃciente richiedere che valgano
due condizioni tipo Dini da (−ε, 0− ) e da (0+ , ε), questo perché f (x) potrebbe non essere deﬁnita in x).
Una condizione suﬃciente per la convergenza in ogni punto è data dal seguente
Teorema . – Sia f una funzione periodica, limitata, avente al più discontinuità di prima specie e avente
in ogni punto la derivata sinistra e destra. Allora in ogni punto la serie di Fourier converge a
[f (x− ) + f (x+ )]/2.
La classe delle funzioni che hanno una serie di Fourier convergente puntualmente è assai ampia. Per avere
la convergenza uniforme si deve restringere la classe. Vale il seguente
Teorema . – Sia f una funzione periodica, assolutamente continua e con derivata a quadrato sommabile.
Allora la serie di Fourier converge uniformemente a f in ogni punto.
Si deve osservare che la serie di Fourier di una funzione continua potrebbe divergere in qualche punto.
Quindi non basta la continutà per avere la convergenza delle somme parziali Sn . Esistono tuttavia altre
maniere di sommare la serie di Fourier in modo da avere la convergenza. A tale scopo poniamo
S0 (x) =
a0
,
2
Sn (x) =
n
X
[ak cos kx + bk sin kx]
k=1
e consideramo la media aritmetica
σn =
S0 + S1 + S2 + ... + Sn
.
n
Vale il seguente
Teorema (Fejer). Se f è una funzione periodica e continua, allora la successione {σn } delle somme di
Fejer converge uniformemente a f in ogni punto.
47
14
Integrale di Fourier
Si è visto sopra che le funzioni periodiche (con ulteriori condizioni) sono la sovrapposizione di oscillazioni
armoniche di frequenze opportune (inﬁnite frequenze numerabili). Qui vedremo che anche le funzioni non
periodiche si possono scrivere come sovrapposizione di funzioni armoniche, ma in questo caso lo spettro
delle frequenze è continuo e quindi, in luogo della serie ci sarà un integrale detto integrale di Fourier.
Il passaggio dalle funzioni periodiche a quelle non periodiche si può eﬀettuare in maniera formale facendo
tendere il periodo all’inﬁnito. Consideriamo dunque una funzione f di periodo 2a e il suo sviluppo di
Fourier (vedi equazione (12.8))
c̃n
f (x)
=
=
Z
a
f (x)
−a
∞
X
e−inπx/a
√
dx ,
2a
n = 0, ±1, ±2, ...
einπx/a
,
c̃n √
2a
n=−∞
che si ottiene dall’espressione (12.8) con la sostituzione
√ x → πx/a per tenere conto del periodo arbitrario.
inπx/a
Si è usato
inoltre
il
sistema
ortonormale
{e
/
2a} e la forma “simmetrica” deﬁnendo i coeﬃcienti
√
c̃n = 2acn . Assumiamo a ≫ π e poniamo ∆k = π/a ≪ 1 e kn = n∆k. Allora
√
ac̃n
√
π
=
f (x)
=
1
√
2π
1
√
2π
Z
a
−a
∞
X
f (x)e−ikn x dx ≡ f˜(kn ) ,
√
∞
X
1
ac̃
√ n eikn x ∆k ≡ √
f˜(kn )eikn x ∆k .
π
2π
n=−∞
n=−∞
Passando al limite formale a → ∞, kn diventa una variabile continua (k), la somma diventa un integrale
“tipo Riemann” e l’espressione fra parentesi quadre diventa una funzione continua di k che indicheremo
con f˜(k). In conclusione
f˜(k)
=
f (x)
=
Z ∞
1
√
f (x)e−ikx dx ,
2π −∞
Z ∞
1
√
f˜(k)eikx dk ,
2π −∞
trasformata di Fourier di f ,
trasformata inversa di f .
(14.1)
(14.2)
La prima espressione è semplicemente la deﬁnizione dei “coeﬃcienti dello sviluppo” f˜(k). L’integrale
(14.1) è certamente convergente e quindi f˜(k) è ben deﬁnito se f ∈ L1 (−∞, ∞). Questa condizione non
assicura automaticamente l’esistenza del secondo integrale nel senso ordinario (esiste nel senso del valore
principale). Inoltre la sua convergenza (puntuale) a f (x) non è garantita. Aﬃnché questo avvenga si deve
restringere lo spazio delle funzioni, scegliendo ad esempio quelle di L1 che inoltre soddisfano la condizione
di Dini (condizione suﬃciente).
La coppia di integrali (14.1) e (14.2) costituisce la cosiddetta trasfomata di Fourier. f˜ è detta trasformata
di Fourier di f e f trasformata inversa o anti-trasformata di f˜.
14.1
Esempi
Calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni:
• f (x) = e−α|x| , (α > 0).
Z ∞
Z ∞h
i
1
1
−α|x| −ikx
˜
f (k) = √
e
e
dx = √
e−x(α+ik) + e−x(α−ik) dx
2π 0
2π −∞
2α
.
= √
2π (k 2 + α2 )
48
In questo caso la trasformata appartiene a L1 e quindi l’integrale di Fourier esiste come integrale
ordinario.
• f (x) = 1 per −a < x < a e zero altrimenti.
f˜(k)
=
1
√
2π
a
Z
−a
2 sin ka
e−ikx dx = √
.
2π k
La trasformata non appartiene a L1 . L’anti-trasformata esiste in senso generalizzato.
2
• f (x) = e−αx
f˜(k)
/2
=
(α > 0).
1
√
2π
2
=
k
− 2α
Z
∞
k2
α
2
e− 2 (x
+2ik/α)
−∞
e− 2α
dx = √
2π
Z
∞
2
α
e− 2 (x+ik/α) dx
−∞
e
√ .
α
Come si vede la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana. In particolare se
α = 1 la funzione è esattamente la stessa.
14.2
Alcune importanti proprietà della trasformata di Fourier
• Esiste un semplice legame fra la trasformata delle derivate di una funzione e la trasformata della
funzione stessa (ovviamnete nell’ipotesi che le trasformate abbiano signiﬁcato). Per cominciare, si
consideri una funzione f (x) e la sua derivata f ′ (x) e si assuma che entrambe stiano in L1 , in modo
che esistano le trasformate. Si assuma inoltre che f (x) sia assolutamente continua in ogni intervallo,
in modo che si possa rappresentare come integrale indeﬁnito di f ′ . Sotto queste ipotesi si ha
F
df
(k)
dx
=
Z
∞
−∞
∞
f ′ (x)e−ikx dx = f (x)e−ikx −∞ + ik
= ik F [f ](k) .
Z
∞
f (x)e−ikx dx
−∞
In modo analogo, con f (k) (x) ∈ L1 (k = 0, 1, ..., n) e f (n−1) assolutamente continua in ogni
intervallo, si ricava
Z ∞
dn f
f (n) (x)e−ikx dx = (ik)n F [f ](k) ,
(k) =
F
dxn
−∞
d
→ ik .
dx
(14.3)
Si vede che l’operatore di derivazione (d/dx) nello spazio di partenza diventa un operatore di
moltiplicazione rispetto a ik nello spazio delle trasformate.
• Vale una proprietà “complementare” a quella precedente. Vale a dire che l’operatore di moltiplicazione viene trasformato in un operatore di derivazione. Infatti, siano f (x) e xk f (x) (k = 1, 2, ..., n)
funzioni assolutamente integrabili. Allora la trasforata di f è derivabile almeno n volte e vale la
relazione
d
F [f ](k) = F [(−ix)n f (x)](k) ,
dk n
−ix →
d
.
dk
• Una immediata conseguenza della (14.3) è che la trasformata di Fourier di una funzione n volte
derivabile (con le ipotesi precedenti) decresce all’inﬁnito più rapidamente di 1/k n . Infatti si ha
|F [f ](k)| =
F [f (n) ](k)
→ 0.
kn
49
• Convoluzione. Siano h e g due funzioni assolutamente integrabili su tutta la retta. La funzione
Z ∞
Z ∞
h(y) g(x − y) dy ,
f = h∗g,
h(x − y) g(y) dy =
f (x) =
−∞
−∞
è detta convoluzione (o prodotto di convoluzione) di h con g. Date le proprietà delle funzioni
integrande, f è integrabile. Si veriﬁca che la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione è
proporzionale al prodotto (di funzioni) delle due trasformate; in formule
√
F [f ] = F [h ∗ g] = 2π F [h] · F [g] .
Si ha infatti (in modo formale)
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
1
dy h(x − y)g(y)
f˜(k) = √
dx e−kx f (x) = √
dx e−kx
2π −∞
2π −∞
−∞
Z ∞Z ∞
√
1
dz dy e−k(z+y) h(z)g(y) = 2π h̃(k) g̃(k) .
= √
2π −∞ −∞
Osservazione: Nei testi matematici la trasformata di Fourier è deﬁnita in modo asimmetrico (con un
fattore 1/2π nella trasformata e senza fattori nell’inversa) e in tal modo la trasformata del prodotto di
convoluzione è esattamente il prodotto delle trasformate.
14.3
Trasformata di Fourier in più variabili
L’estensione di quanto detto sopra da IR a IRn è immediata. Infatti, sia f (x1 , ..., xn ) una funzione
integrabile in IRn . Allora si può deﬁnire l’integrale
Z ∞
Z ∞
1
f (x1 , ..., xn )e−i(k1 x1 +...+kn xn ) dx1 · · · dxn
·
·
·
=
(2π)n/2 −∞
−∞
Z ∞
Z ∞ Z ∞
1
1
1
√
··· √
f (x1 , ..., xn )e−ik1 x1 dx1 e−ik2 x2 dx2 · · · e−ikn xn dxn .
=√
2π −∞
2π −∞
2π −∞
f˜(k1 , ..., kn )
L’ultima espressione è giustiﬁcata dal teorema di Fubini. Si vede che è possibile ottenere la trasformata di
Fourier multipla mediante una successione di trasformate singole. Invertendo progressivamente l’ultima
espressione si ottiene
f (x1 , ..., xn ) =
Z ∞
Z ∞ Z ∞
1
1
1
ik2 x2
ik1 x1
˜
√
dk2 · · · eikn xn dkn
··· √
dk1 e
f (k1 , ..., kn )e
=√
2π −∞
2π −∞
2π −∞
Z ∞
Z ∞
1
=
f˜(k1 , ..., kn )ei(k1 x1 +...+kn xn ) dk1 · · · dkn .
···
(2π)n/2 −∞
−∞
Come nel caso unidimensionale, gli ultimi due integrali vanno intesi nel senso del valore principale. Inoltre
si devono imporre ulteriori restrizioni su f per avere corrispondenza con il valore dell’integrale.
14.4
Soluzione di equazioni differenziali mediante la trasformata di Fourier
La trasformata di Fourier può risultare utile nella soluzione di equazioni diﬀerenziali. Questo è dovuto al
fatto che l’operatore di derivazione viene trasformato in un operatore di moltiplicazione e di conseguenza
l’equazione diﬀerenziale viene trasformata in una equazione algebrica.
Si consideri in proposito l’equazione diﬀerenziale, lineare e a coeﬃcienti costanti
a0 f (x) + a1 f ′ (x) + a2 f ′′ (x) + · · · + an f (n) (x) = g(x) .
50
Mediante una trasformazione di Fourier
F [a0 f (x) + a1 f ′ (x) + a2 f ′′ (x) + · · · + an f (n) (x)](k) = F [g(x)](k) .
si ottiene l’equazione algebrica
a0 + a1 (ik) + a2 (ik)2 + · · · + an (ik)n f˜(k) = g̃(k)
da cui segue
f˜(k) =
g̃(k)
.
a0 + a1 (ik) + a2 (ik)2 + · · · + an (ik)n
La soluzione f (x) si ottiene mediante la trasformata inversa f (x) = F −1 [g](x). Per questo tipo di
equazioni non c’è un grande vantaggio. Inoltre si deve assumere che la soluzione sia integrabile e ciò non
vale in generale. Notevoli vantaggi si hanno invece nella soluzione di equazioni alle derivate parziali.
• Equazione del calore. Si consideri l’equazione
∂t u(x, t) − α∂x2 u(x, t) = 0 ,
α > 0,
−∞ < x < ∞ ,
t ≥ 0,
con la condizione iniziale u(x, 0) = u0 (x), dove u0 (x) è una funzione nota. Questa equazione descrive
la propagazione del calore attraverso un conduttore inﬁnito.
Da considerazioni ﬁsiche è ragionevole assumere che la funzione nota (temperatura iniziale positiva)
assieme alle sue derivate prima e seconda sia in L1 e cosı̀ pure la soluzione u(x, t) per ogni t.
Assumiamo inoltre che ∂t u(x, t), per ogni t ﬁnito, sia maggiorata da una funzione integrabile di x,
vale a dire
Z ∞
∂u(x, t)
f (x) dx < ∞ .
≤ f (x) ,
∂t
−∞
Queste condizioni ci permettono di trasformare l’equazione rispetto alla variabile x, considerando t
come un parametro ﬁssato. In tal modo si ottiene
F [u(x, t)](k) = ũ(k, t) ,
F ∂x2 u(x, t) (k) = (ik)2 ũ(k, t) ,
F [u0 (x)](k) = ũ0 (k) ,
da cui segue
∂t ũ(k, t) = −αk 2 ũ(k, t) ,
ũ(k, 0) = ũ0 (k) .
La soluzione dell’equazione precedente è
2
ũ(k, t) = e−αk t ũ0 (k) ,
(14.4)
vale a dire il prodotto di una gaussiana per la trasformata della condizione iniziale. Per ricavare la
soluzione si deve eﬀettuare la trasformazione inversa. Ricordiamo che per trasformazioni di Fourier,
il prodotto di convoluzione diventa proporzionale al prodotto di funzioni. La soluzione sarà quindi
proporzionale al prodotto di convoluzione della trasformata inversa della gaussiana per la funzione
iniziale. Si ha
Z ∞
i
h
2
2
2
1
1
e−αk t eikx dk = √
e−x /4αt
F −1 e−αk t (x) = √
2π −∞
2αt
e ﬁnalmente
2
e−x /4αt
1
1
=√
u(x, t) = √ u0 (x) ∗ √
παt
2π
2αt
Z
51
∞
−∞
e−
(x−y)2
4αt
u0 (y) dy ,
(integrale di Poisson).
14.5
Trasformata di Fourier in L2 (−∞, ∞)
L’ambiente “naturale” per deﬁnire le trasformate di Fourier è lo spazio L2 . Infatti in questo spazio la
trasformata di Fourier diventa un operatore lineare limitato F : L2 → L2 . Il prezzo da pagare è la rinuncia
alla convergenza puntuale. In L2 inoltre c’è una notevole corrispondenza con le serie di Fourier (in senso
generalizzato) deﬁnite precedentemente. Per cominciare esiste un teorema che è l’analogo (continuo)
dell’uguaglianza di Parseval. Si ha infatti
Teorema
(Plancherel). – Si consideri una funzione f ∈ L2 (−∞, ∞) e la successione di funzioni
1
f˜n (k) = √
2π
Z
n
f (x)e−ikx dx .
−n
Il teorema di Plancherel aﬀerma che
a) ogni f˜n è una funzione a quadrato sommabile sulla retta;
b) la successione di funzioni {f˜n } è convergente in media quadratica ad una funzione f˜;
c) vale la relazione di Plancherel
Z
∞
−∞
|f˜(k)|2 dk =
Z
∞
−∞
|f (x)|2 dx .
Come corollario segue che, per ogni coppia f, g di funzioni a quadrato sommabile sulla retta vale la
relazione
Z
∞
∗
f (x)g(x) dx =
Z
∞
f˜∗ (k)g̃(k) dk ,
(relazione di Plancherel).
−∞
−∞
Usando la notazione degli spazi euclidei queste relazioni si possono scrivere in forma compatta
||f ||2 = ||f˜||2 ,
(f, g) = (f˜, g̃) .
Il prodotto scalare è invariante (si conserva) per trasformazioni di Fourier.
Osservazione: questo è vero poiché si è deﬁnita la trasformata in forma simmetrica, altrimenti c’è un
fattore 2π.
Dimostrazione – . – La dimostrazione del teorema di Plancherel è relativamente facile se si lavora
nello spazio S∞ delle funzioni inﬁnitamente derivabili e a decrescenza rapida. In tal caso ogni passaggio
formale può essere rigorosamente giustiﬁcato. Siano allora f, g due funzioni in S∞ . Come conseguenza
del fatto che f è inﬁnitamente derivabile si ottiene che f˜n è a decrescenza rapida e e quindi a quadrato
sommabile e come conseguenza del fatto che f è a decrescenza rapida si ottiene che f˜n è a decrescenza
rapida in n e quindi converge a f˜ ≡ f˜∞ . Si ha inoltre
Z
∞
∗
f (x)g(x) dx
=
−∞
=
Z
∞
−∞
Z ∞
−∞
∗
f (x)
Z
∞
Z
∞
ikx
g̃(k)e
−∞
f (x)e−ikx dx
−∞
dk dx
∗
g̃(k) dk =
Z
∞
f˜∗ (k)g̃(k) dk .
−∞
Sfruttando ora il fatto che S∞ è denso in L2 si estende la dimostrazione a qualunque f ∈ L2 (questa
seconda parte è assai tecnica è piuttosto laboriosa).
14.6
Esempi
• Si veda la trasformata di Fourier come un operatore lineare F : L2 → L2 e si cerchino le funzioni
(autofunzioni) che rimangono invarianti (a meno di un fattore) per questo tipo di trasformazione.
52
Se ψ è una funzione di L2 invariante per trasformazioni di Fourier, allora
F [ψ(x)](k) = ψ̃(k) = λψ(k) ,
(14.5)
dove λ è un numero complesso. Applicando tuttavia 4-volte di seguito la trasformata di Fourier si
deve ottenere la funzione di partenza, dunque
ψ = F 4 [ψ] = F 3 [λψ] = F 2[λ2 ψ] = F [λ3 ψ] = λ4 ψ
=⇒
λ = ±1, ±i .
La trasformata di Fourier, vista come operatore F : L2 → L2 ha autovalori ±1, ±i.
Alcune autofunzioni si possono ricavare ricordando la proprietà
F [(−ix)n f (x)](k) =
d
F [f ](k)
dk n
e il fatto che la gaussiana ψ0 (x) = e−
F [ψ0 ](k) = e−
k2
2
= ψ0 (k)
x2
2
è autofunzione. Infatti
=⇒
λ0 = 1 .
Consideriamo ora la funzione ψ1 (x) = −ixψ0 (x). Per questa si ha
F [ψ1 (x)](k) = F [−ixψ0 (x)](k) = ψ0′ (k) = −iψ1 (k)
=⇒
λ1 = −i .
Analogamente per ψ2 (x) = [(−ix)2 + (1/2)]ψ0 (x) si ha
1
F [ψ2 (x)](k) = ψ0′′ (k) + ψ0 = −ψ2 (k)
2
=⇒
λ2 = −1 .
Per procedere oltre osserviamo che, se ψ(x) è autofunzione con autovalore λ, allora xψ(x) − ψ ′ (x)
è autofunzione con autovalore −iλ. Infatti
F [xψ(x) − ψ ′ (x)] (k) = iψ̃ ′ (k) − ik ψ̃(k) = −iλψ(k) .
Per ottenere le autofunzioni di F basta quindi agire con l’operatore x − d/dx, partendo da ψ0 . In
questo modo abbiamo
ψ0 = e−
x2
2
,
ψ1 = 2xψ0 ,
ψ2 = (4x2 − 2)ψ0 , ...
che a parte delle costanti moltiplicative coincidono con quelle calcolate precedentemete. Evidentemente esistono inﬁnite autofunzioni, che sono tutte della forma
ψn (x) = Hn (x) e−
x2
2
,
funzioni di Hermite,
(14.6)
dove Hn sono polinomi di grado n con parità deﬁnita, detti polinomi di Hermite.
• Oscillatore armonico. In meccanica quantistica è descritto mediante l’equazione diﬀerenziale
−
d2
+ α2 x2
dx2
ψ(x) = −ψ ′′ (x) + α2 x2 ψ(x) = µαψ(x) ,
(14.7)
(il parametro α è stato introdotto per ragioni dimensionali). Si osservi che, per α = 1, questa
equazione è invariante rispetto a trasformazioni di Fourier. Infatti si ottiene
−(ik)2 ψ̃(k) − α2 ψ̃ ′′ (k) = µψ̃(k)
=⇒
−ψ̃ ′′ (k) +
k2
µ
ψ̃(k) = ψ̃(k) .
α2
α
(14.8)
Questo signiﬁca che se ψ(x) = f (x) è soluzione della (14.7), allora ψ̃(k) = f (k) è soluzione della
(14.8). In altre parole, le soluzioni dell’equazione (14.7) (autofunzioni dell’oscillatore armonico)
53
sono anche autofunzioni dell’operatore F . Le autofunzioni di F sono le funzioni di Hermite (14.6).
Sostituendo ψ(x) con ψn (x) nell’equazione diﬀerenziale (14.7) (con α = 1) si ottiene
−ψn′′ (x) + x2 ψ(x) = − [Hn′′ (x) − 2xHn′ (x) − H(x)] e−
x2
2
= µn Hn e−
x2
2
,
da cui segue
Hn′′ (x) − 2xHn′ (x) + (µn − 1)Hn (x) = 0 ,
Hn (x) =
n
X
aj xj .
(14.9)
j=0
Usando nell’equazione (14.9) l’espressione esplicita per i polinomi Hn (x) si ottengono le formule di
ricorrenza
n
X
j=0
[(j + 1)(j + 2)aj+2 − (2j + 1 − µn )aj ] xj = 0
aj+2 =
2j + 1 − µn
,
(j + 1)(j + 2)
j = 0, 1, ..., n − 2 ,
=⇒
an+2 = 0 =
2n + 1 − µn
.
(n + 1)(n + 2)
Dall’ultima espressione si ricava µn = 2n + 1 che è l’autovalore corrispondente all’autofunzione ψn .
In conclusione si ha
Hn′′ (x) − 2xHn′ (x) + 2nHn (x) = 0 ,
aj+2 =
2(j + 1 − n)
,
(j + 1)(j + 2)
j ≤ n − 2.
L’ultima espressione permette di ricavare esplicitamente i coeﬃcienti dei polinomi di Hermite.
Le funzioni di Hermite costituiscono un sistema ortogonale completo in L2 (−∞, ∞). Di norma la
completezza è di diﬃcile dimostrazione, mentre invece è immediato veriﬁcare l’ortogonalità. Usando
la (14.7) si ha
−ψn′′ + x2 ψn = µn ψn ,
′′
−ψm
+ x2 ψm = µm ψm .
Moltiplicando la prima per ψm e la seconda per ψn e sottraendo si ottiene
′′
ψn′′ ψm − ψn ψm
=
d
′
(ψ ′ ψm − ψn ψm
) = (µm − µn )ψn ψm .
dx n
(14.10)
Assumendo n 6= m e integrando si ricava il risultato desiderato, cioè
Z
∞
−∞
ψn ψm dx =
1
µm − µn
Z
∞
−∞
d
′
(ψ ′ ψm − ψn ψm
) dx = 0 .
dx n
Mediante un’analisi dimensionale si può reintrodurre il parametro α. Guardando l’equazione iniziale
si vede che α ha le stesse dimensioni di√x−2 e quindi, per ragioni dimensionali nelle autofunzioni si
deve eﬀettuare la trasformazione x → αx. Nella meccanica quantistica α = mω/h̄ e
µα = 2mE/h̄2 . Si ottiene quindi il risultato ben noto
√
2
ψn (x) = An Hn ( αx) e−αx /2 ,
En =
dove An è la costante di normalizzazione.
54
1
n+
2
h̄ω ,
n = 0, 1, 2, ..
15
Trasformata di Laplace
La trasformata di Fourier è deﬁnita per le funzioni integrabili su tutta la retta. Per estenderla (ad
esempio alle funzioni sommabili solo localmente, che si incontrano in ﬁsica) si deve uscire dallo spazio
delle funzioni e lavorare in quello delle distribuzioni.
Volendo rimanere in uno spazio di funzioni si deve modiﬁcare il tipo di trasformata in modo da garantire
la convergenza dell’integrale per una classe più ampia di quella delle funzioni sommabili. Questo può
essere fatto sostituendo nell’integrale di Fourier l’esponenziale oscillante con uno decrescente (vedi sotto).
Definizione . Sia f (x) una funzione in IR+ che soddisfa la proprietà
|f (x)| ≤ C eγx
per x ≥ 0 ,
f (x) = 0
per x < 0 ,
(15.1)
dove C e γ sono costanti. In tal caso si deﬁnisce trasformata di Laplace di f la funzione
fˆ(s) =
Z
∞
f (x)e−sx dx ≡ L[f ](s) ,
0
Re s > γ ,
(trasformata di Laplace).
La condizione sul numero complesso s garantisce la convergenza dell’integrale. Posto s = η + ik si ha
1
fˆ(η + ik) = √
2π
Z
∞
√
2π θ(x)f (x)e−ηx e−ikx dx ,
θ(x) =
−∞
1
0
Si vede dunque che fˆ(s) è la trasformata di Fourier, per x ≥ 0, della funzione
inversa ci permette di ricavare
1
2π
f (x)e−ηx =
Z
∞
−∞
e−ηx
fˆ(η + ik)eikx dk =
2πi
Z
η+i∞
fˆ(s)esx ds ,
η−i∞
per x > 0 ,
per x < 0 .
√
2πf (x)e−ηx . La formula
x ≥ 0.
In conclusione, per Re s > γ, η > γ si ha
fˆ(s)
=
Z
∞
f (x)e−sx dx ,
(trasformata di Laplace);
(15.2)
0
f (x)
=
1
2πi
Z
η+i∞
fˆ(s)esx ds ,
(formula di inversione o antitrasformata).
(15.3)
η−i∞
Le formule precedenti si possono estendere a funzioni deﬁnite anche per x < 0, estendendo il primo
integrale su tutto l’asse reale e richiedendo che la funzione soddisﬁ una condizione analoga alla (15.1)
anche per x < 0 in modo che l’integrale esista (trasformata di Laplace bilatera).
15.1
Proprietà della trasformata di Laplace
Dalla linearità dell’integrale segue immediatamente la linearità della trasformata. Valgono inoltre delle
utili proprietà simili a quelle che si hanno per la trasformata di Fourier. Quando le seguenti equazioni
hanno signiﬁcato (le funzioni coinvolte sono tali per cui tutti gli integrali esistono) si ha
• Traslazione (attenuazione).
L[eax f (x)](s) = L[f (x)](s − a) ,
L[f (x − a)](s) = e−as L[f (x)](s) .
55
• Dilatazione.
1
L[f (x)](s/a) .
a
L[f (ax)](s) =
• Derivate.
df (x)
L
(s) = s L[f ](s) − f (0+ ) ,
dx
f (0+ ) = lim f (x) .
x↓0
Questa vale se f è continua in IR+ . Se ci sono punti di discontinuità si devono trattare singolarmente.
Dimostrazione – . Si ha
Z N
Z N
df (x)
′
−sx
−sx N
f (x)e−sx dx
f (x)e
dx = lim f (x)e
+s
(s) = lim
L
0
N →∞
N →∞ 0
dx
0
= s L[f ](s) − f (0+ ) .
Più in generale si ottiene
(n)
n−1
X
f (x)
L
f (k) (0+ )sn−1−k .
(s) = sn L[f ](s) −
dx
k=0
• Primitiva.
Z x
1
L
f (t) dt (s) = L[f ](s) .
s
0
Dimostrazione – . Posto F (x) =
proprietà precedente a F ′ si ottiene
Rx
0
f (t) dt si ha F ′ (x) = f (x) e F (0) = 0. Applicando la
L[F ′ ](s) = s L[F ](s) − F (0) = s L[F ](s)
=⇒
L[F ](s) =
1
L[F ′ ](s) ,
s
da cui il risultato cercato.
• Analiticità.
Per s > γ la trasformata di Fourier di una funzione f è analitica e si ha
dn
L[f ](s) = L[(−x)n f (x)](s) .
dsn
(15.4)
Dimostrazione – . Consideriamo la successione di funzioni fN (x) = θ(N − x)f (x) → f (x). Per
ogni funzione della serie e ogni s0 > γ si ha
Z N
Z ∞
f (x)e−sx dx ,
fN (x)e−sx dx =
fˆN (s) =
0
0
′
fˆN
(s)
(n)
fˆN (s)
=
Z
N
(−x)f (x)e−sx dx = L[(−x)fN (x)](s) ,
0
=
Z
N
0
(−x)n f (x)e−sx dx = L[(−x)n fN (x)](s) .
Passando al limite N → ∞ si ottiene il risultato cercato. Si ha anche
Z N
ˆ
f (x)e−s0 e−(s−s0 )x dx
fN (s) =
0
∞ X
(s − s0 )n
(−x)n f (x)e−s0 x
dx
n!
0
n=0
#
"Z
∞
N
X
(s − s0 )n
(−x)n f (x) e−s0 x dx
=
n!
0
n=0
=
=
Z
N
∞
X
n=0
L[(−x)n fN (x)](s0 )
(s − s0 )n
.
n!
56
Si vede dunque che fˆN (s) è sviluppabile in serie di Taylor e quindi è analitica. Per il teorema di
Weierstrass si può ora eﬀettuare il limite N → ∞ ottenendo il risultato per f .
• Convoluzione.
L[h ∗ g](s) = L[h](s) L[g](s) .
Dimostrazione – . Tenendo conto che le funzioni sono deﬁnite in IR+ si ha
Z x
Z x
h(y)g(x − y) dy ,
h(x − y)g(y) dy =
f (x) = (h ∗ g)(x) =
0
Z0 ∞ Z x
h(x − y)g(y) dy e−sx dx .
L[f ](s) =
0
0
Si ha anche
L[h](s) L[g](s)
=
∞
Z
−su
h(u)e
du
=
Z Z
Z
0
∞
g(v)e−sv dv
0
0
=
Z
∞
h(u)g(v)e−s(u+v) du , dv
h(x − y)g(y) dy e−sx dx .
0
∞ Z x
0
Nel calcolo precedente si è usato il teorema di Fubini e si è eﬀettuato il cambiamento di varibili
x = u + v, y = v. Il determinante jacobiano di questa trasformazione è uguale a 1.
• Funzioni Periodiche.
Sia f (x) una funzione periodica di periodo T , cioè f (x + T ) = f (x). Allora
1
L[f ](s) =
1 − e−sT
Z
T
f (x)e−sx dx .
0
• Limiti.
Sia fˆ(s) = L[f ](s). Se i limiti esistono valgono le relazioni
lim f (x) = lim s fˆ(s) ,
15.2
lim f (x) = lim s fˆ(s) .
s→∞
x→0
x→∞
s→0
Esempi
Calcolare le trasformate di Laplace delle seguenti funzioni:
• f (x) = xα per Re α > −1.
Deﬁniamo la funzione Γ (secondo integrale di Eulero) mediante l’equazione
Γ(s) =
Z
∞
ts−1 e−t dt ,
Re s > 0 .
0
E’ immediato veriﬁcare che per s = n + 1 (n = 0, 1, 2, ...) questa funzione corrisponde a n!. Integrando per parti si può estendere analiticamente a tutto il piano complesso dove ha poli semplici
per tutti i valori s = 0, −1, −2, .... Si ha
fˆ(s) =
Z
0
∞
xα e−sx dx =
1
sα+1
Z
∞
t(α+1)−1 e−t dt =
0
Γ(α + 1)
.
sα+1
In particolare, per n = 0, 1, 2, ... si ottiene L[xn ](s) = n! s−(n+1) .
57
• eγx .
Per Res > γ si ha
Z ∞
e(γ−s)x dx =
L[eγx ] =
0
1
.
s−γ
• sin αx e cos αx.
Gli integrali si fanno rapidamente usando le formule di Eulero, vale a dire
L[sin αx](s) =
Z
∞
0
e−(s−iα)x − e−(s+iα)x
α
dx = 2
.
2i
s + α2
(15.5)
Usando la proprietà della derivata si ha rapidamnete
L[cos αx](s) =
15.3
s
s
L[sin αx](s) = 2
.
α
s + α2
(15.6)
Applicazioni
• Soluzione di equazioni differenziali. Si consideri l’equazione diﬀerenziale lineare a coeﬃcienti
costanti
a0 f (x) + a1 f ′ (x) + a2 f ′′ (x) + · · · + an f (n) (x) = g(x) ,
con le condizioni iniziali
f (k) (0+ ) = fk ,
k = 0, 1, 2, ..., n − 1 ,
Mediante una trasformazione di Laplace si ottiene l’equazione algebrica
Pn (s)fˆ(s) − Qn−1 (s) = ĝ(s) ,
dove Pn è il polinomio caratteristico dell’equazione, mentre Qn−1 è un polinomio di grado n − 1
che contiene tutte le condizioni iniziali. Questi hanno la forma
Pn (s) =
n
X
ak sk ,
Qn−1 (s) =
n
n X
X
ak sk−j fj .
j=1 k=j
k=0
Risolvendo si ricava
ĝ(s) + Qn−1 (s)
fˆ(s) =
Pn (s)
=⇒
f (x) =
1
2πi
Z
η+i∞
η−i∞
[ĝ(s) + Qn−1 (s)] esx
ds .
Pn (s)
• Dimostrare che
Z ∞
sin x
π
dx = ,
x
2
0
dove l’integrale va inteso nel senso del valore principale.
Per prima cosa si deve dimostrare che se limx−>∞ f (x)/x = 0, allora
L
Z ∞
f
fˆ(s) ds .
(s) =
x
0
Posto f (x) = xg(x) e usando la proprietà (15.4) si ha eﬀettivamente
fˆ(s) = −ĝ ′ (s)
=⇒
ĝ(s) = −
Z
∞
′
ĝ (s) ds =
Z
s
s
58
∞
fˆ(s) ds .
In particolare,
Z
ĝ(0) =
∞
0
f (x)
dx =
x
Z
∞
fˆ(s) ds .
0
Nel caso in questione f (x) = sin x, fˆ(s) = 1/(s2 + α2 ) (vedi (15.5)) e quindi
Z
0
∞
sin x
dx =
x
Z
∞
0
s2
1
π
∞
ds = [arctan s]0 = .
2
+α
2
• Oscillatore forzato. Trovare la soluzione particolare dell’equazione
ẍ(t) + ω 2 x(t) = f (t) ,
x(0) = x0 ,
ẋ(0) = v0 .
Assumiamo che tutte le funzioni in gioco siano tali per cui sia deﬁnita la loro trasformata di Laplace.
Mediante una trasformazione si ottiene allora l’equazione algebrica
s2 x̂(s) − sx0 − v0 + ω 2 x̂(s) = fˆ(s)
=⇒
x̂(s) =
x0 s
v0
fˆ(s)
+ 2
+ 2
.
2
2
2
s +ω
s +ω
s + ω2
Ricordando le equazioni (15.5) e (15.6) si può scrivere
x̂(s) =
v0
1 ˆ
f (s)L[sin(ωt)](s) + x0 L[cos(ωt)](s) +
L[sin(ωt)](s) .
ω
ω
Mediante la trasformazione inversa si ricava inﬁne la soluzione nella forma
Z t
v0
1
x(t) = x0 cos ωt +
sin ω(t − t′ ) f (t′ ) dt′ .
sin ωt +
ω
ω 0
• Circuito RLC, Determinare la corrente I(t) che passa in un circuito semplice formato da un
generatore di forza elettomotrice V (t), un resistore di resistenza R, una bobina di induttanza L e
un condensatore di capacità C posti in serie.
Il circuito è descritto dall’equazione integro-diﬀerenziale
V (t) = RI(t) + L
1
dI(t)
+
dt
C
Z
t
I(t′ ) dt′ .
0
Eﬀettuando la trasformata di Laplace sull’intera equazione si ottiene
ˆ − LI(0) ,
ˆ = R + sL + 1 I(s)
ˆ + L[sI(s)
ˆ − I(0)] + 1 I(s)
V̂ (s) = RI(s)
sC
sC
da cui
"
ˆ = s I(0) + V̂ (s)
I(s)
L
#
R
1
s + s+
L
LC
2
−1
.
Ad esempio, considerando un generatore di corrente alternata della forma V (t) = V0 sin ω0 t con la
condizione iniziale I(0) = 0 si ha
V̂ (s) =
V 0 ω0
,
2
s + ω02
ˆ =
I(s)
−1
R
V0 ω0 s
1
2
s
+
,
s
+
L(s2 + ω02 )
L
LC
da cui
I(t) =
V 0 ω0
2πiL
Z
η+i∞
η−i∞
s
s2 + ω02
s2 +
1
R
s+
L
LC
59
−1
est ds .
L’integrale si eﬀettua usando il metodo dei residui, chiudendo il cammino di integrazione mediante
una curva Γ all’inﬁnito (nel semipiano sinistro), ricordando che tutte le singolarità della funzione
stanno alla sinistra dell’asse di integrazione (η − i∞, η + i∞). Su Γ la funzione integranda si annulla
e pertanto I(t) diventa uguale all’integrale sul cammino chiuso, che in generale contiene quattro
poli semplici nei punti
"
#
r
R
4L
1± 1− 2
.
b± =
2L
R C
a± = ±iω0 ,
Come si vede, i punti a± sono sempre immaginari, mentre i punti b± sono complessi coniugati se
4L/R2 C > 1 e reali altrimenti. Nel caso particolare in cui 4L/R2 C = 1, b+ = b− e il polo è doppio.
ˆ hanno un’espressione piuttosto complicata, ma il loro calcolo non presenta nessuna
I residui di I(s)
diﬃcoltà tecnica. In conlusione di ha
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
I(t) = Res(I(s);
a+ ) + Res(I(s);
a− ) + Res(I(s);
b+ ) + Res(I(s);
b− ) .
Se b+ = b− allora gli ultimi due termini vanno sostituiti con il residuo nel polo doppio.
• Equazione integrale di Volterra. Trovare la soluzione dell’equazione integrale
f (x) = g(x) +
Z
x
K(x − y)f (y) dy ,
0
dove g(x) e K(x) sono funzioni note che hanno trasformata di Laplace. Allora l’equazione integrale
si può scrivere nella forma f = g + K ∗ f , che trasformata diventa l’equazione algebrica
fˆ = ĝ + K̂ fˆ
=⇒
fˆ =
ĝ
1 − K̂
= ĝ +
K̂
1 − K̂
ĝ .
La soluzione ha quindi la forma
f (x) = g(x) +
Z
0
x
R(x − y)g(y) dy ,
R̂ =
K̂
1 − K̂
.
• Metodo di Laplace. E’ una tecnica che permette di risolvere equazioni diﬀerenziali con coeﬃcienti
non costanti, ma al pù lineari nella variabile indipendente. E’ basata su una “generalizzazione” della
trasformata di Laplace.
Per illustrare il metodo in generale, si consideri l’equazione diﬀerenziale lineare di ordine n
n
X
ck (x)y (k) (x) = 0 ,
ck (x) = ak + bk x .
k=0
In generale non è possibile risolvere equazioni di questo tipo usando metodi elementari. Il metodo
di Laplace assume che la soluzione y(x) sia la trasformata di una funzione z(s) della forma
y(x) =
Z
ds z(s)exs ,
Cαβ
dove Cαβ è un cammino nel piano complesso che congiunge i punti α, β. Questo sarà scelto in modo
da ottenere soluzioni non banali. Derivando ripetutamente l’equazione precedente si ricavano le
rappresentazioni integrali delle derivate, ossia
Z
(k)
y (x) =
ds z(s)sk exs .
Cαβ
60
Posto per comodità
A(s) =
n
X
ak sk ,
B(s) =
n
X
bk sk ,
k=0
k=0
l’equazione di partenza diventa
Z
Z
x
ds exs z(s)B(s) +
Cαβ
ds exs z(s) A(s) = 0 .
Cαβ
Integriamo per parti il primo termine, vale a dire
x
Z
β
Cαβ
ds exs z(s)B(s) = [exs z(s)B(s)]α −
Z
ds exs
Cαβ
d
[z(s)B(s)] .
ds
In questo modo si ottiene l’equazione
β
[exs z(s)B(s)]α +
d
ds exs z(s)A(s) −
[z(s)B(s)] = 0 .
ds
Z
Cαβ
Poichè questa deve valere per ogni valore di x, i due termini dell’equazionee precedente devono
annullarsi separatamente, per cui
β
0 = [exs z(s)B(s)]α = V (β) − V (α) = 0 ,
0=
V (s) = exs z(s)B(s) ,
(15.7)
d
[z(s)B(s)] − z(s)A(s) .
ds
(15.8)
Conviene porre u(s) = z(s)B(s). In tal modo l’ultima equazione diventa a variabili separabili e si
può integrare. Infatti
u′ (s) = z(s)A(s) =
A(s)
u(s)
B(s)
=⇒
u(s) = z(s)B(s) = C exp
Z
ds
A(s)
B(s)
,
dove C è una costante arbitraria. La soluzione cercata è ﬁnalmente
Z
C
A(s)
z(s) =
.
exp
ds
B(s)
B(s)
Si dimostra (senza eccessive restrizioni) che la (15.7) si può soddisfare scegliendo i punti α, β e il
cammino di integrazione in n modi distinti, a cui corrispondono n funzioni z(s) (e di conseguenza n
integrali y(x)) linearmente indipendenti. Se la soluzione è monodroma, allora è possibile scegliere
n cammini chiusi. Questo signiﬁca che la (15.7) è banalmente soddisfatta. Ogni cammino deve
contenere almeno un polo di z(s) per evitare che la soluzione y(x) sia quella banale.
Esempio 1. Consideriamo come prima applicazione del metodo di Laplace la semplice equazione
y ′′ (x) + xy(x) = 0 ,
=⇒
n = 2,
a0 = a1 = b0 = b2 = 0 ,
a2 = b1 = 1 ,
da cui segue
A(s) = s2 ,
B(s) = 1 ,
z(s) = C exp
Z
ds s2
= Ces
3
/3
.
In questo caso la (15.7) diventa
eβx+β
3
/3
3
− eαx+α
/3
= 0.
(15.9)
61
Qui non è possibile scegliere cammini chiusi poiché z(s) è analitica. Un modo semplice per
soddisfare la (15.9) è quello di scegliere α, β tali che
π
|α| = |β| = |β± | = R → ∞ ,
arg (α) = π ,
arg (β± ) = ± ,
3
vale a dire α = −∞, β± = Re±iπ/3 con R → ∞. Infatti con questa scelta V (α) → 0, V (β) → 0.
Scegliamo
S quindi due cammini
S
C+ = l0 l+ e C− = l0 l− , dove l0 è una seniretta lungo l’asse reale negativo che connette
α con l’origine, mentre l± sono due semirette che connettono l’origine con β± .
Con questa scelta, una soluzione per y(x) è data dall’integrale
Z
Z
Z
3
3
y(x) =
ds z(s) =
ds exs+s /3 +
ds exs+s /3
C+
0
=
=
Z
−∞
∞
Z
l0
3
dt ext+t
/3
+
l+
Z
∞
3
dt eiπ/3 ext/2−t
√
/3+ixt 2/3
0
3
dt e−xt−t
/3
0
!
!#
√
√
3xt π
3xt π
+ i sin
+
+
dt e
cos
+
2
3
2
3
0
"
!#
√
Z ∞
3
3
3xt π
dt e−xt−t /3 + ext/2−t /3 cos
=
+
2
3
0
!#
"
√
Z ∞
3xt π
xt/2−t3 /3
.
+
dt e
sin
+i
2
3
0
Z
∞
"
xt/2−t3 /3
(15.10)
Poiché i coeﬃcienti dell’equazione sono reali è sempre possibile scegliere soluzioni reali. Questo
signiﬁca che la parte reale e la parte immaginaria di (15.10) costituiscono due soluzioni. Si
veriﬁca che sono entrambe non nulle e linearmente indipendenti e quindi la soluzione più
generale è una combinazione arbitraria delle due. In questo caso non è necessario considerare
anche il secondo cammino, il quale fornisce la soluzione coniugata della (15.10).
In conclusione si ottiene
"
!#
√
Z ∞
3xt π
−xt−t3 /3
xt/2−t3 /3
dt e
+e
cos
y1 (x) =
+
2
3
0
"
!#
√
Z ∞
3
3xt π
dt ext/2−t /3 sin
y2 (x) =
,
+
2
3
0
La soluzione più generale è della forma y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x).
Esempio 2: Equazione di Bessel. E’ un’equazione fra le più importanti della Fisica-Matematica
e si incontra , quando si usano coordinate polari (cilindriche). La scriviamo nella forma
x2 f ′′ (x) + x f ′ (x) + [x2 − ν 2 ] f (x) = 0 ,
ν∈C
I.
Per applicare il metodo di Laplace facciamo la sostituzione f (x) = xν y(x), per cui l’equazione
diventa
x y ′′ (x) + (2ν + 1) y ′ (x) + x y(x) = 0 .
L’integrale y(x) si può ora calcolare usando il metodo di Laplace in quanto l’equazione diﬀerenziale ha coeﬃcienti al più lineari nella variabile indipendente x. Si ha
b0 = b2 = 1 ,
a1 = 2ν + 1 ,
da cui segue
A(s) = (2ν + 1)s ,
B(s) = 1 + s2 ,
62
a0 = a2 = b1 = 0 ,
Z
(2ν + 1)s
C
exp
ds
1 + s2
1 + s2
C
2ν + 1
2
exp
log(1
+
s
)
= C (1 + s2 )ν−1/2 .
1 + s2
2
z(s) =
=
La condizione (15.7) in questo caso speciﬁco diventa
exβ (1 + β 2 )ν+1/2 − exα (1 + α2 )ν+1/2 = 0 ,
che si può veriﬁcare banalmente scegliendo α = −i e β = i in quanto 1 + (±i)2 = 0.
Poiché z(s) in generale è una funzione a più valori, per renderla analitica si deve eﬀettuare
un taglio che impedisca di girare attorno ad un solo punto di diramazione ±i e quindi un
taglio che connetta S
i due punti di diramazione (passando ad esempio per inﬁnito, lungo l’asse
immaginario [i, ∞) (−∞, −i]). In questa regione (il piano complesso privato del taglio) la
funzione è analitica e l’integrale da −i a i non dipende dal cammino. Come cammino di
integrazione scegliamo allore il segmento che congiunge −i, i lungo l’asse immaginario. Con
questa scelta si ha
Z i
ν
ν
ds exs (1 + s2 )ν−1/2
f (x) = x y(x) = Cx
−i
1
= iCxν
= iCxν
Z
−1
Z 1
−1
dt eixt (1 − t2 )ν−1/2
dt cos(xt) (1 − t2 )ν−1/2 .
Qui abbiamo assunto implicitamente che Re ν > −1/2 per avere la convergenza dell’integrale
e abbiamo tralasciato l’integrale con sin(xt) perché è identicamente nullo per parità. Abbiamo
quindi ottenuto la soluzione, valida per Re ν > −1/2 (funzioni di Bessel di I a specie)
Z 1
(z/2)ν
dt cos(zt) (1 − t2 )ν−1/2 ,
(15.11)
Jν (z) =
Γ(ν + 1/2)Γ(1/2) −1
dove x è stato sostituito dalla variabile complessa z e si è ﬁssata la costante
iC = [2ν Γ(ν + 1/2)Γ(1/2)]−1 .
Usando la rappresentazione integrale (15.11) si ricava facilmente lo sviluppo di Taylor di Jν (z)
attorno all’origine, per | arg (z)| < π. Infatti si ha
Z 1
∞
X
(zt)2k
(z/2)ν
(−1)k
(1 − t2 )ν−1/2
dt
Jν (z) =
Γ(ν + 1/2)Γ(1/2) −1
(2k)!
k=0
∞
ν
2k Z 1
X
(z/2)
k z
=
dτ τ k−1/2 (1 − τ )ν−1/2
(−1)
Γ(ν + 1/2)Γ(1/2)
(2k)! 0
ν
=
=
(z/2)
Γ(ν + 1/2)Γ(1/2)
∞
z ν X
2
k=0
k=0
∞
X
(−1)k
k=0
z 2k B(k + 1/2, ν + 1/2)
(2k)!
z 2k
(−1)k
,
k!Γ(k + 1 + ν) 2
dove si è usata la relazione B(x, y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y) fra gli integrali di Eulero B(x, y) del
I o tipo e Γ(x) del II o tipo. Si osservi che la rappresentazione sotto forma di serie per Jν (z) è
valida per ogni valore di ν.
Qui abbiamo ottenuto solo una soluzione perché abbiamo ﬁssato delle condizioni sulla sua
forma per usare il metodo di Laplace. L’altra soluzione indipendente (funzioni di Bessel di II a
specie o funzioni di Newmann) si scrive nella forma
Nν (z) =
1
[cos(πν)Jν (z) − J−ν ] ,
sin(πν)
| arg (z)| < π ,
ν 6= 0, ±1, ±2, ...
Oscillatore armonico in meccanica quantistica. Vogliamo trovare le autofunzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale. Indichiamo con m, ω, h̄ rispettivamente la massa, la frequenza
63
angolare e la costante di Planck razionalizzata h/2π. L’equazione che fornisce gli autovalori E
dell’hamiltoniana H è
h̄2 d2
1
2 2
Hψ(x) = −
+ mω x ψ(x) = Eψ(x) ,
2m dx2
2
dove ψ(x) ∈ L2 (IR) è la funzione d’onda. Per prima cosa facciamo il cambiamento di variabili
r
mω
2E
x,
λ=
≥ 0,
ψ(x) → ψ(ξ) .
ξ=
h̄
h̄ω
Usando queste grandezze adimensionali, l’equazione agli autovalori diventa
d2
2
− 2 + ξ ψ(ξ) = λψ(ξ) ,
dξ
che non è un’equazione a coeﬃcienti lineari, ma lo diventa mediante il cambiamento di funzione
2
ψ(ξ) = e−ξ /2 y(ξ). L’equazione per y(ξ) è infatti
y ′′ (ξ) − 2ξy ′ (ξ) + (λ − 1)y(ξ) = 0 ,
(15.12)
che si può risolvere mediante il metodo di Laplace. Abbiamo a0 = λ − 1, a1 = b0 = b2 = 0,
a2 = 1, b1 = −2, da cui
A(s) = s2 + λ − 1 ,
B(s) = −2s .
Dalla teoria generale otteniamo (per λ > 0)
Z
2
e−s /4
1 − λ − s2
1
= 1+(λ−1)/2 ,
ds
z(s) ∝ exp
s
2s
s
V (s) = esx e−
s2
4
s
1−λ
2
,
V (β) = V (α) ,
(15.13)
dove per semplicità abbiamo omesso la costante e usato il simbolo ∝ in luogo dell’uguaglianza. Per quanto concerne la ﬁsica, possiamo limitarci a valori λ ≥ 0 (l’energia del sistema è
sicuramente non negativa).
Un modo semplice per soddisfare la (15.13) é quello di eﬀettuare un taglio lungo il semi-asse
reale positivo/negativo e considerare i cammini C± che girano attorno a questi due tagli. In
tal modo α e β sono entrambi punti a più/meno inﬁnito, uno sopra e l’altro sotto il taglio e
la (15.13) è banalmente soddisfatta poiché limRe s→±∞ V (s) = 0. Se (λ − 1)/2 non è intero,
allora z(s) ha un punto di diramazione nell’origine, e si può vedere che in tal caso le soluzioni
2
che si ottengono integrando su C± sono divergenti (come eξ ) per ξ → ±∞. Pertanto queste
soluzoni non sono ﬁsicamente accettabili in quanto ψ(x) ∈
/ L2 (IR).
Quando invece (λ − 1)/2 = n è un intero (n = 0, 1, 2, ...), allora z(s) ha un polo di ordine
n + 1 nell’origine e i due cammini C± si possono chiudere e collassano in un unico cammino
chiuso attorno al polo. La (15.13) è ancora banalmente soddisfatta. poiché gli estremi α, β
coincidono. La soluzione y(ξ) si ricava dall’integrale
I
I
2
2
e−w
eξs−s /4
ξ2
dw
,
(15.14)
y(ξ) ∝
ds n+1 ∝ e
s
(w − ξ)n+1
dove si è eﬀettuato il cambiamento di variabile w = ξ − s/2 e n = 0, 1, 2, ... è legato allo spettro
energetico dell’oscillatore armonico dalla relazione
1
λ − 1 = 2n
=⇒
E = En = n +
h̄ω .
2
Ricordando la rappresentazione integrale di Cauchy, vediamo che l’ultimo termine della (15.14)
è proporzionale alla derivata di ordine n della gaussiana e pertanto
y(ξ) = yn (ξ) = Cn Hn (ξ) ,
Hn (ξ) = (−1)n eξ
64
2
dn −ξ2
e
,
dξ n
n = 0, 1, 2, ...
Cn è una costante (normalizzazione) inessenziale per i nostri scopi e Hn (x) sono i polinomi di
Hermite. Questi sono polinomi di grado n, di parità deﬁnita e soddisfano l’equazione (15.12)
con λ − 1 = 2n, dunque
Hn′′ (ξ) − 2ξHn′ (ξ) + 2nHn (ξ) = 0 .
(15.15)
Ora siamo in grado di scrivere la funzione d’onda del problema iniziale. Ripristinando le
variabili originali otteniamo
r
√
mω
−αx2 /2
ψn (x) = Cn e
Hn ( αx) ,
α=
.
h̄
In meccanica quantistica la costante Cn si ﬁssa imponendo la normalizzazione kψn k2 = 1.
65