Mod. I e II - Università degli Studi dell`Insubria

A.A. 2013-14
Corso di Laurea in Fisica L30
Metodi Matematici della Fisica con Esercitazioni (Mod. I e II)
Codice SCC0105
Italo Guarneri
CFU
16
SSD
Lezioni
Esercitazioni
Laboratorio
(ore)
(ore)
(ore)
FIS/02
128
[inserire voce: es.
attività di campo;
seminari; uscite;…]
(ore)
Anno
Lingua
II
Italiano
Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Il corso ha un duplice obbiettivo , che si rispecchia nei due moduli in cui esso e’
articolato. Il primo modulo si propone di completare ed integrare il corredo di
conoscenze di Analisi che lo studente ha acquisito nei corsi di base di Calcolo,
fornendo le nozioni indispensabili per comprendere e utilizzare i metodi di analisi
complessa piu’ largamente sfruttati nella Fisica matematica, che prevedono il ricorso
all’integrazione di contorno, agli sviluppi asintotici, e altri ; nonche’ di presentare in
maniera organica la teoria delle equazioni differenziali ordinarie del 2ndo ordine, e le
relative tecniche di soluzione mediante sviluppi in serie di potenze; cosi’ fornendo, fra
l’altro, una introduzione alle Funzioni Speciali di piu’ frequente impiego.
Il secondo modulo si propone di introdurre in maniera sintetica ma tuttavia
logicamente coerente gli elementi di Analisi Funzionale sui quali e’ fondato il
formalismo matematico della Meccanica quantistica. Accanto alla tradizionale teoria
elementare degli spazi di Hilbert, questo modulo prevede una introduzione “efficace”
alla teoria delle distribuzioni temperate. Pur senza rinunciare alla coerenza logica,
viene minimizzato il ricorso ad
aspetti astratti di teoria degli spazi vettoriali
topologici, e viene invece posto l’accento sulle tecniche distribuzionali elementari di
piu’ frequente utilizzo, quali la trasformata di Fourier, e le funzioni di Green.
Ci si attende che gli studenti di questo corso acquisiscano una certa dimestichezza
operativa con quegli strumenti matematici che , pur essendo da tempo comunemente
utilizzati nella Meccanica quantistica, sono tuttavia abbastanza avanzati da eccedere i
limiti dei corsi di base di analisi matematica ; tuttavia mantenendo un grado di
consapevolezza della articolazione logica della teoria matematica sottostante,
sufficiente a permetterne un uso critico, al di la’ della pura e semplice manipolazione
formale.
Prerequisiti
Elementi di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una o piu’
variabili reali; elementi di base della algebra lineare, e della teoria degli spazi
vettoriali di dimensione finita.
Contenuti e programma del corso
Modulo 1: Funzioni di una variabile complessa.
Richiami alla teoria generale degli spazi metrici. Funzioni Olomorfe, e condizioni di
Cauchy-Riemann. Integrale curvilineo ; campi vettoriali conservativi. Teorema
integrale di Cauchy, integrali del tipo di Cauchy, formula integrale di Cauchy. Funzioni
armoniche, teorema di Liouville, principio del massimo modulo.Serie di funzioni
olomorfe e teorema di Weierstrass. Serie di potenze. Sviluppo di Taylor; funzioni
analitiche. Singolarita’ isolate, e loro classificazione; sviluppo di Laurent. Teorema dei
residui e sue applicazioni. Teorema Fondamentale del prolungamento analitico;
prolungamento analitico lungo un cammino; funzioni monodrome, e funzioni
polidrome. Funzioni analitiche complete e supericie di Riemann. Calcolo di integrali
curvilinei di funzioni polidrome. Integrale Euleriano di 2nda specie, e cenni alla
funzione Gamma. Esistenza ed unicita’ della soluz di una equazione differenziale
ordinaria del 2ndo ordine, nell’intorno di un punto ordinario. Prolungamento analitico
delle soluzioni locali. Struttura dello spazio dele soluzioni. Soluzioni nell’intorno di un
punto singolare; equazione di Eulero. Singolarita’ Fuchsiane. Equazione di Bessel;
funzioni di Bessel di 1a e 2nda specie e loro proprieta’ principali. Equazioni totlamente
Fuchsiane. Equazione e funzione Ipergeometrica.
Modulo 2: elementi di analisi Funzionale.
Nozione generale di spazio funzionale. Spazi vettoriali topologici. Spazi normati e spazi
prehilbertiani, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, identita’ del Parallelogrammo,
identita’ di polarizzazione. Spazi di Banach e di Hilbert. Spazi di successioni.
Introduzione sintetica alla teoria astratta della misura e della integrazione. Passaggio
al limite sotto il segno di integrale. Convergenza in media quadtatica, Spazi di funzioni
di quadrato sommabile. Sottospazi di uno spazio di Hilbert; teorema delle proiezioni.
Decomposizione ortogonale. Sistemi ortonormali e basi Hilbertiane. Serie di Fourier
generalizzate. Spazi separabili. Isomorfismo Hilbertiano; operatori lineari e continui.
Rappresentazione dei funzionali lineari e continui. Algebra degli operatori continui:
operatori unitari, proiettori, operatore aggiunto; convergenze per serie di operatori.
Serie di Fourier per funzioni periodiche; rapidita’ della loro convergenza. Serie
trigonometriche. Integrale di Fourier; proprieta’ elementari , lemma di RiemannLebesgue. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwarz delle Test-funzioni a
decrescenza rapida . La base di Hermite e le sue proprieta’ basilari. La trasformata di
Fourier-Plancherel. Distribuzioni temperate come limite debole di funzioni di quadrato
sommabile. Distribuzioni regolari e singolari. La delta di Dirac. Derivate distribuzionali.
La distribuzione Parte Principale P1/x. Potenziale di una carica puntiforme. Altre
operazioni: cambiamento di variabile, prodotto, prodotto tensoriale. Trasformata di
Fourier delle distribuzioni temperate; regole di calcolo; esempi espliciti. Convoluzione
di distribuzioni. Trasformata di Hilbert. Soluzioni fondamentali di un operatore
differenziale lineare. Soluzioni fondamentali, e il problema di Cauchy; funzioni di
Green. Soluzioni fondamentali per la equazione di diffusione, la equazione di
Schroedinger per la paricella libera, e la equazione delle onde.
Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali durante le quali verranno presentati gli argomenti del corso, illustrati
da esempi ed esercizi.
Testi e materiale didattico
Dispense. Le lezioni del secondo modulo sono accessibili in streaming (in inglese) a
http://w3.ateneo.uninsubria.it/streaming/MetodiMatematiciFisica.xml
Modalità di verifica dell’apprendimento
Prova scritta alla fine del primo modulo. Prova finale scritta . Prova orale opzionale;
prevede presentazione di argomento assegnato dal docente.
Orario di ricevimento
In tutti i giorni di lezione, dalle ore 13 alle ore 16.
Calendario delle attività didattiche
Collegamento ipertestuale alla pagina degli orari e sedi del CdS
Appelli d'esame
Collegamento ipertestuale alla bacheca appelli