Probabilità classica
Distribuzioni e leggi di probabilità
La probabilità di un evento casuale è il
rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il
numero dei casi possibili, purchè siano tutti
equiprobabili.
Basata su una probabilità matematica o a
priori.
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Probabilità frequentista
Probabilità soggettiva
La probabilità di un evento casuale è il limite a
cui essa tende al crescere del numero delle
osservazioni, in una serie di esperienze fatte
nelle stesse condizioni.
La probabilità è una stima del grado di
aspettativa di un evento, secondo l’esperienza
di un individuo.
Si parla anche di probabilità Bayesiana.
Si parla anche di probabilità a posteriori di
legge empirica del caso o di probabilità
statistica.
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Sara Gradara
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Alcune distribuzioni discrete
Distribuzione binomiale
Detta anche di Bernoulli in onore del
matematico svizzero J. Bernoulli (1654-1705).
Sono le distribuzioni di probabilità per variabili
casuali discrete.
Distribuzione discreta che modellizza il
problema delle prove ripetute; viene utilizzata
per eventi classificati con una variabile binaria
(pallina bianca o nera, testa o croce, …)
quando interessa la ricorrenza dell’evento e
non la sua intensità.
•Distribuzione binomiale
•Distribuzione di Poisson
•…
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Distribuzione binomiale
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Distribuzione binomiale
• Dato un esperimento che consiste di n prove
identiche (lancio di una moneta, estrazione di
una pallina,…).
La distribuzione di probabilità per una variabile
binomiale Y è data da
• Ci siano solo due possibili risultati per ogni
prova: S (successo) e F (insuccesso).
• Sia p la probabilità di S e q quella di F
(costanti per ogni prova) tali che p+q=1.
• Le prove siano indipendenti.
• La variabile binomiale Y conta il numero di
successi S
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Sara Gradara
p(Y ) = ( Yn ) p Y q n−Y
(Y = 0,1,2,....., n)
dove
( Yn ) =
n!
Y ! ( n − Y )!
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Distribuzione binomiale
Distribuzione binomiale
Stima la probabilità che un evento, con
probabilità a priori o frequentista p, avvenga
rispettivamente 0,1,2,…,i,...,n volte, nel corso di
n prove identiche ed indipendenti.
La distribuzione binomiale dipende dai due
parametri: p ed n.
Esempi di variabili binomiali:
Media
•Difetto lieve/difetto catastrofico
•successo/insuccesso
•difettoso/non difettoso
•…
Varianza σ
2
= n* p*q
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Distribuzione di Poisson
Dal nome del matematico francese S.D. Poisson
(1781-1840) è anche detta Legge degli eventi
rari.
Il grafico della distribuzione
binomiale è simmetrico solo
quando p=0,5.
P=.5
E' sempre più asimmetrico quanto più p si avvicina
a 0 oppure a 1.
P=.3
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Sara Gradara
µ = n* p
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Distribuzione binomiale
P=.1
Le statistiche caratteristiche della binomiale sono:
Distribuzione discreta che fornisce un modello per
la frequenza relativa di un numero di eventi rari
che si presentano nell’unità di tempo, area,
volume,… (p.e. numero di piante infestanti per
unità di superficie, numero di difetti in un
modulo,…).
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Distribuzione di Poisson
Distribuzione di Poisson
Si può ricavare come caso particolare della
binomiale quando il numero di prove n diventa
molto grande e nello stesso tempo la probabilità
di successo S in una singola prova molto piccola,
in modo tale che il loro prodotto sia finito (non
diverga) e diverso da zero.
• Dato un esperimento che consiste nel misurare il
numero Y di volte che un evento particolare si
verifica in una data unità di tempo (o in una data
area, volume, o qualsiasi unità di misura)
• La probabilità che un evento si presenti in
quell’unità di tempo (…) sia la stessa per ogni unità.
• Il numero di eventi che si verifica in una unità di
tempo (…) sia indipendente dal numero di eventi che
si verifica in altre unità.
• Sia λ la media del numero di eventi in ogni unità.
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Distribuzione di Poisson
Distribuzione di Poisson
La distribuzione di probabilità per una variabile di
Poisson Y è data da
p (Y ) =
λY e −λ
Y!
La distribuzione di probabilità per una variabile di
Poisson Y è data da
λY e −λ
(Y = 0,1,2,....)
Y!
Le statistiche caratteristiche della poissoniana sono:
p (Y ) =
(Y = 0,1,2,....)
E’ la probabilità di osservare Y volte un evento che
si manifesta in media λ volte.
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Sara Gradara
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Media µ = λ
Varianza σ 2 = λ
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Distribuzione di Poisson
Alcune distribuzioni continue
Il grafico della distribuzione poissoniana è molto
asimmetrico e la classe più frequente è zero,
quando µ è inferiore a 1. E’ ancora asimmetrica
per valori di µ inferiori a 3 ma una media uguale
a 6-7 determina una distribuzione simmetrica.
µ = 0.9
µ=2
Sono le distribuzioni di probabilità per variabili
casuali continue.
•Distribuzione normale
•Distribuzione t di Student
•…
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Distribuzione normale
Distribuzione normale
Detta anche di Gauss dal nome del
matematico C.F. Gauss (1777-1855) che la
propose come modello per la distribuzione
degli errori.
Sotto
l’aspetto
matematico
può
essere
considerata come il limite della distribuzione
binomiale quando il numero di prove n tende
all’infinito e nello stesso tempo né p né q tendono
a 0 (condizione che la differenzia dalla
poissoniana).
E’ la più importante distribuzione continua
poiché molti fenomeni, da quelli biologici a
quelli fisici, normalmente si distribuiscono
secondo la curva gaussiana.
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Sara Gradara
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Distribuzione normale
Distribuzione normale
La distribuzione normale per una variabile
aleatoria X è caratterizzata da una densità di
probabilità della forma:
( y − µ )2
−
1
2
p( y ) =
e 2σ
σ 2π
Grafico della distribuzione di Gauss N ( µ , σ 2 ) con
media µ e varianza σ 2 (Gaussiana o funzione a
campana).
dove µ ∈ ℜ e σ > 0 sono rispettivamente la
media e la deviazione standard.
2
Brevemente si indica p(y) con N ( µ , σ ) .
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Distribuzione normale
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Distribuzione normale
Effetti sul grafico di una modifica apportata alla
media µ o alla varianza σ 2 .
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Sara Gradara
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Frequenza e distribuzione di
frequenza relativa per i pesi
Istogramma della frequenza
relativa per i pesi
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Distribuzione normale
Distribuzione normale standard
Per una variabile normalmente distribuita, la
percentuale di tutte le possibili osservazioni che
cadono dentro ad uno specifico range eguaglia
la corrispondente area sotto alla curva normale
associata, espressa in percentuale.
Questo resta vero approssimativamente per una
variabile
che
approssimativamente
è
normalmente distribuita.
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Sara Gradara
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Una variabile normalmente distribuita con media 0
e deviazione standard 1 si dice che ha una
distribuzione normale standard.
La curva normale ad essa associata è detta curva
normale standard.
La versione standardizzata z della variabile x
normalmente distribuita
x−µ
z=
σ
ha una distribuzione normale standard.
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Standardizzazione della
distribuzione normale
Effetti della standardizzazione
La standardizzazione è una trasformazione che
consiste nel
•rendere la media µ nulla;
•prendere la deviazione standard σ come unità di
misura ( σ = 1 ) della nuova variabile.
•La distribuzione normale ridotta viene indicata
con N(0,1).
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Distribuzione t di Student
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Distribuzione t di Student
Dallo pseudonimo del chimico inglese W.S.Gosset,
la distribuzione t di Student considera le relazioni
tra media e varianza in campioni di piccole
dimensioni,
estratti
da
una
popolazione
normalmente distribuita, utilizzando la varianza
del campione.
Data una popolazione distribuita normalmente, si
estrae un campione casuale di n osservazioni e si
calcola la variabile aleatoria t, definita dalla
seguente equazione:
x−µ
La scelta tra normale e t di Student dipende
appunto dalla conoscenza della varianza σ 2 della
popolazione o dal fatto che essa sia ignota (in
2
questo caso si usa la varianza campionaria s ).
t segue una legge t di Student con n-1 gradi di
libertà.
La quantità al numeratore si chiama errore
standard campionario.
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Sara Gradara
t=
s/ n
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Distribuzione t di Student
La forma della distribuzione dipende dai g.d.l., cioè
dalla numerosità del campione.
Per n grande (>30) t tende ad una Normale.
normale
(Stessa media e
stessa varianza)
T di Student
con gdl 5
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Sara Gradara
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