ALCUNE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

ALCUNE VARIABILI ALEATORIE
DISCRETE
●
Binomiale
●
Geometrica
●
Ipergeometrica
●
Poisson
1
Distribuzione Binomiale: B(n,p)
Densità di probabilità:
f X  k =
n!
p k 1− pn−k ,
k ! n−k !
k =0,1,2,. ..
Valore atteso:
E[X] = np
Varianza:
Var[X] = npq
2
Distribuzione Binomiale: B(n,p)
SIMMETRICA!
3
Distribuzione Geometrica: G(p)
Densità di probabilità:
k −1
f X  k = p 1− p
,
k =0,1,2,...
Valore atteso:
E[X] = 1/p
Varianza:
Var[X] = (1-p)/p
4
Distribuzione Geometrica: G(p)
5
Distribuzione Ipergeometrica: G(N,K,n)
Densità di probabilità:
f X  k =

K
k


N−K
n−k
N
n


,
k =0,... , n , k ≤K
Valore atteso:
E[X] = n K/N
Varianza:
K
K N −n
Var  X =n 1− 

N
N N −1
6
Distribuzione Ipergeometrica: G(N,K,n)
7
Approssimazione della distribuzione
ipergeometrica con la binomiale
Distr. binomiale
~
Campionamento con reimmissione
(prove di Bernoulli indipendenti)
Distr. ipergeometrica
~
Campionamento senza reimmissione
(prove non indipendenti)
Se N → ∞, allora N >> n, e:
G(N,K,n) ~ Bin(n,p)
con p = K/N.
8
Al crescere di N,
l'approssimazione è
migliore!
9
Distribuzione di Poisson: P(λ)
k
Densità di probabilità:
− 
f X  k =e
,
k!
k=0,1,2,. ..
Valore atteso:
E[X] = λ
Varianza:
Var[X] = λ
10
Distribuzione di Poisson: P(λ)
Al crescere di λ, la
densità tende a diventare
simmetrica rispetto al
valor medio!
11
Approssimazione della distribuzione binomiale
con la distr. di Poisson
Suppongo di avere una distribuzione binomiale con n molto
grande, p molto piccolo: evento raro
oppure...
Suppongo di avere un fenomeno ~ binomiale di cui non conosco
n e p, ma solo la frequenza media di occorrenze: np
In questi casi:
Bin(n,p) ~ Poisson (λ)
avendo posto λ= np
12
Fissato λ, al crescere di N (quindi al decrescere di p=λ/N)
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l'approssimazione migliora!
Funzioni di distribuzione cumulata: P(X<α)
Distribuzione
binomiale
Distribuzione
geometrica
14
Funzioni di distribuzione cumulata: P(X<α)
Distribuzione
Ipergeometrica
Distribuzione di
Poisson
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