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Identità vettoriali

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,'(17,7¬9(7725,$/,(35235,(7¬'(// 23(5$725(1$%/$
RELAZIONI DI MOLTIPLICAZIONE
(D, E, F e G sono vettori in 5 , “⋅” indica il prodotto scalare, “×” indica il prodotto vettoriale)
3
D ⋅ (E × F ) = E ⋅ (F × D ) = F ⋅ (D × E )
D × (E × F ) = E(D ⋅ F )− F(D ⋅ E )
D × (E × F ) = E × (D × F )− F × (D × E )
(D × E )⋅ (F × G ) = (D ⋅ F )(E ⋅ G )− (D ⋅ G )(E ⋅ F )
RELAZIONI DIFFERENZIALI
($ e % sono funzioni vettoriali, ϕ e ψ sono funzioni scalari)
(L'operatore nabla ( ∇ ) opera sulle variabili spaziali)
∇(ϕ + ψ ) = ∇ϕ + ∇ψ
∇ ⋅ ( $ + %) = ∇ ⋅ $ + ∇ ⋅ %
∇ × ( $ + %) = ∇ × $ + ∇ × %
∇(ϕψ ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ
∇($ ⋅ % ) = % × ∇ × $ + $ × ∇ × % + (% ⋅ ∇ )$ + ( $ ⋅ ∇ )%
∇ ⋅ (ϕ $) = ϕ ∇ ⋅ $ + ∇ϕ ⋅ $
∇ ⋅ ($ × %) = % ⋅ ∇ × $ − $ ⋅ ∇ × %
∇ × (ϕ $) = ϕ ∇ × $ + ∇ϕ × $
∇ × ( $ × %) = $(∇ ⋅ %) − %(∇ ⋅ $) + (% ⋅ ∇)$ − ($ ⋅ ∇)%
∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ 2 ϕ
∇ × ∇ϕ = 0
∇⋅∇ × $ = 0
∇ × ∇ × $ = ∇∇ ⋅ $ − ∇ 2 $
∇ 2 (ϕψ ) = ϕ∇ 2 ψ + 2∇ϕ ⋅ ∇ψ + ψ∇ 2 ϕ
∇ 2 (ϕ $) = ϕ∇ 2 $ + 2(∇ϕ ⋅ ∇)$ + $∇ 2 ϕ
∇∇ ⋅ (ϕ $ ) = (∇ϕ )∇ ⋅ $ + ϕ∇∇ ⋅ $ + ∇ϕ × ∇ × $ + ($ ⋅ ∇)∇ϕ + (∇ϕ ⋅ ∇)$
∇ × ∇ × (ϕ $ ) = ∇ϕ × ∇ × $ − $∇ 2 ϕ + ($ ⋅ ∇)∇ϕ + ϕ∇ × ∇ × $ + (∇ϕ )∇ ⋅ $ − (∇ϕ ⋅ ∇)$
Identità - 1
TEOREMI DI CALCOLO VETTORIALE
In quel che segue $ è una funzione vettoriale, ϕ e ψ sono funzioni scalari, V è un volume tridimensionale il cui elemento infinitesimo è dV, ∂V è la superficie bidimensionale chiusa che racchiude V,
avente elemento di area infinitesimo dS con versore normale esterno Q in dS.
∫V ∇ ⋅ $ dV = ∫∂V $ ⋅ Q dS
∫V ∇ϕ dV = ∫∂V ϕ Q dS
∫V ∇ × $ dV = ∫∂V Q × $ dS
∫V (ϕ∇ ψ + ∇ϕ ⋅ ∇ψ ) dV = ∫∂V ϕ Q ⋅ ∇ψ dS
2
∫V (ϕ∇ ψ − ψ∇ ϕ) dV = ∫∂V (ϕ ∇ψ − ψ∇ϕ) ⋅ Q dS
2
2
In quel che segue S è una superficie aperta avente come contorno la linea chiusa C il cui elemento di
linea infinitesimo è dO. La normale Q a S è definita mediante la regola della vite destrogira in relazione al verso di percorrenza di C.
∫S ∇ × $ ⋅ Q dS = ∫C $ ⋅ dO
∫S Q × ∇ϕ dS = ∫C ϕ dO
∫S (Q dS × ∇) × $ = ∫C dO × $
Identità - 2
)250$(63/,&,7$'(*/,23(5$725,9(7725,$/,
COORDINATE CARTESIANE (x, y, z)
dV = dx dy dz
($ è una funzione vettoriale, ψ è una funzione scalare)
(I versori degli assi sono indicati da H)
∇ψ =
∂ψ
∂ψ
∂ψ
Hx +
Hy +
Hz
∂x
∂y
∂z
∇⋅$ =
∂A x ∂A y ∂A z
+
+
∂x
∂y
∂z
∂A y 
 ∂A y ∂A x 
 ∂A
∂A z 
 ∂A
−
∇×$ = z −
 Hy + 
 Hz
 Hx +  x −
 ∂z
∂z 
∂x 
∂y 
 ∂x
 ∂y
∂2 ψ ∂2 ψ ∂2 ψ
∇ ψ= 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
2
∇ 2 $ = H x∇ 2 A x + H y∇ 2 A y + H z∇ 2 A z
COORDINATE CILINDRICHE (R, φ, z)
x = Rcos φ

y = Rsen φ
z = z

dV = R dR dφ dz
($ è una funzione vettoriale, ψ è una funzione scalare)
(I versori degli assi sono indicati da H)
∇ψ =
∇⋅$ =
1 ∂ψ
∂ψ
∂ψ
HR +
Hφ +
Hz
∂R
R ∂φ
∂z
1 ∂
1 ∂A φ ∂A z
+
(RA R ) +
R ∂R
R ∂φ
∂z
 1 ∂A z ∂A φ 
∂A z 
∂A R 
1 ∂
 ∂A
∇×$ =
−
RA φ −
 Hφ + 
 HR +  R −
 Hz
 ∂z
∂z 
∂R 
∂φ 
R  ∂R
 R ∂φ
(
Identità - 3
)
∇2 ψ =
1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ
+
R  +
R ∂R  ∂R  R 2 ∂φ 2 ∂ z 2
A φ 2 ∂A R 
 2

2 ∂A φ 
A
+
∇
−
+ 2
+ H z∇2 A z
∇ 2 $ = H R ∇ 2 A R − R2 − 2
H
A
φ
φ



2
R
R ∂φ 
R
R ∂φ 


COORDINATE SFERICHE (R, θ, φ)
x = R sen θ cos φ

y = R sen θ sen φ
z = R cos θ

dV = R 2 sen θdR dφdθ
($ è una funzione vettoriale, ψ è una funzione scalare)
(I versori degli assi sono indicati da H)
∇ψ =
∇⋅$ =
∇×$ =
+
1 ∂ψ
1 ∂ψ
∂ψ
HR +
Hθ +
Hφ
∂R
R ∂θ
R sen θ ∂φ
1 ∂
1
1 ∂A φ
∂
2
+
+
R
A
A
sen
θ
(
)
R
θ
R sen θ ∂θ
R sen θ ∂φ
R 2 ∂R
(
)

∂A θ 
∂
1  ∂
1  1 ∂A R
−
sen θ A φ −
RA φ  H θ

 HR + 

∂φ 
∂R
R sen θ  ∂θ
R  sen θ ∂φ
(
)
(
)
∂A R 
1 ∂
RA θ ) −
(

 Hφ
∂θ 
R  ∂R
∇2ψ =
1
1
1 ∂  2 ∂ψ 
∂ 
∂ψ 
∂2 ψ
+
+
R
sen
θ




∂R  R 2 sen θ ∂θ 
∂θ  R 2 sen 2 θ ∂φ 2
R 2 ∂R 
∂A φ 

2
2
2
∂
sen θ A θ ) − 2
∇ 2 $ = H R ∇ 2 A R − 2 A R − 2
(

R
R sen θ ∂θ
R sen θ ∂φ 


A
2 ∂A R
2 cos θ ∂A φ 
+ H θ ∇ 2 A θ − 2 θ 2 + 2
− 2

R sen θ R ∂θ
R sen 2 θ ∂φ 

Aφ

∂A R
2
2 cos θ ∂A θ 
+ H φ ∇ 2 A φ − 2
+ 2
+ 2

2
R sen θ R sen θ ∂φ
R sen 2 θ ∂φ 

Identità - 4
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