,'(17,7¬9(7725,$/,(35235,(7¬'(// 23(5$725(1$%/$ RELAZIONI DI MOLTIPLICAZIONE (D, E, F e G sono vettori in 5 , “⋅” indica il prodotto scalare, “×” indica il prodotto vettoriale) 3 D ⋅ (E × F ) = E ⋅ (F × D ) = F ⋅ (D × E ) D × (E × F ) = E(D ⋅ F )− F(D ⋅ E ) D × (E × F ) = E × (D × F )− F × (D × E ) (D × E )⋅ (F × G ) = (D ⋅ F )(E ⋅ G )− (D ⋅ G )(E ⋅ F ) RELAZIONI DIFFERENZIALI ($ e % sono funzioni vettoriali, ϕ e ψ sono funzioni scalari) (L'operatore nabla ( ∇ ) opera sulle variabili spaziali) ∇(ϕ + ψ ) = ∇ϕ + ∇ψ ∇ ⋅ ( $ + %) = ∇ ⋅ $ + ∇ ⋅ % ∇ × ( $ + %) = ∇ × $ + ∇ × % ∇(ϕψ ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ ∇($ ⋅ % ) = % × ∇ × $ + $ × ∇ × % + (% ⋅ ∇ )$ + ( $ ⋅ ∇ )% ∇ ⋅ (ϕ $) = ϕ ∇ ⋅ $ + ∇ϕ ⋅ $ ∇ ⋅ ($ × %) = % ⋅ ∇ × $ − $ ⋅ ∇ × % ∇ × (ϕ $) = ϕ ∇ × $ + ∇ϕ × $ ∇ × ( $ × %) = $(∇ ⋅ %) − %(∇ ⋅ $) + (% ⋅ ∇)$ − ($ ⋅ ∇)% ∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ 2 ϕ ∇ × ∇ϕ = 0 ∇⋅∇ × $ = 0 ∇ × ∇ × $ = ∇∇ ⋅ $ − ∇ 2 $ ∇ 2 (ϕψ ) = ϕ∇ 2 ψ + 2∇ϕ ⋅ ∇ψ + ψ∇ 2 ϕ ∇ 2 (ϕ $) = ϕ∇ 2 $ + 2(∇ϕ ⋅ ∇)$ + $∇ 2 ϕ ∇∇ ⋅ (ϕ $ ) = (∇ϕ )∇ ⋅ $ + ϕ∇∇ ⋅ $ + ∇ϕ × ∇ × $ + ($ ⋅ ∇)∇ϕ + (∇ϕ ⋅ ∇)$ ∇ × ∇ × (ϕ $ ) = ∇ϕ × ∇ × $ − $∇ 2 ϕ + ($ ⋅ ∇)∇ϕ + ϕ∇ × ∇ × $ + (∇ϕ )∇ ⋅ $ − (∇ϕ ⋅ ∇)$ Identità - 1 TEOREMI DI CALCOLO VETTORIALE In quel che segue $ è una funzione vettoriale, ϕ e ψ sono funzioni scalari, V è un volume tridimensionale il cui elemento infinitesimo è dV, ∂V è la superficie bidimensionale chiusa che racchiude V, avente elemento di area infinitesimo dS con versore normale esterno Q in dS. ∫V ∇ ⋅ $ dV = ∫∂V $ ⋅ Q dS ∫V ∇ϕ dV = ∫∂V ϕ Q dS ∫V ∇ × $ dV = ∫∂V Q × $ dS ∫V (ϕ∇ ψ + ∇ϕ ⋅ ∇ψ ) dV = ∫∂V ϕ Q ⋅ ∇ψ dS 2 ∫V (ϕ∇ ψ − ψ∇ ϕ) dV = ∫∂V (ϕ ∇ψ − ψ∇ϕ) ⋅ Q dS 2 2 In quel che segue S è una superficie aperta avente come contorno la linea chiusa C il cui elemento di linea infinitesimo è dO. La normale Q a S è definita mediante la regola della vite destrogira in relazione al verso di percorrenza di C. ∫S ∇ × $ ⋅ Q dS = ∫C $ ⋅ dO ∫S Q × ∇ϕ dS = ∫C ϕ dO ∫S (Q dS × ∇) × $ = ∫C dO × $ Identità - 2 )250$(63/,&,7$'(*/,23(5$725,9(7725,$/, COORDINATE CARTESIANE (x, y, z) dV = dx dy dz ($ è una funzione vettoriale, ψ è una funzione scalare) (I versori degli assi sono indicati da H) ∇ψ = ∂ψ ∂ψ ∂ψ Hx + Hy + Hz ∂x ∂y ∂z ∇⋅$ = ∂A x ∂A y ∂A z + + ∂x ∂y ∂z ∂A y ∂A y ∂A x ∂A ∂A z ∂A − ∇×$ = z − Hy + Hz Hx + x − ∂z ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y ∂2 ψ ∂2 ψ ∂2 ψ ∇ ψ= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∇ 2 $ = H x∇ 2 A x + H y∇ 2 A y + H z∇ 2 A z COORDINATE CILINDRICHE (R, φ, z) x = Rcos φ y = Rsen φ z = z dV = R dR dφ dz ($ è una funzione vettoriale, ψ è una funzione scalare) (I versori degli assi sono indicati da H) ∇ψ = ∇⋅$ = 1 ∂ψ ∂ψ ∂ψ HR + Hφ + Hz ∂R R ∂φ ∂z 1 ∂ 1 ∂A φ ∂A z + (RA R ) + R ∂R R ∂φ ∂z 1 ∂A z ∂A φ ∂A z ∂A R 1 ∂ ∂A ∇×$ = − RA φ − Hφ + HR + R − Hz ∂z ∂z ∂R ∂φ R ∂R R ∂φ ( Identità - 3 ) ∇2 ψ = 1 ∂ ∂ψ 1 ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ + R + R ∂R ∂R R 2 ∂φ 2 ∂ z 2 A φ 2 ∂A R 2 2 ∂A φ A + ∇ − + 2 + H z∇2 A z ∇ 2 $ = H R ∇ 2 A R − R2 − 2 H A φ φ 2 R R ∂φ R R ∂φ COORDINATE SFERICHE (R, θ, φ) x = R sen θ cos φ y = R sen θ sen φ z = R cos θ dV = R 2 sen θdR dφdθ ($ è una funzione vettoriale, ψ è una funzione scalare) (I versori degli assi sono indicati da H) ∇ψ = ∇⋅$ = ∇×$ = + 1 ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ HR + Hθ + Hφ ∂R R ∂θ R sen θ ∂φ 1 ∂ 1 1 ∂A φ ∂ 2 + + R A A sen θ ( ) R θ R sen θ ∂θ R sen θ ∂φ R 2 ∂R ( ) ∂A θ ∂ 1 ∂ 1 1 ∂A R − sen θ A φ − RA φ H θ HR + ∂φ ∂R R sen θ ∂θ R sen θ ∂φ ( ) ( ) ∂A R 1 ∂ RA θ ) − ( Hφ ∂θ R ∂R ∇2ψ = 1 1 1 ∂ 2 ∂ψ ∂ ∂ψ ∂2 ψ + + R sen θ ∂R R 2 sen θ ∂θ ∂θ R 2 sen 2 θ ∂φ 2 R 2 ∂R ∂A φ 2 2 2 ∂ sen θ A θ ) − 2 ∇ 2 $ = H R ∇ 2 A R − 2 A R − 2 ( R R sen θ ∂θ R sen θ ∂φ A 2 ∂A R 2 cos θ ∂A φ + H θ ∇ 2 A θ − 2 θ 2 + 2 − 2 R sen θ R ∂θ R sen 2 θ ∂φ Aφ ∂A R 2 2 cos θ ∂A θ + H φ ∇ 2 A φ − 2 + 2 + 2 2 R sen θ R sen θ ∂φ R sen 2 θ ∂φ Identità - 4
