cap20

CAPITOLO
TRASFORMATA DI FOURIER
20
20.1 INTRODUZIONE
La serie di Fourier permette di rappresentare una funzione periodica come somma di
sinusoidi, e di ottenere lo spettro della funzione dalla serie. La trasformata di Fourier
consente di estendere il concetto di spettro alle funzioni non periodiche. La trasformata considera una funzione non periodica come se fosse periodica di periodo infinito.
La trasformata di Fourier è quindi una rappresentazione integrale di una funzione non
periodica analoga alla rappresentazione in serie di Fourier per una funzione periodica.
La trasformata di Fourier è una trasformazione integrale, come la trasformata di
Laplace, che trasforma una funzione nel dominio del tempo in una nel dominio delle
frequenze. La trasformata di Fourier si rivela di estrema utilità nei sistemi di telecomunicazione e nella elaborazione digitale dei segnali, in situazioni nelle quali la trasformata di Laplace non risulta applicabile. Mentre la trasformata di Laplace può trattare
soltanto circuiti i cui ingressi sono diversi da zero per t > 0, con eventuali condizioni
iniziali, la trasformata di Fourier consente l’analisi di circuiti con ingressi non nulli
per t < 0 oltre che per t > 0.
La serie di Fourier verrà utilizzata come punto di partenza nella definizione della
trasformata di Fourier. Vengono presentate poi alcune delle più importanti proprietà
della trasformata di Fourier. Si applica poi la trasformata alla analisi dei circuiti.
Infine, vengono trattati il teorema di Parseval e il confronto fra le trasformate di
Fourier e di Laplace, e si mostra come la trasformata di Fourier trova applicazione nella modulazione di ampiezza e nel campionamento.
20.2 DEFINIZIONE DI TRASFORMATA DI FOURIER
Nel capitolo precedente si è visto che una funzione periodica non sinusoidale può essere rappresentata mediante una serie di Fourier se soddisfa le condizioni di Dirichlet.
Ma cosa accade quando la funzione non è periodica? Esistono molte funzioni importanti per le applicazioni che non sono periodiche – per esempio il gradino unitario o la
funzione esponenziale – e che quindi non possono essere rappresentate come serie di
Fourier. Come si vedrà, la trasformata di Fourier consente la trasformazione di una
funzione dal dominio del tempo a quello delle frequenze anche se la funzione non è
periodica.
Si supponga di voler calcolare la trasformata di Fourier di una funzione non periodica pðtÞ, mostrata in Figura 20.1(a). Si considera allora una funzione periodica f ðtÞ la
cui forma su un periodo coincida con pðtÞ, come mostrato in Figura 20.1(b). Se si fa in
modo che il periodo T ! 1, rimane soltanto un singolo impulso rettangolare di lar-
Figura 20.1
(a) Funzione non periodica,
(b) facendo tendere T all’infinito,
f ðtÞ diventa la funzione non
periodica in (a).
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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
ghezza [la funzione non periodica desiderata di Figura 20.1(a)], in quanto gli impulsi
adiacenti si sono spostati verso l’infinito. La funzione f ðtÞ non è quindi più periodica.
In altre parole, f ðtÞ ¼ pðtÞ quando T ! 1. Si consideri ora lo spettro di f ðtÞ per
A ¼ 10 e ¼ 0:2 (si veda il Paragrafo 17.6). La Figura 20.2 mostra l’effetto sullo
spettro dell’aumento del periodo T . Si nota, innanzitutto, che la forma generale dello
spettro rimane la stessa, e la frequenza alla quale per la prima volta l’inviluppo si annulla resta la stessa. Al contrario, l’ampiezza dello spettro e la distanza tra le componenti adiacenti diminuiscono entrambe, mentre aumenta il numero di armoniche. Nel
complesso, in un dato intervallo di frequenze, la somma delle ampiezze delle armoniche rimane praticamente quasi costante. Poiché la ‘‘forza’’, o energia totale, delle
componenti all’interno di una banda di frequenza deve rimanere invariata, le ampiezze delle armoniche devono diminuire al crescere di T . Essendo poi f ¼ 1=T , all’aumentare di T , f (o !) diminuisce, e lo spettro discreto tende a diventare continuo.
Figura 20.2
Effetto dell’aumento di T sullo
spettro del treno di impulsi
periodico di Figura 20.1(b).
(Source: L. Balmer, Signals and
Systems: An Introduction
[London: Prentice-Hall, 1991],
p. 229.)
Per meglio comprendere il legame tra una funzione non periodica e la sua controparte
periodica, si consideri la forma esponenziale della serie di Fourier della (17.58),
f ðtÞ ¼
1
X
cn e jn!0 t
ð20:1Þ
n¼1
dove
1
cn ¼
T
Z
T =2
f ðtÞejn!0 t dt
ð20:2Þ
2
T
ð20:3Þ
T =2
La frequenza fondamentale è
!0 ¼
e la distanza fra armoniche adiacenti
! ¼ ðn þ 1Þ!0 n!0 ¼ !0 ¼
2
T
ð20:4Þ
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20.2 Definizione di trasformata di Fourier
Sostituendo la (20.2) nella (20.1) si ottiene
" Z
#
1
X
1 T=2
jn!0 t
f ðtÞe
dt e jn!0 t
f ðtÞ ¼
T
T=2
n¼1
"
#
Z
1
X
! T=2
¼
f ðtÞejn!0 t dt e jn!0 t
2 T=2
n¼1
"Z
#
1
T =2
1 X
¼
f ðtÞejn!0 t dt !e jn!0 t
2 n¼1 T=2
ð20:5Þ
Se si fa il limite per T ! 1, la sommatoria diventa una integrazione, la spaziatura incrementale ! diventa una distanza differenziale d!, e le frequenze armoniche discrete n!0 diventano una frequenza continua !:
Z 1
1
X
¼)
1
n¼1
e la (20.5) diventa
1
f ðtÞ ¼
2
!
¼)
d!
n!0
¼)
!
1 Z 1
Z
1
f ðtÞe
j!t
ð20:6Þ
dt e j!t d!
ð20:7Þ
1
Il termine tra parentesi quadre è detto trasformata di Fourier di f ðtÞ e si indica con
Fð!Þ1 .
Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ ¼
Z
1
f ðtÞej!t dt
ð20:8Þ
1
in cui F indica l’operatore di trasformazione secondo Fourier. Dalla (20.8) risulta evidente che:
La trasformata di Fourier è una trasformazione integrale di f(t) dal dominio del tempo
al dominio delle frequenze.
Fð!Þ è, in generale, una funzione complessa; il suo modulo è detto spettro di ampiezza, e la sua fase spettro di fase. Fð!Þ è complessivamente detta spettro.
La (20.7) può essere scritta in termini di Fð!Þ, ottenendo cosı̀ la antitrasformata di
Fourier.
Z 1
1
1
f ðtÞ ¼ F ½Fð!Þ ¼
Fð!Þe j!t d!
ð20:9Þ
2 1
La funzione f ðtÞ e la sua trasformata Fð!Þ risultano in corrispondenza:
f ðtÞ
()
Fð!Þ
ð20:10Þ
perché una di esse può essere ottenuta dall’altra. La trasformata di Fourier Fð!Þ esiste
quando l’integrale di Fourier nella (20.8) converge. Una condizione sufficiente ma
non necessaria perché f ðtÞ abbia una trasformata di Fourier è che essa sia completamente integrabile, nel senso che
Z 1
j f ðtÞj dt < 1
ð20:11Þ
1
1
Alcuni autori usano F( j!) invece di F(!) per rappresentare la trasformata di Fourier.
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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione rampa unitaria tuðtÞ non esiste,
perché la funzione non soddisfa alla condizione appena vista. Per evitare di manipolare quantità immaginarie, a volte risulta comodo sostituire temporaneamente j! con s,
e risostituire s con j! a calcolo ultimato.
Esempio 20.1
Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni: (a) ðt t0 Þ, (b) e j!0 t , (c) cos !0 t.
Soluzione: (a) Per la funzione impulso,
Fð!Þ ¼ F ½ðt t0 Þ ¼
Z
1
ðt t0 Þej!t dt ¼ ej!t0
ð20:1:1Þ
1
in cui è stata applicata la proprietà di selezione dell’impulso della (7.32). Per il caso particolare
t0 ¼ 0, si ottiene
F ½ðtÞ ¼ 1
ð20:1:2Þ
Questa equazione mostra che il modulo dello spettro della funzione impulso è costante, cioè che tutte le frequenze sono egualmente rappresentate nella funzione impulso.
(b) È possibile ricavare la trasformata di Fourier di e j!0 t in due modi. Se si pone
Fð!Þ ¼ ð! !0 Þ
allora si può calcolare f ðtÞ usando la (20.9), scrivendo
Z 1
1
ð! !0 Þe j!t d!
f ðtÞ ¼
2 1
Usando la proprietà di selezione della funzione impulso si ottiene
f ðtÞ ¼
1 j!0 t
e
2
Poiché Fð!Þ e f ðtÞ sono corrispondenti secondo la trasformata di Fourier, altrettanto deve valere per
2ð! !0 Þ e e j!0 t ,
F ½e j!0 t ¼ 2ð! !0 Þ
ð20:1:3Þ
In alternativa, dalla (20.1.2),
ðtÞ ¼ F 1 ½1
Con la formula della antitrasformata di Fourier (20.9),
ðtÞ ¼ F 1 ½1 ¼
1
2
Z
1
1e j!t d!
1
cioè
Z
1
e j!t d! ¼ 2ðtÞ
ð20:1:4Þ
e j!t dt ¼ 2ð!Þ
ð20:1:5Þ
1
Scambiando le variabili t e ! si ottiene
Z
1
1
Grazie a questo risultato, la trasformata di Fourier della funzione data è
Z 1
Z 1
e j!0 t ej!t dt ¼
e jð!0 !Þt dt ¼ 2ð!0 !Þ
F ½e j!0 t ¼
1
1
Poiché l’impulso è una funzione pari, con ð!0 !Þ ¼ ð! !0 Þ,
F ½e j!0 t ¼ 2ð! !0 Þ
ð20:1:6Þ
Cambiando semplicemente segno a !0 , si ottiene subito
F ½ej!0 t ¼ 2ð! þ !0 Þ
ð20:1:7Þ
F ½1 ¼ 2ð!Þ
ð20:1:8Þ
Inoltre, ponendo !0 ¼ 0,
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20.2 Definizione di trasformata di Fourier
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(c) Utilizzando il risultato delle (20.1.6) e (20.1.7),
F ½ cos !0 t ¼ F
¼
e j!0 t þ ej!0 t
2
1
1
F ½e j!0 t þ F ½ej!0 t 2
2
ð20:1:9Þ
¼ ð! !0 Þ þ ð! þ !0 Þ
La trasformata di Fourier di un segnale coseno è mostrata in Figura 20.3.
Figura 20.3
Trasformata di Fourier di
f ðtÞ ¼cos !0 t.
n Esercizio 20.1 Calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) impulso rettangolare gðtÞ ¼ uðt 1Þ uðt 2Þ, (b) 4ðt þ 2Þ, (c) sin !0 t.
Risposta (a) ðej! ej 2! Þ=j!; (b) 4e j 2! , (c) j½ð! þ !0 Þ ð! !0 Þ.
n
Esempio 20.2
Determinare la trasformata di Fourier di un impulso rettangolare singolo di larghezza e altezza A,
mostrato in Figura 20.4.
Soluzione:
Fð!Þ ¼
Z
=2
j!t
Ae
=2
¼ A
A j!t =2
2A e j!=2 ej!=2
dt ¼ ¼
e 2j
j!
!
=2
sin !=2
!
¼ A sinc
!=2
2
Se si pone A ¼ 10 e ¼ 2 come in Figura 17.27 (Paragrafo 17.6), allora
Figura 20.4
Fð!Þ ¼ 20 sinc !
il cui spettro di ampiezza è mostrato in Figura 20.5. Confrontando la Figura 20.5 con lo spettro degli
impulsi rettangolari in Figura 19.28, si nota che lo spettro di Figura 19.28 è discreto, e che il suo inviluppo ha la stessa forma della trasformata di Fourier dell’impulso rettangolare singolo.
Impulso rettangolare;
per l’Esempio 20.2.
Figura 20.5
Spettro di ampiezza dell’impulso
rettangolare in Figura 20.4;
per l’Esempio 20.2.
n Esercizio 20.2 Ottenere la trasformata di Fourier della funzione in Figura 20.6.
Figura 20.6
Per l’Esercizio 20.2.
Risposta
2ð cos ! 1Þ
.
j!
n
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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
Esempio 20.3
Calcolare la trasformata di Fourier della funzione esponenziale ‘‘attivata’’ mostrata in Figura 20.7.
Soluzione: Dalla Figura 20.7,
f ðtÞ ¼ eat uðtÞ ¼
Perciò,
Fð!Þ ¼
Z
1
f ðtÞej!t dt ¼
1
Z
1
eat ,
0,
t>0
t<0
eat ej!t dt ¼
Z
0
1
eðaþj!Þt dt
0
1 ðaþj!Þt 1
1
e
¼
¼ a þ j!
a þ j!
0
Figura 20.7
Per l’Esempio 20.3.
n Esercizio 20.3 Determinare la trasformata di Fourier della funzione esponenziale ‘‘disattivata’’ mostrata in Figura 20.8.
Risposta
1
.
a j!
n
20.3 PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER
Figura 20.8
Per l’Esercizio 20.3.
Vengono ora presentate alcune proprietà della trasformata di Fourier che si rivelano
utili nel calcolo delle trasformate di funzioni complicate a partire dalle trasformate di
funzioni elementari. Ciascuna proprietà verrà enunciata, dimostrata e poi illustrata con
esempi.
Linearità
Se F1 ð!Þ e F2 ð!Þ sono le trasformate di Fourier di f1 ðtÞ e f2 ðtÞ rispettivamente, allora
F ½a1 f1 ðtÞ þ a2 f2 ðtÞ ¼ a1 F1 ð!Þ þ a2 F2 ð!Þ
ð20:12Þ
dove a1 e a2 sono costanti. Questa proprietà afferma semplicemente che la trasformata
di Fourier di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare delle trasformate delle singole funzioni. La dimostrazione della proprietà di linearità (20.12) è
immediata. Per la definizione di trasformata di Fourier
Z 1
½a1 f1 ðtÞ þ a2 f2 ðtÞej!t dt
F ½a1 f1 ðtÞ þ a2 f2 ðtÞ ¼
¼
Z
1
1
j!t
a1 f1 ðtÞe
dt þ
1
Z
1
a2 f2 ðtÞej!t dt
ð20:13Þ
1
¼ a1 F1 ð!Þ þ a2 F2 ð!Þ
Per esempio, è noto dall’identità di Eulero che sin !0 t ¼ 2j1 ðe j!0 t ej!0 t Þ. Usando
la proprietà di linearità,
1
½F ðe j!0 t Þ F ðej!0 t Þ
F ½sin !0 t ¼
2j
ð20:14Þ
¼ ½ð! !0 Þ ð! þ !0 Þ
j
Scaling nel tempo
Se Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, allora
F ½ f ðatÞ ¼
1 !
F
jaj
a
ð20:15Þ
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20.3 Proprietà della trasformata di Fourier
7
dove a è una costante reale. La (20.15) mostra che l’espansione dell’asse dei tempi
(jaj > 1) corrisponde alla compressione dell’asse delle frequenze, oppure al contrario,
che la compressione dell’asse dei tempi (jaj < 1) implica una espansione dell’asse
delle frequenze. La dimostrazione della proprietà procede come di seguito indicato.
Z 1
f ðatÞej!t dt
ð20:16Þ
F ½ f ðatÞ ¼
1
Se si pone x ¼ at; cosı̀ che dx ¼ a dt, allora
Z 1
dx
1 !
f ðxÞej!x=a
¼ F
F ½ f ðatÞ ¼
a
a
a
1
Per esempio, per l’impulso rettangolare pðtÞ dell’Esempio 20.2,
!
F ½pðtÞ ¼ A sinc
2
Usando la (20.15),
A
!
sinc
F ½pð2tÞ ¼
2
4
ð20:17Þ
ð20:18aÞ
ð20:18bÞ
Può risultare utile tracciare il grafico di pðtÞ, di pð2tÞ e delle loro trasformate di
Fourier. Poichè
(
A, < t <
2
2
pðtÞ ¼
ð20:19aÞ
0, altrove
allora, sostituendo ogni occorrenza di t con 2t si ottiene
(
(
A, < 2t <
A, < t <
2
2 ¼
4
4
pð2tÞ ¼
0, altrove
0, altrove
ð20:19bÞ
che mostra come pð2tÞ risulti compressa nel tempo, come mostrato in Figura 20.9(b).
Per tracciare i grafici delle due trasformate di Fourier della (20.18), si ricordi che la
funzione sinc si annulla quando il suo argomento è uguale a n, con n intero. Perciò,
per la trasformata di pðtÞ nella (20.18a), !=2 ¼ 2f =2 ¼ n ! f ¼ n=, e per la
trasformata di pð2tÞ nella (20.18b), !=4 ¼ 2f =4 ¼ n ! f ¼ 2n=. I grafici delle
trasformate di Fourier sono mostrati in Figura 20.9, dalla quale si vede che la compressione nel tempo corrisponde a una espansione nella frequenza. Ci si poteva aspettare questo risultato intuitivamente, perché quando il segnale viene compresso nel
tempo, esso subisce variazioni più rapide, dando luogo alla comparsa di componenti a
frequenze più alte.
Figura 20.9
Effetto dello scaling nel tempo:
(a) trasformata dell’impulso,
(b) la compressione nel tempo
dell’impulso provoca
l’espansione nella frequenza.
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Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
Traslazione nel tempo
Se Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, allora
F ½ f ðt t0 Þ ¼ ej!t0 Fð!Þ
ð20:20Þ
cioè, un ritardo nel dominio del tempo corrisponde a una traslazione di fase nel dominio delle frequenze. Per dimostrare la proprietà di traslazione nel tempo, si nota che
Z 1
f ðt t0 Þej!t dt
ð20:21Þ
F ½ f ðt t0 Þ ¼
1
Ponendo x ¼ t t0 cosı̀ che dx ¼ dt e t ¼ x þ t0 , allora
Z 1
f ðxÞej!ðxþt0 Þ dx
F ½ f ðt t0 Þ ¼
1
¼e
j!t0
Z
ð20:22Þ
1
f ðxÞe
j!x
j!t0
dx ¼ e
Fð!Þ
1
In maniera simile, F ½f ðt þ t0 Þ ¼ e j!t0 Fð!Þ. Per esempio, dall’Esempio 20.3,
F ½eat uðtÞ ¼
1
a þ j!
ð20:23Þ
La trasformata di f ðtÞ ¼ eðt2Þ uðt 2Þ è
Fð!Þ ¼ F ½eðt2Þ uðt 2Þ ¼
ej 2!
1 þ j!
ð20:24Þ
Traslazione in frequenza (o modulazione di ampiezza)
Questa proprietà afferma che se Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, allora
F ½ f ðtÞe j!0 t ¼ Fð! !0 Þ
ð20:25Þ
cioè, una traslazione di frequenza nel dominio delle frequenze corrisponde alla aggiunta di uno sfasamento alla funzione del tempo. Infatti, per definizione,
Z 1
f ðtÞe j!0 t ej!t dt
F ½ f ðtÞe j!0 t ¼
¼
Z
1
ð20:26Þ
1
f ðtÞe
jð!!0 Þt
dt ¼ Fð! !0 Þ
1
Per esempio, cos !0 t ¼
1
2
ðe j!0 t þ ej!0 t Þ. Usando la proprietà della (20.25),
F ½ f ðtÞ cos !0 t ¼
1
1
F f ðtÞe j!0 t þ F f ðtÞej!0 t
2
2
1
1
¼ Fð! !0 Þ þ Fð! þ !0 Þ
2
2
ð20:27Þ
Figura 20.10
Spettri di ampiezza di:
(a) segnale f ðtÞ, (b) segnale
modulato f ðtÞ cos !0 t.
Quest’ultima equazione costituisce un importante risultato legato alla modulazione,
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20.3 Proprietà della trasformata di Fourier
nella quale le componenti di un segnale vengono traslate lungo l’asse delle frequenze.
Se, per esempio, lo spettro di ampiezza di f ðtÞ è quello mostrato in Figura 20.10(a), allora lo spettro di ampiezza di f ðtÞ cos !0 t sarà quello mostrato in Figura 20.10(b).
Della modulazione di ampiezza si parlerà in modo più approfondito nel Paragrafo
20.7.1.
Derivazione rispetto al tempo
Data Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ,
F ½ f 0 ðtÞ ¼ j!Fð!Þ
ð20:28Þ
In altre parole, la trasformata della derivata di f ðtÞ si ottiene moltiplicando la trasformata di f ðtÞ per j!. Infatti, per definizione,
Z 1
1
1
Fð!Þe j!t d!
ð20:29Þ
f ðtÞ ¼ F ½Fð!Þ ¼
2 1
Derivando ambo i membri rispetto al tempo t, si ottiene
Z
j! 1
0
Fð!Þe j!t d! ¼ j!F 1 ½Fð!Þ
f ðtÞ ¼
2 1
cioè
F ½ f 0 ðtÞ ¼ j!Fð!Þ
ð20:30Þ
Applicando ripetutamente la (20.30) si ha
F ½ f ðnÞ ðtÞ ¼ ð j!Þn Fð!Þ
ð20:31Þ
Per esempio, se f ðtÞ ¼ eat , allora
f 0 ðtÞ ¼ aeat ¼ af ðtÞ
ð20:32Þ
Trasformando secondo Fourier il primo e l’ultimo membro, si ottiene
j!Fð!Þ ¼ aFð!Þ
¼)
Fð!Þ ¼
1
a þ j!
ð20:33Þ
che è in accordo con il risultato dell’Esempio 20.3.
Integrazione nel tempo
Data Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ,
F
Z
t
f ðtÞ dt ¼
1
Fð!Þ
þ Fð0Þð!Þ
j!
ð20:34Þ
cioè, la trasformata dell’integrale di f ðtÞ si ottiene dividendo la trasformata di f ðtÞ per
j! e sommando il risultato a un termine impulsivo che rappresenta la componente costante Fð0Þ. Ci si potrebbe domandare il perché della integrazione sull’intervallo
½1, t invece che sull’intervallo ½1, 1. Se si eseguisse l’integrale su ½1, 1, il
risultato non dipenderebbe più dal tempo, e si otterrebbe quindi la trasformata di
Fourier di una costante. Quando invece si integra su ½1, t, si ottiene l’integrale della funzione dal lontano passato fino all’istante t: il risultato dipende allora da t e se ne
può calcolare la trasformata di Fourier.
Se ! viene sostituito con 0 nella (20.8),
Z 1
f ðtÞ dt
ð20:35Þ
Fð0Þ ¼
1
indicando che la componente continua è nulla quando l’integrale di f ðtÞ su tutto l’asse
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10
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
dei tempi è nullo. La dimostrazione della formula di integrazione nel tempo della
(20.34) verrà fornita più avanti, quando si parlerà della proprietà di convoluzione.
Per esempio, è noto che F ½ðtÞ ¼ 1 e che l’integrazione della funzione impulso fornisce la funzione gradino unitario [si veda la (7.39)]. Applicando la proprietà della
(20.34), si ottiene la trasformata della funzione gradino unitario come
Z t
1
ðtÞ dt ¼
þ ð!Þ
ð20:36Þ
F ½uðtÞ ¼ F
j!
1
Inversione
Se Fð!Þ ¼ F ½ f ðtÞ, allora
F ½ f ðtÞ ¼ Fð!Þ ¼ F ð!Þ
ð20:37Þ
dove l’asterisco denota il complesso coniugato. Questa proprietà afferma che l’inversione di f ðtÞ rispetto all’asse dei tempi inverte anche Fð!Þ rispetto all’asse delle frequenze. Può anche essere considerata come un caso particolare dello scaling nel tempo in cui a ¼ 1 nella (20.15).
Per esempio, 1 ¼ uðtÞ þ uð1Þ. Di conseguenza,
F ½1 ¼ F ½uðtÞ þ F ½uðtÞ
1
þ ð!Þ
¼
j!
1
þ ð!Þ
j!
¼ 2 ð!Þ
Dualità
Questa proprietà afferma che se Fð!Þ è la trasformata di Fourier di f ðtÞ, allora la trasformata di Fourier di FðtÞ è 2f ð!Þ; in formule
F ½ f ðtÞ ¼ Fð!Þ
¼)
F ½FðtÞ ¼ 2f ð!Þ
ð20:38Þ
Si tratta della proprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Per dimostrare questa proprietà, si ricordi che
Z 1
1
Fð!Þe j!t d!
f ðtÞ ¼ F 1 ½Fð!Þ ¼
2 1
da cui
2f ðtÞ ¼
Z
1
Fð!Þe j!t d!
ð20:39Þ
1
Sostituendo t con t si ottiene
2f ðtÞ ¼
Z
1
Fð!Þej!t d!
1
Scambiando fra loro t e !,
2f ð!Þ ¼
Z
1
FðtÞej!t dt ¼ F ½FðtÞ
ð20:40Þ
1
come ci si attendeva. Per esempio, se f ðtÞ ¼ ejtj , allora2
Fð!Þ ¼
2
!2 þ 1
ð20:41Þ
2
Poiché f ðtÞ è la somma dei segnali nelle Figure 20.7 e 20.8, Fð!) è la somma dei risultati
dell’Esempio 20.3 e dell’Esercizio 20.3.
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20.3 Proprietà della trasformata di Fourier
11
Per la proprietà di dualità, la trasformata di Fourier di FðtÞ ¼ 2=ðt 2 þ 1Þ è
2f ð!Þ ¼ 2ej!j
ð20:42Þ
La Figura 20.11 mostra un altro esempio di applicazione della proprietà di dualità.
Essa illustra il fatto che se f ðtÞ ¼ ðtÞ cosı̀ che Fð!Þ ¼ 1, come in Figura 20.11(a), allora la trasformata di Fourier di FðtÞ ¼ 1 è 2f ð!Þ ¼ 2ð!Þ come mostrato in
Figura 20.11(b).
F
Figura 18.11
Illustrazione della proprietà di
dualità della trasformata di
Fourier: (a) trasformata
dell’impulso, (b) trasformata di
una funzione costante unitaria.
Convoluzione
Si ricordi dal Capitolo 16 che se xðtÞ è l’eccitazione di ingresso di un circuito con risposta all’impulso hðtÞ, allora la risposta di uscita yðtÞ è data dall’integrale di convoluzione
Z 1
hðÞxðt Þ d
ð20:43Þ
yðtÞ ¼ hðtÞ xðtÞ ¼
1
Se X ð!Þ, Hð!Þ e Y ð!Þ sono le trasformate di Fourier di xðtÞ, hðtÞ e yðtÞ, rispettivamente, allora
Y ð!Þ ¼ F ½hðtÞ xðtÞ ¼ Hð!ÞX ð!Þ
ð20:44Þ
e quindi la convoluzione nel dominio del tempo corrisponde al prodotto nel dominio
delle frequenze.
Per dimostrare la proprietà di convoluzione, si trasformano secondo Fourier entrambi i membri della (20.43), ottenendo
Z 1 Z 1
hðÞxðt Þ d ej!t dt
ð20:45Þ
Y ð!Þ ¼
1
1
Scambiando l’ordine di integrazione e raccogliendo hðÞ, che non dipende da t, si ha
Z 1
Z 1
j!t
Y ð!Þ ¼
hðÞ
xðt Þe
dt d
1
1
Per l’integrale tra parentesi quadre, sia ¼ t cosı̀ che t ¼ þ e dt ¼ d:
Allora,
Z 1
Z 1
j!ðþÞ
Y ð!Þ ¼
hðÞ
xðÞe
d d
1
¼
Z
1
1
j!
hðÞe
1
Z
1
d
ð20:46Þ
j!
xðÞe
d ¼ Hð!ÞX ð!Þ
1
come ci si attendeva. Questo risultato rappresenta una estensione del metodo dei fasori oltre quanto era stato fatto con la serie di Fourier nel capitolo precedente 3 .
3
L’importante relazione (18.46) rappresenta la ragione principale per l’utilizzo della trasformata di
Fourier nella analisi dei sistemi lineari.
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12
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
Figura 20.12
Illustrazione grafica della
proprietà di convoluzione.
(Source: E.O. Brigham, The Fast
Fourier Transform [Englewood
Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1974],
p. 60.)
Per illustrare la proprietà di convoluzione, si supponga che hðtÞ e xðtÞ siano impulsi
rettangolari identici, come mostrato in Figura 20.12(a) e 20.12(b). Si ricordi
dall’Esempio 20.2 e dalla Figura 20.5 che le trasformate di Fourier degli impulsi rettangolari sono funzioni sinc, come mostrano le Figure 20.12(c) e 20.12(d). Secondo la
proprietà di convoluzione, il prodotto delle due funzioni sinc dovrebbe dare per risultato la trasformata della convoluzione degli impulsi rettangolari nel dominio del tempo. Perciò, la convoluzione degli impulsi di Figura 20.12(e) e il prodotto delle funzioni sinc in Figura 20.12(f) si corrispondono secondo la trasformata di Fourier.
Per la proprietà di dualità, ci si aspetta che se la convoluzione nel dominio del tempo corrisponde alla moltiplicazione nel dominio delle frequenze, allora la moltiplicazione nel dominio del tempo dovrebbe avere un corrispondente nel dominio delle frequenze, ed è proprio ciò che accade. Se f ðtÞ ¼ f1 ðtÞf2 ðtÞ, allora
Fð!Þ ¼ F ½ f1 ðtÞf2 ðtÞ ¼
cioè
Fð!Þ ¼
1
2
Z
1
F1 ð!Þ F2 ð!Þ
2
ð20:47Þ
1
F1 ðÞF2 ð! Þ d
ð20:48Þ
1
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20.3 Proprietà della trasformata di Fourier
13
che è la convoluzione nel dominio delle frequenze. La dimostrazione della (20.48) segue immediatamente dalla proprietà di dualità (20.38).
Si vuole ora dimostrare la proprietà di integrazione nel tempo della (20.34). Se si
sostituisce xðtÞ con la funzione gradino unitario uðtÞ e hðtÞ con f ðtÞ nella (20.43),
Z 1
f ðÞuðt Þ d ¼ f ðtÞ uðtÞ
ð20:49Þ
1
Ma, per definizione di funzione gradino unitario
1, t > 0
uðt Þ ¼
0, t < 0
Questa può essere scritta come
uðt Þ ¼
1,
0,
<t
>t
Sostituendola nella (20.49) si ha che l’intervallo di integrazione cambia da ½1, 1 a
½1, t, e la (20.49) diventa
Z t
f ðÞ d ¼ uðtÞ f ðtÞ
1
Trasformando entrambi i membri secondo Fourier
Z t
f ðÞ d ¼ Uð!ÞFð!Þ
F
ð20:50Þ
1
Ma, dalla (20.36), la trasformata di Fourier della funzione gradino unitario è
U ð!Þ ¼
1
þ ð!Þ
j!
Sostituendo nella (20.50) si ha
Z t
1
f ðÞ d ¼
F
þ ð!Þ Fð!Þ
j!
1
Fð!Þ
þ Fð0Þð!Þ
¼
j!
ð20:51Þ
che è la proprietà di integrazione nel tempo della (20.34). Si noti che, nella (20.51),
Fð!Þð!Þ ¼ Fð0Þð!Þ, perché ð!Þ è diversa da zero soltanto in ! ¼ 0.
La Tabella 20.1 elenca le proprietà della trasformata di Fourier appena viste. La
Tabella 20.2 presenta invece le trasformate di alcune funzioni di uso comune. Si osservino le somiglianze tra queste tabelle e le Tabelle 17.1 e 17.2.
Esempio 20.4
Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) funzione segno sgnðtÞ, mostrata in
Figura 20.13, (b) esponenziale bilaterale eajtj e (c) funzione sinc: ð sin tÞ=t.
Figura 20.13
La funzione segno per
l’Esempio 20.4.
Soluzione: (a) È possibile ottenere la trasformata di Fourier della funzione segno in tre modi.
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14
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
Proprietà della trasformata di Fourier.
Tabella 20.2
Proprietà
Tabella 20.1
fðtÞ
Fð!Þ
fðtÞ
Fð!Þ
Linearità
a1 f1 ðtÞ þ a2 f2 ðtÞ
Scaling
fðatÞ
a1 F1 ð!Þ þ a2 F2 ð!Þ
1 !
F
jaj a
ðtÞ
1
1
2ð!Þ
uðtÞ
ð!Þ þ
2
j!a
Trasformate di Fourier notevoli.
Traslazione nel tempo
fðt aÞuðt aÞ
e
Traslazione nella frequenza
e j!0 t fðtÞ
Fð! !0 Þ
uðt þ Þ uðt Þ
Modulazione
cos ð!0 tÞfðtÞ
jtj
Derivazione nel tempo
df
dt
1
½Fð! þ !0 Þ þ Fð! !0 Þ
2
j!Fð!Þ
dn f
dtn
Z t
fðtÞ dt
Integrazione nel tempo
1
Derivazione nella frequenza
Inversione
Fð!Þ
ðj!Þn Fð!Þ
eat uðtÞ
Fð!Þ
þ Fð0Þ ð!Þ
j!
eat uðtÞ
dn
Fð!Þ
d!n
tn eat uðtÞ
ð jÞn
tn fðtÞ
fðtÞ
sgnðtÞ
oppure F ð!Þ
Fð!Þ
Dualità
FðtÞ
2fð!Þ
Convoluzione in t
f1 ðtÞ f2 ðtÞ
F1 ð!ÞF2 ð!Þ
Convoluzione in !
f1 ðtÞf2 ðtÞ
1
F1 ð!Þ F2 ð!Þ
2
1
j!
sin !
!
2
!2
2
j!
1
a þ j!
1
a j!
n!
ða þ j!Þnþ1
2a
a2 þ !2
eajtj
e j!0 t
2ð! !0 Þ
sin !0 t
j½ð! þ !0 Þ ð! !0 Þ
cos !0 t
½ð! þ !0 Þ þ ð! !0 Þ
!0
eat sin !0 tuðtÞ
eat cos !0 tuðtÞ
ða þ j!Þ2 þ !20
a þ j!
ða þ j!Þ2 þ !20
METODO 1
Si può scrivere la funzione segno in termini di funzioni gradino unitario come
sgnðtÞ ¼ f ðtÞ ¼ uðtÞ uðtÞ
Ma, dalla (20.36),
U ð!Þ ¼ F ½uðtÞ ¼ ð!Þ þ
1
j!
Applicando questa proprietà e quella di inversione, si ottiene
F ½sgnðtÞ ¼ U ð!Þ U ð!Þ
1
1
2
ð!Þ þ
¼
¼ ð!Þ þ
j!
j!
j!
METODO 2
Essendo ð!Þ ¼ ð!Þ, si ha il secondo metodo. Un altro modo di scrivere la funzione segno in termini di gradino unitario è
f ðtÞ ¼ sgnðtÞ ¼ 1 þ 2uðtÞ
Trasformando secondo Fourier ciascun termine, si ottiene
1
2
¼
Fð!Þ ¼ 2ð!Þ þ 2 ð!Þ þ
j!
j!
METODO 3
È possibile derivare la funzione segno nella Figura 20.13 ottenendo
f 0 ðtÞ ¼ 2ðtÞ
Trasformando questa espressione,
j!Fð!Þ ¼ 2
¼)
Fð!Þ ¼
2
j!
come si era ottenuto in precedenza.
(b) L’esponenziale bilaterale può essere espresso come
f ðtÞ ¼ eajtj ¼ eat uðtÞ þ eat uðtÞ ¼ yðtÞ þ yðtÞ
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20.3 Proprietà della trasformata di Fourier
15
dove yðtÞ ¼ eat uðtÞ cosı̀ che Y ð!Þ ¼ 1=ða þ j!Þ. Applicando la proprietà di inversione,
1
1
2a
F ½eajtj ¼ Y ð!Þ þ Y ð!Þ ¼
þ
¼ 2
a þ j!
a j!
a þ !2
(c) Dall’Esempio 20.2,
h i
sin ð!=2Þ
!
u t
¼
¼ sinc
F u tþ
2
2
!=2
2
Ponendo =2 ¼ 1 si ha
F ½uðt þ 1Þ uðt 1Þ ¼ 2
sin !
!
Applicando la proprietà di dualità,
sin t
F 2
¼ 2½U ð! þ 1Þ U ð! 1Þ
t
cioè
sin t
F
¼ ½U ð! þ 1Þ U ð! 1Þ
t
n Esercizio 20.4 Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) funzione
impulso rettangolare gðtÞ ¼ uðtÞ uðt 1Þ, (b) fðtÞ ¼ te2t uðtÞ e (c) impulso a dente di sega
fðtÞ ¼ 10t½uðtÞ uðt 2Þ.
1
1
j!
Risposta (a) ð1 e Þ ð!Þ þ , (b)
,
j!
ð2 þ j!Þ2
(c)
10ðej 2! 1Þ
20j j 2!
þ
.
e
!2
!
n
Esempio 20.5
Determinare la trasformata di Fourier della funzione in Figura 20.14.
Soluzione: La trasformata di Fourier potrebbe essere ricavata direttamente usando la (20.8), ma è
molto più semplice determinarla applicando la proprietà di derivazione. È possibile esprimere la funzione data come
1 þ t, 1 < t < 0
f ðtÞ ¼
1 t,
0<t<1
Figura 20.14
Per l’Esempio 20.5.
La sua derivata prima è mostrata in Figura 20.15(a), ed è data da
1, 1 < t < 0
0
f ðtÞ ¼
1,
0<t<1
Figura 20.15
Derivata prima e seconda di f ðtÞ
in Figura 20.14; per l’Esempio
20.5.
La sua derivata seconda si trova in Figura 20.15(b) ed è data da
f 00 ðtÞ ¼ ðt þ 1Þ 2ðtÞ þ ðt 1Þ
Trasformando secondo Fourier entrambi i membri,
ðj!Þ2 Fð!Þ ¼ e j! 2 þ ej! ¼ 2 þ 2 cos !
cioè
Fð!Þ ¼
2ð1 cos !Þ
!2
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16
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
n Esercizio 20.5 Determinare la trasformata di Fourier della funzione in Figura 20.16.
Figura 20.16
Per l’Esercizio 20.5.
Risposta ð8 cos 3! 4 cos 4! 4 cos 2!Þ=!2 .
n
Esempio 20.6
Ricavare l’antitrasformata di Fourier di:
(a) Fð!Þ ¼
10j! þ 4
2
ðj!Þ þ 6j! þ 8
!2 þ 21
!2 þ 9
(b) Gð!Þ ¼
Soluzione: (a) Per evitare di trattare quantità complesse, si può temporaneamente sostituire j!
con s. Usando l’espansione in frazioni parziali,
FðsÞ ¼
dove
10s þ 4
10s þ 4
A
B
¼
¼
þ
s2 þ 6s þ 8
ðs þ 4Þðs þ 2Þ
sþ4
sþ2
10s þ 4 36
¼
A ¼ ðs þ 4ÞFðsÞs¼4 ¼
¼ 18
ðs þ 2Þ s¼4
2
10s þ 4 16
¼
B ¼ ðs þ 2ÞFðsÞ s¼2 ¼
¼ 8
ðs þ 4Þ s¼2
2
Sostituendo A ¼ 18 e B ¼ 8 in FðsÞ, e sostituendo s con j! si ottiene
Fðj!Þ ¼
18
8
þ
j! þ 4
j! þ 2
Con l’aiuto della Tabella 20.2, l’antitrasformata viene ottenuta come
f ðtÞ ¼ ð18e4t 8e2t ÞuðtÞ
(b) Si semplifica Gð!Þ come
Gð!Þ ¼
!2 þ 21
12
¼1þ 2
!2 þ 9
! þ9
Con l’ausilio della Tabella 20.2, l’antitrasformata è
gðtÞ ¼ ðtÞ þ 2e3jtj
n Esercizio 20.6 Calcolare l’antitrasformata di Fourier di:
(a) Hð!Þ ¼
6ð3 þ j 2!Þ
ð1 þ j!Þð4 þ j!Þð2 þ j!Þ
(b) Y ð!Þ ¼ ð!Þ þ
1
2ð1 þ j!Þ
þ
j!
ð1 þ j!Þ2 þ 16
Risposta: (a) hðtÞ ¼ ð2et þ 3e2t 5e4t ÞuðtÞ, (b) yðtÞ ¼ ð1 þ 2et cos 4tÞuðtÞ.
n
20.4 APPLICAZIONE AI CIRCUITI
La trasformata di Fourier permette di generalizzare il metodo dei fasori al caso delle
funzioni non periodiche. Si possono applicare quindi le trasformate di Fourier ai circuiti contenenti eccitazioni non sinusoidali, nello stesso modo in cui si applicano i fasori ai
circuiti con eccitazioni sinusoidali. La legge di Ohm rimane valida nella forma:
V ð!Þ ¼ Zð!ÞI ð!Þ
ð20:52Þ
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20.4 Applicazione ai circuiti
17
dove V ð!Þ e I ð!Þ sono le trasformate di Fourier della tensione e della corrente, e
Zð!Þ è l’impedenza. Le impedenze di resistori, induttori e condensatori hanno espressioni identiche a quelle della analisi fasoriale, cioè
¼)
¼)
R
L
R
j!L
1
j!C
¼)
C
ð20:53Þ
Dopo aver trasformato le relazioni costitutive degli elementi al dominio delle frequenze e avere ottenuto le trasformate di Fourier delle eccitazioni, si può fare uso delle tradizionali tecniche circuitali, quali il partitore di tensione, la trasformazione dei generatori, l’analisi agli anelli, l’analisi nodale o il teorema di Thevenin per calcolare la risposta incognita (tensione o corrente). Si calcola infine l’antitrasformata di Fourier per
ritrovare l’espressione della risposta nel dominio del tempo.
Nonostante l’applicazione del metodo della trasformata di Fourier produca una risposta che è definita per 1 < t < 1, l’analisi di Fourier non è in grado di trattare
circuiti contenenti condizioni iniziali.
Anche per la trasformata di Fourier, la funzione di trasferimento è definita come il
rapporto tra la risposta in uscita Y ð!Þ e l’eccitazione in ingresso X ð!Þ, cioè
Y ð!Þ
X ð!Þ
Hð!Þ ¼
ð20:54Þ
o anche
Y ð!Þ ¼ Hð!ÞX ð!Þ
ð20:55Þ
La relazione ingresso-uscita nel dominio delle frequenze è illustrata schematicamente
in Figura 20.18. La (20.55) afferma che se sono note la funzione di trasferimento e
l’ingresso, risulta immediato calcolare l’uscita. La relazione (20.54) costituisce la ragione principale dell’impiego della trasformata di Fourier nella analisi dei circuiti. Si
noti che Hð!Þ è identica a HðsÞ con s ¼ j!. Inoltre, se l’ingresso è costituito da una
funzione impulso unitario [cioè xðtÞ ¼ ðtÞ], allora X ð!Þ ¼ 1, e la risposta diventa
Y ð!Þ ¼ Hð!Þ ¼ F ½hðtÞ
ð20:56Þ
che mostra come Hð!Þ coincida con la trasformata di Fourier della risposta all’impulso hðtÞ.
Figura 20.17
Relazione ingresso-uscita di un
circuito nel dominio delle
frequenze.
Esempio 20.7
Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 20.18 se vi ðtÞ ¼ 2e3t uðtÞ.
Soluzione: La trasformata di Fourier della tensione di ingresso è
Vi ð!Þ ¼
2
3 þ j!
e la funzione di trasferimento, ottenuta mediante il partitore di tensione, è
Hð!Þ ¼
Vo ð!Þ
1=j!
1
¼
¼
Vi ð!Þ
2 þ 1=j!
1 þ j 2!
Perciò,
Vo ð!Þ ¼ Vi ð!ÞHð!Þ ¼
cioè
2
ð3 þ j!Þð1 þ j 2!Þ
Vo ð!Þ ¼
1
ð3 þ j!Þð0:5 þ j!Þ
Vo ð!Þ ¼
0:4
0:4
þ
3 þ j!
0:5 þ j!
Espandendo in frazioni parziali,
Figura 20.18
Per l’Esempio 20.7.
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18
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
Antitrasformando secondo Fourier si ottiene
vo ðtÞ ¼ 0:4ðe0:5t e3t ÞuðtÞ
n Esercizio 20.7 Determinare vo ðtÞ in Figura 20.19 se vi ðtÞ ¼ 2 sgnðtÞ ¼ 2 þ 4uðtÞ:
Figura 20.19
Per l’Esercizio 20.7.
Risposta 2 þ 4ð1 e4t ÞuðtÞ.
n
Esempio 20.8
Calcolare io ðtÞ in Figura 20.20 usando il metodo della trasformata di Fourier quando is ðtÞ ¼
¼ 10 sin 2t A.
Figura 20.20
Per l’Esempio 20.8.
Soluzione: Per il partitore di corrente,
Hð!Þ ¼
Io ð!Þ
2
j!
¼
¼
Is ð!Þ
2 þ 4 þ 2=j!
1 þ j!3
Se is ðtÞ ¼ 10 sin 2t, allora
Is ð!Þ ¼ j10½ð! þ 2Þ ð! 2Þ
Quindi,
10!½ð! 2Þ ð! þ 2Þ
1 þ j!3
L’antitrasformata di Fourier di Io ð!Þ non può essere determinata con la Tabella 20.2. Si ricorre allora alla espressione dell’antitrasformata di Fourier della (20.9), scrivendo
Z 1
1
10!½ð! 2Þ ð! þ 2Þ j!t
e d!
io ðtÞ ¼ F 1 ½Io ð!Þ ¼
2 1
1 þ j!3
Io ð!Þ ¼ Hð!ÞIs ð!Þ ¼
Applicando la proprietà di selezione dell’impulso,
Z 1
ð! !0 Þf ð!Þ d! ¼ f ð!0 Þ
1
si ottiene
10
2
2 j 2t
e j 2t e
2 1 þ j 6
1 j6
j 2t
e
ej 2t
¼ 10
þ
6:082e j 80:54
6:082ej 80:54
io ðtÞ ¼
¼ 1:644½e jð2t80:54 Þ þ ejð2t80:54 Þ ¼ 3:288 cos ð2t 80:54 Þ A
n Esercizio 20.8 Determinare la corrente io ðtÞ nel circuito in Figura 20.21, nota is ðtÞ ¼
¼ 20 cos 4t A.
Figura 20.21
Per l’Esercizio 20.8.
Risposta: 11:8 cos ð4t þ 26:57 Þ A.
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n
20.5 Teorema di Parseval
20.5 TEOREMA DI PARSEVAL
Il teorema di Parseval mostra un possibile impiego pratico della trasformata di
Fourier. Esso mette in relazione l’energia contenuta in un segnale con la trasformata
di Fourier del segnale stesso. Se pðtÞ è la potenza associata al segnale, l’energia trasportata dal segnale è
Z 1
W ¼
ð20:57Þ
pðtÞ dt
1
Per poter confrontare il contenuto di energia di segnali di corrente e di tensione, è conveniente utilizzare un resistore da 1 come base per il calcolo delle energie. Per un
resistore da 1 , pðtÞ ¼ v2 ðtÞ ¼ i2 ðtÞ ¼ f 2 ðtÞ, dove f ðtÞ rappresenta la tensione o la
corrente. L’energia fornita al resistore da 1 è
Z 1
f 2 ðtÞ dt
ð20:58Þ
W1 ¼
1
Il teorema di Parseval afferma che questa stessa energia può essere calcolata nel dominio delle frequenze come
Z 1
Z 1
1
2
f ðtÞ dt ¼
jFð!Þj2 d!
ð20:59Þ
W1 ¼
2
1
1
Il teorema di Parseval afferma che l’energia totale fornita a un resistore da 1 è pari all’area totale
sottesa dal quadrato di f ðtÞ oppure a 1/2 per l’area totale sottesa dal quadrato del modulo
della trasformata di Fourier di f ðtÞ.
Il teorema di Parseval stabilisce una relazione tra l’energia associata a un segnale e la
trasformata di Fourier del segnale stesso. In questo senso, esso fornisce anche un significato fisico per Fð!Þ, e precisamente che jFð!Þj2 è una misura della densità di
energia (in joule per hertz) corrispondente a f ðtÞ4 . Per dimostrare la (20.59), si parte
dalla (20.58) e si sostituisce l’espressione (20.9) al posto di uno dei fattori f ðtÞ. Si ottiene
Z 1
Z 1
Z 1
1
W1 ¼
f 2 ðtÞ dt ¼
f ðtÞ
Fð!Þe j!t d! dt
ð20:60Þ
2 1
1
1
La funzione f ðtÞ può essere spostata all’interno dell’integrale tra parentesi quadre, perché l’integrale non è eseguito nel tempo:
Z 1Z 1
1
f ðtÞFð!Þe j!t d! dt
ð20:61Þ
W1 ¼
2 1 1
Invertendo l’ordine di integrazione,
Z 1
Z 1
1
jð!Þt
W1 ¼
Fð!Þ
f ðtÞe
dt d!
2 1
1
Z 1
Z 1
1
1
Fð!ÞFð!Þ d! ¼
Fð!ÞF ð!Þ d!
¼
2 1
2 1
ð20:62Þ
Ma se z ¼ x þ jy, zz ¼ ðx þ jyÞðx jyÞ ¼ x2 þ y2 ¼ jzj2 . Ne segue,
W1 ¼
Z
1
f 2 ðtÞ dt ¼
1
4
1
2
Z
1
jFð!Þj2 d!
ð20:63Þ
1
Infatti, jFð!Þj2 viene anche detta densità spettrale di energia del segnale f ðtÞ.
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19
20
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
come ci si attendeva. La (20.63) indica che l’energia presente in un segnale può essere
ottenuta sia integrando il quadrato di f ðtÞ nel dominio del tempo, sia integrando 1=2
per il quadrato del modulo di Fð!Þ nel dominio delle frequenze. Essendo jFð!Þj2 una
funzione pari, si può eseguire l’integrale tra 0 e 1 e raddoppiare il risultato, cioè,
Z 1
Z
1 1
f 2 ðtÞ dt ¼
jFð!Þj2 d!
ð20:64Þ
W1 ¼
1
0
È anche possibile calcolare l’energia in una qualunque banda di frequenza
!1 < ! < !2 come
Z
1 !2
jFð!Þj2 d!
ð20:65Þ
W1 ¼
!1
Si noti che il teorema di Parseval, nella formulazione qui adottata, è valido per funzioni non periodiche. Il teorema di Parseval per funzioni periodiche è stato presentato nei
Paragrafi 19.5 e 19.6. Come è evidente dalla (20.63), il teorema di Parseval mostra l’energia del segnale distribuita su tutto lo spettro delle frequenze, mentre l’energia di un
segnale periodico è in realtà concentrata nelle frequenze corrispondenti alle sue componenti armoniche.
Esempio 20.9
La corrente in un resistore da 10 è iðtÞ ¼ 5e3t uðtÞ A. Calcolare l’energia totale dissipata nel resistore.
Soluzione: È possibile calcolare l’energia usando sia f ðtÞ ¼ iðtÞ che Fð!Þ ¼ I ð!Þ.
METODO 1
Nel dominio del tempo,
W10 ¼ 10
Z
1
f 2 ðtÞ dt ¼ 10
1
¼ 250
Z
1
25e6t dt
0
1
e6t 250
¼
¼ 41:67 J
6 0
6
METODO 2
Nel dominio della frequenza,
Fð!Þ ¼ I ð!Þ ¼
5
3 þ j!
cosı̀ che
jFð!Þj2 ¼ Fð!ÞF ð!Þ ¼
25
9 þ !2
L’energia dissipata è allora
W10 ¼
¼
10
2
Z
250
1
jFð!Þj2 d! ¼
1
10
Z
0
1
25
d!
9 þ !2
1
! 1 250 1 250
¼
¼
tan1
¼ 41:67 J
3
3 0
3
2
6
n Esercizio 20.9 (a) Calcolare l’energia totale assorbita da un resistore da 1 con
iðtÞ ¼ 10e2jtj A nel dominio del tempo. (b) Ripetere (a) nel dominio della frequenza.
Risposta (a) 50 J, (b) 50 J.
n
Esempio 20.10
Calcolare la frazione dell’energia totale dissipata da un resistore da 1 nella banda di frequenza
0 < ! < 10 rad/s quando la sua tensione è vðtÞ ¼ e2t uðtÞ.
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20.6 Confronto fra le trasformate di Fourier e di Laplace
Soluzione: Data f ðtÞ ¼ vðtÞ ¼ e2t uðtÞ,
Fð!Þ ¼
1
2 þ j!
¼)
jFð!Þj2 ¼
1
4 þ !2
L’energia totale dissipata dal resistore è
Z
Z
1 1
1 1 d!
W1 ¼
jFð!Þj2 d! ¼
0
0 4 þ !2
1
¼
1 1
1 1 1 ! ¼
tan
¼ 0:25 J
2
2 0
2 2
L’energia nell’intervallo di frequenze 0 < ! < 10 è
1
Z
10
jFð!Þj2 d! ¼
1
Z
10
d!
1
¼
4 þ !2
0
0
1
1
78:69
¼ 0:218 J
¼
tan1 5 ¼
180
2
2
W ¼
1
! 10
tan1 2
2 0
La percentuale di quest’ultima rispetto all’energia totale è allora
W
0:218
¼
¼ 87:4 %
W1
0:25
n Esercizio 20.10 Un resistore da 2 ha iðtÞ ¼ et uðtÞ. Quale percentuale dell’energia totale
dissipata cade nella banda di frequenza 4 < ! < 4 rad/s?
Risposta 84.4 percento.
n
20.6 CONFRONTO FRA LE TRASFORMATE DI FOURIER
E DI LAPLACE
Giunti a questo punto della trattazione, è opportuno spendere qualche parola per sottolineare somiglianze e differenze fra le trasformate di Laplace e di Fourier. In particolare, si può notare che:
1. La trasformata di Laplace definita nel Capitolo 17 è unilaterale, nel senso che
l’integrale viene eseguito sull’intervallo 0 < t < 1; ciò rende la trasformata di
Laplace utile per le sole funzioni definite sul semiasse positivo dei tempi, f ðtÞ,
t > 0. La trasformata di Fourier si applica invece a funzioni definite per tutti i
valori di t.
2. Per una funzione f ðtÞ che Z
sia diversa da zero solo negli istanti positivi (cioè,
1
f ðtÞ ¼ 0, t < 0) e per cui
j f ðtÞj dt < 1, le due trasformate sono legate
0
dalla relazione
ð20:66Þ
Fð!Þ ¼ FðsÞs¼j!
Questa equazione mostra anche che la trasformata di Fourier può essere considerata come un caso particolare della trasformata di Laplace con s ¼ j!5 . Si ricordi che in generale s ¼ þ j!. La (20.66) afferma allora che la trasformata
di Laplace è relativa all’intero piano s, mentre la trasformata di Fourier è ristretta all’asse j!. Si veda la Figura 17.1.
5
In altre parole, se tutti i poli di FðsÞ giacciono nella parte sinistra del piano s, è allora possibile ottenere la trasformata di Fourier Fð!Þ dalla corrispondente trasformata di Laplace FðsÞ semplicemente sostituendo s con j!. Si noti che ciò non vale, ad esempio, per uðtÞ o per atuðtÞ.
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21
22
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
3. La trasformata di Laplace risulta applicabile a una classe di funzioni più ampia
rispetto alla trasformata di Fourier. Per esempio, la funzione tuðtÞ possiede una
trasformata di Laplace ma non ha la trasformata di Fourier. Esistono però segnali dotati di trasformata di Fourier che non sono fisicamente realizzabili, e
che non hanno trasformata di Laplace.
4. La trasformata di Laplace è maggiormente indicata per trattare problemi di
transitori in presenza di condizioni iniziali, perché permette di includere le condizioni iniziali nelle espressioni delle trasformate, cosa che invece non è possible con le trasformate di Fourier. La trasformata di Fourier si rivela invece particolarmente utile per l’analisi di problemi in regime permanente.
5. La trasformata di Fourier fornisce una maggiore visibilità rispetto alle caratteristiche di un segnale alle diverse frequenze di quanto non faccia la trasformata
di Laplace.
Alcune delle somiglianze e differenze possono essere osservate confrontando le
Tabelle 17.1 e 17.2 con le Tabelle 20.1 e 20.2.
20.7 APPLICAZIONIy
Oltre a essere utile per l’analisi dei circuiti, la trasformata di Fourier trova applicazione in una grande varietà di campi quali l’ottica, la spettroscopia, l’acustica, l’informatica e l’ingegneria elettrica in generale. Per l’ingegneria elettrica, essa trova in particolare vasta applicazione nei sistemi per le telecomunicazioni e nella elaborazione dei
segnali, discipline per le quali la risposta in frequenza e il comportamento spettrale sono di vitale importanza. Vengono qui considerate due semplici applicazioni: la modulazione di ampiezza (AM) e il campionamento.
20.7.1
Modulazione di ampiezza
La radiazione elettromagnetica usata per trasmettere l’informazione attraverso lo spazio è diventata un elemento indispensabile per la vita della moderna società della
tecnologia. La trasmissione di onde elettromagnetiche attraverso lo spazio risulta però efficiente ed economica soltanto alle radiofrequenze (sopra i 20 kHz). La trasmissione di segnali ‘‘intelligenti’’, quali per esempio quelli relativi al parlato o alla musica, limitati alla banda di bassa frequenza compresa tra 50 Hz e 20 kHz, si rivela
perciò estremamente costosa, avendo bisogno di antenne molto grandi e di potenze
molto elevate. Un metodo comune per trasmettere informazione audio a bassa frequenza è allora quello di trasmettere un segnale ad alta frequenza, detto portante,
che viene in qualche modo controllato in modo da risultare in corrispondenza con
l’informazione audio.
Sono tre le caratteristiche di una portante (ampiezza, frequenza e fase) che possono
venire controllate facendo in modo che trasportino il segnale intelligente, detto anche
segnale modulante. Verrà qui trattato soltanto il caso di controllo della ampiezza della
portante. Esso è noto come modulazione di ampiezza.
La modulazione di ampiezza (AM) è un processo nel quale l’ampiezza di una portante
viene controllata dal segnale modulante.
La AM viene usata da molte stazioni radio commerciali e nella porzione video del segnale televisivo commerciale.
Si supponga che l’informazione audio, per esempio la voce o la musica (oppure un segnale modulante generico) da trasmettere sia mðtÞ ¼ Vm cos !m t, mentre la portante ad
alta frequenza è cðtÞ ¼ Vc cos !c t, con !c >> !m . Il segnale AM f ðtÞ è allora dato da
f ðtÞ ¼ Vc ½1 þ mðtÞ cos !c t
ð20:67Þ
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20.7 Applicazioni
23
La Figura 20.22 mostra il segnale modulante mðtÞ, la portante cðtÞ e il segnale AM
modulato f ðtÞ. Si può fare uso del risultato della (20.27) assieme alla trasformata di
Fourier della funzione coseno (si veda l’Esempio 20.1 oppure la Tabella 20.1) per determinare lo spettro del segnale AM:
Fð!Þ ¼ F ½Vc cos !c t þ F ½Vc mðtÞ cos !c t
¼ Vc ½ð! !c Þ þ ð! þ !c Þ
ð20:68Þ
Vc
þ
½Mð! !c Þ þ Mð! þ !c Þ
2
Figura 20.22
Rappresentazione nel dominio
del tempo e della frequenza di:
(a) segnale modulante, (b)
segnale portante, (c) segnale
AM.
dove M ð!Þ è la trasformata di Fourier del segnale modulante mðtÞ. In Figura 20.23 è
mostrato lo spettro del segnale AM. La Figura 20.23 indica che il segnale AM è formato dalla portante e da due ulteriori sinusoidi. La sinusoide con frequenza !c !m è
detta banda laterale inferiore, mentre quella a frequenza !c þ !m è la banda laterale
superiore.
Figura 20.23
Spettro del segnale AM.
Si noti che è stata fatta l’ipotesi che il segnale modulante sia una sinusoide per rendere
semplice l’analisi. Nella realtà, mðtÞ è di solito un segnale non sinusoidale, a banda limitata – il suo spettro è compreso nella banda tra 0 e !u ¼ 2fu (cioè, il segnale possiede un limite superiore di frequenza). Tipicamente, fu ¼ 5 kHz per le trasmissioni
radio in AM. Se lo spettro del segnale modulante è quello mostrato in Figura
20.24(a), allora lo spettro del segnale AM è quello mostrato in Figura 20.24(b). Per
evitare interferenze tra i segnali di diverse stazioni trasmittenti, le portanti delle diverse stazioni radio sono spaziate l’una dall’altra di 10 kHz.
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24
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
Sul lato ricevente della trasmissione, l’informazione audio viene ricostruita a partire
dalla portante modulata mediante un processo chiamato demodulazione.
Figura 20.24
Spettro di: (a) segnale
modulante, (b) segnale AM.
Esempio 20.11
Un segnale musicale possiede componenti a frequenze comprese fra 15 Hz e 30 kHz. Se questo segnale viene usato per modulare in ampiezza una portante da 1.2 MHz, determinare gli intervalli di
frequenza per le bande laterali inferiore e superiore.
Soluzione: La banda laterale inferiore è la differenza fra la portante e le frequenze modulanti.
Essa comprende le frequenze da
1 200 000 30 000 Hz ¼ 1 170 000 Hz
a
1 200 000 15 Hz ¼ 1 199 985 Hz
La banda laterale superiore è la somma della portante e delle frequenze modulanti. Essa comprende
le frequenze da
1 200 000 þ 15 Hz ¼ 1 200 015 Hz
a
1 200 000 þ 30 000 Hz ¼ 1 230 000 Hz
Esercizio 20.11 Se una portante da 2 MHz viene modulata da un segnale di informazione da 4
kHz, determinare le frequenze delle tre componenti del segnale AM risultante.
Risposta: 2 004 000 Hz, 2 000 000 Hz, 1 996 000 Hz.
20.7.2
Campionamento
Nei sistemi analogici, i segnali vengono trattati nella loro interezza. Nei sistemi digitali moderni, invece, sono necessari soltanto dei campioni dei segnali stessi ai fini della
loro elaborazione. Ciò è possibile in forza del teorema del campionamento trattato nel
Paragrafo 17.8.1.
Il campionamento può essere ottenuto usando un treno di impulsi rettangolari o di
impulsi ideali. Verrà qui considerato il campionamento con impulsi ideali. Si consideri il segnale continuo gðtÞ mostrato in Figura 20.25(a). Esso può essere moltiplicato
per il treno di impulsi ðt nTs Þ mostrato in Figura 20.25(b), dove Ts è l’intervallo di
campionamento e fs ¼ 1=Ts è la frequenza di campionamento. Il segnale campionato
gs ðtÞ è perciò
gs ðtÞ ¼ gðtÞ
1
X
n¼1
ðt nTs Þ ¼
1
X
gðnTs Þðt nTs Þ
ð20:69Þ
n¼1
La sua trasformata di Fourier è
Gs ð!Þ ¼
1
X
n¼1
gðnTs ÞF ½ðt nTs Þ ¼
1
X
gðnTs Þejn!Ts
ð20:70Þ
n¼1
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20.7 Applicazioni
25
È possibile dimostrare che
1
X
gðnTs Þejn!Ts ¼
n¼1
1
1 X
Gð! þ n!s Þ
Ts n¼1
ð20:71Þ
dove !s ¼ 2=Ts . La (20.70) diventa allora
Gs ð!Þ ¼
1
1 X
Gð! þ n!s Þ
Ts n¼1
ð20:72Þ
Quest’ultima equazione afferma che la trasformata di Fourier Gs ð!Þ del segnale campionato consiste nella somma di infinite copie della trasformata di Fourier del segnale
originale, spaziate di 1=Ts l’una dall’altra.
Al fine di garantire una ricostruzione ottima del segnale originale, quale deve essere
l’intervallo di campionamento? Questa domanda fondamentale legata al campionamento trova risposta in un’apposita sezione del teorema del campionamento:
Figura 20.25
(a) Segnale continuo (analogico)
da campionare,
(b) treno di impulsi, (c) segnale
campionato (digitale).
Un segnale a banda limitata, privo di componenti a frequenze superiori a W hertz, può venire
ricostruito completamente dai suoi campioni presi a una frequenza che sia almeno
superiore a 2W campioni al secondo.
In altre parole, per un segnale con larghezza di banda W hertz, non si ha perdita di informazione, o sovrapposizione, se la frequenza di campionamento è almeno doppia
della frequenza più alta contenuta nel segnale modulante, cioè
1
¼ fs 2W
Ts
ð20:73Þ
La frequenza di campionamento fs ¼ 2W è chiamata frequenza di Nyquist, e 1=fs è
l’intervallo di Nyquist.
Esempio 20.12
Un segnale telefonico con frequenza di taglio 5 kHz viene campionato a una frequenza del 60 percento superiore alla frequenza minima ammessa. Determinare la frequenza di campionamento.
Soluzione: La frequenza di campionamento minima è la frequenza di Nyquist ¼ 2W ¼ 2 5 ¼
10 kHz. Quindi,
fs ¼ 1:60 2W ¼ 16 kHz
n Esercizio 20.12 Un segnale audio con banda limitata a 12.5 kHz viene digitalizzato in campioni da 8 bit. Qual è il massimo intervallo di campionamento che può essere utilizzato per garantire la ricostruzione completa?
Risposta: 40 s.
n
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26
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
DOMANDE DI RIEPILOGO
20.1
20.3
(a) e2t
(c) e2ðt1Þ
20.4
20.5
(c) 1
(b) 2
(d) 1=2
(d) 1
(c) 2.5
La corrente in un condensatore da 1F è ðtÞ A. La
tensione sul condensatore è:
(b) 1=2 þ uðtÞ
(d) ðtÞ
Un gradino unitario di corrente viene applicato ad un
induttore da 1H. La tensione sull’induttore è:
(a) uðtÞ
(c) et uðtÞ
(b) sgnðtÞ
(d) ðtÞ
20.10 Il teorema di Parseval vale soltanto per funzioni non
periodiche.
(a) Vero
L’antitrasformata di Fourier di j! è:
(a) 0 ðtÞ
(c) 1=t
(b) Falso
(b) u0 ðtÞ
(d) indefinita
Z
20.6
20.9
ej!
è
2 þ j!
L’antitrasformata di Fourier di ð!Þ è:
(b) uðtÞ
10ð! 1Þ
d! vale:
4 þ !2
(a) uðtÞ
(c) et uðtÞ
(b) e2t uðt 1Þ
(d) e2ðt1Þ uðt 1Þ
(a) ðtÞ
1
L’integrale
1
20.8
La trasformata di Fourier di e j2t è:
1
1
(a)
(b)
2 þ j!
2 þ j!
(c) 2ð! 2Þ
(d) 2ð! þ 2Þ
L’antitrasformata di Fourier di
20.7
(a) 0
(b) te3t uðtÞ
(d) jtjuðtÞ
(a) e t uðtÞ
(c) 1=t
20.2
Z
Quale delle seguenti funzioni non ammette una
trasformata di Fourier?
1
L’integrale
1
(a) 0
10ð!Þ
d! ha per risultato:
4 þ !2
(b) 2
Risposte: 20.1c, 20.2c, 20.3d, 20.4d, 20.5a, 20.6c, 20.7b,
20.8b, 20.9d, 20.10b
(d) 1
(c) 2.5
PROBLEMI
Paragrafi 20.2 e 20.3
20.1
Trasformata di Fourier
e sue proprietà
20.3
Calcolare la trasformata di Fourier del segnale in
Figura 20.28.
Calcolare la trasformata di Fourier della funzione in
Figura 20.26.
f (t)
1
f (t)
−2
1
0
1
−2
−1
2
0
−1
t
−1
Figura 20.26
20.2
2 t
Figura 20.28
20.4
Per il Problema 20.1.
Per il Problema 20.3.
Determinare la trasformata di Fourier della forma d’onda
mostrata in Figura 20.29.
g(t)
Quale è la trasformata di Fourier dell’impulso triangolare
in Figura 20.27?
2
f(t)
1
0
Figura 20.27
1
Per il Problema 20.2.
−1
t
Figura 20.29
0
1
t
Per il Problema 20.4.
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PROBLEMI
Calcolare la trasformata di Fourier del segnale mostrato
in Figura 20.30.
20.5
27
g (t)
2
h(t)
1
1
−2
−1
0
Figura 20.33
t
1
−1
t
2
Determinare le trasformate di Fourier dei segnali in
Figura 20.34.
20.9
y (t)
2
Per il Problema 20.5.
Per il segnale in Figura 20.31, determinare la parte reale
della trasformata di Fourier.
20.6
1
Per il Problema 20.8.
−1
Figura 20.30
0
(b)
1
f (t)
−2
1
−1
0
(a)
1
2
t
z (t)
−1
0
t
1
0
1
t
−1
−2
Figura 20.31
Per il Problema 20.6.
(b)
Figura 20.34
Determinare le trasformate di Fourier dei segnali in
Figura 20.32.
20.7
20.10 Calcolare le trasformate di Fourier dei segnali mostrati in
Figura 20.35.
f1(t)
1
2
0
1
f 2 (t)
x(t)
2
1
−1
1
t
(b)
Figura 20.32
0
Calcolare la trasformata di Fourier dei segnali mostrati in
Figura 20.33.
−1
t
0
1
(b)
(a)
Figura 20.35
Per il Problema 20.7.
e −|t|
1
e−t
0
(a)
20.8
y(t)
t
−1
Per il Problema 20.9.
Per il Problema 20.10.
20.11 Determinare la trasformata di Fourier dell’ ‘‘impulso
sinusoidale’’ mostrato in Figura 20.36.
f (t)
f (t)
1
2
0
0
1
2
(a)
sin πt
1
2
t
t
Figura 20.36
Per il Problema 20.11.
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t
28
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
20.12 Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti
funzioni:
20.21 Mostrare che
Z
1
t
(a) f ðtÞ ¼ e ½uðtÞ uðt 1Þ
(b) gðtÞ ¼ tet uðtÞ
(c) hðtÞ ¼ uðt þ 1Þ 2uðtÞ þ uðt 1Þ
1
20.13 Determinare la trasformata di Fourier dei seguenti
segnali:
(a) f ðtÞ ¼ cos ðat =3Þ,
(b) gðtÞ ¼ uðt þ 1Þ sin t,
(c) hðtÞ ¼ ð1 þ A sin atÞ cos bt,
dove A, a e b sono costanti
(d) iðtÞ ¼ 1 t;
0<t<4
1 < t < 1
1 < t < 1
1 < t < 1,
20.22 Dimostrare che se Fð!Þ è la trasformata di Fourier di
f ðtÞ,
F ½ f ðtÞ sin !0 t ¼
Fð!Þ ¼
(a) f ð3tÞ
*20.16 Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti
funzioni:
2
(b) gðtÞ ¼ 8=ð4 þ t Þ
20.17 Determinare le trasformate di Fourier di:
(b) sin 10tuðtÞ
20.18 Calcolare la trasformata di Fourier di
yðtÞ ¼ et cos tuðtÞ.
20.19 Determinare la trasformata di Fourier di
f ðtÞ ¼ cos 2t½uðtÞ uðt 1Þ.
20.20 (a) Mostrare che un segnale periodico la cui serie di
Fourier in forma esponenziale è
1
X
f ðtÞ ¼
cn e jn!0 t
n¼1
ha la trasformata di Fourier
1
X
Fð!Þ ¼
cn ð! n!0 Þ
20.24 Data F ½ f ðtÞ ¼ ð j=!Þðej! 1Þ, determinare le
trasformate di Fourier di:
20.26 Determinare le antitrasformate di Fourier delle seguenti
funzioni:
ej2!
(a) Fð!Þ ¼
1 þ j!
1
(b) Hð!Þ ¼
ð j! þ 4Þ2
(c) Gð!Þ ¼ 2uð! þ 1Þ 2uð! 1Þ
20.27 Determinare le antitrasformate di Fourier delle seguenti
funzioni:
100
(a) Fð!Þ ¼
j!ð j! þ 10Þ
(b) Gð!Þ ¼
10j!
ðj! þ 2Þð! þ 3Þ
(c) Hð!Þ ¼
60
!2 þ j40! þ 1300
(d) Y ð!Þ ¼
ð!Þ
ð j! þ 1Þð j! þ 2Þ
f(t)
1
Figura 20.37
(b) yðtÞ ¼ f ðt 2Þ
20.25 Calcolare le antitrasformate di Fourier di:
10
(a) Fð!Þ ¼
j!ðj! þ 2Þ
4 j!
(b) Fð!Þ ¼ 2
! 3j! 2
n¼1
dove !0 ¼ 2=T .
(b) Determinare la trasformata di Fourier del segnale in
Figura 20.37.
3π
(c) f ðtÞ cos 2t
(c) hðtÞ ¼ f 0 ðtÞ
2
5
(d) gðtÞ ¼ 4f
t þ 10f
t
3
3
(c) f ðtÞ ¼ ð3tÞ 0 ð2tÞ
2π
10
ð2 þ j!Þð5 þ j!Þ
1
(a) xðtÞ ¼ f ðtÞ þ 3
1
π
j
½Fð! þ !0 Þ Fð! !0 Þ
2
(b) f ð2t 1Þ
Z t
f ðtÞ dt
(e)
d
f ðtÞ
(d)
dt
(a) f ðtÞ ¼ ðt þ 3Þ ðt 3Þ
Z 1
2ðt 1Þ dt
(b) f ðtÞ ¼
0
a
determinare le trasformate delle seguenti funzioni:
20.15 Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti
funzioni:
(a) cos 2tuðtÞ
d! ¼
20.23 Se la trasformata di Fourier di f ðtÞ è
(a) f ðtÞ ¼ et cos ð3t þ ÞuðtÞ
(b) gðtÞ ¼ sin t½uðt þ 1Þ uðt 1Þ
(c) hðtÞ ¼ e2t cos tuðt 1Þ
(d) pðtÞ ¼ e2t sin 4tuðtÞ
(e) qðtÞ ¼ 4 sgnðt 2Þ þ 3ðtÞ 2uðt 2Þ
(a) f ðtÞ ¼ 4=t
2
Suggerimento: ricordare che sin a!
.
F ½uðt þ aÞ uðt aÞ ¼ 2a
a!
20.14 Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti
funzioni:
2
sin a!
a!
4π
5π
t
Per il Problema 20.20(b).
20.28 Determinare le antitrasformate di Fourier di:
ð!Þ
(a)
ð5 þ j!Þð2 þ j!Þ
(b)
* L’asterisco denota un problema di difficoltà superiore alla media.
10ð! þ 2Þ
j!ðj! þ 1Þ
Alexander, Sadiku, Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e - ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl, ISBN 9788838615627
PROBLEMI
20ð! 1Þ
ð2 þ j!Þð3 þ j!Þ
5ð!Þ
5
þ
(d)
5 þ j!
j!ð5 þ j!Þ
Paragrafo 20.4
(c)
Hð!Þ ¼
(a) Fð!Þ ¼ 4ð! þ 3Þ þ ð!Þ þ 4ð! 3Þ
(b) Gð!Þ ¼ 4uð! þ 2Þ 4uð! 2Þ
(c) Hð!Þ ¼ 6 cos 2!
20.30 Per un sistema lineare con ingresso xðtÞ e uscita yðtÞ,
determinare la risposta all’impulso nei seguenti casi:
20.31 Dato un sistema lineare con uscita yðtÞ e risposta
all’impulso hðtÞ, determinare il corrispondente ingresso
xðtÞ nei seguenti casi:
hðtÞ ¼ eat uðtÞ
(a) yðtÞ ¼ teat uðtÞ,
(b) yðtÞ ¼ uðt þ 1Þ uðt 1Þ,
hðtÞ ¼ ðtÞ
hðtÞ ¼ sgnðtÞ
(c) yðtÞ ¼ eat uðtÞ,
(d) F4 ð!Þ ¼
ð!Þ
1 þ j2!
(b) 6et uðtÞ V
(a) 4ðtÞ V
(c) 3 cos 2t V
20.37 Determinare la funzione di trasferimento Io ð!Þ=Is ð!Þ per
il circuito in Figura 20.39.
io(t)
2Ω
is (t)
Figura 20.39
4Ω
1H
Per il Problema 20.37.
20.38 Calcolare vo ðtÞ nel circuito di Figura 20.40 quando
vi ðtÞ ¼ uðtÞ V.
2H
+
−
vi (t)
*20.32 Determinare le funzioni corrispondenti alle seguenti
trasformate di Fourier:
ej!
(a) F1 ð!Þ ¼
(b) F2 ð!Þ ¼ 2ej!j
j! þ 1
1
10
2 þ j!
Determinare l’uscita vo ðtÞ per t ¼ 2 s se l’ingresso vi ðtÞ
vale:
yðtÞ ¼ uðtÞ uðtÞ
(a) xðtÞ ¼ eat uðtÞ,
yðtÞ ¼ e2t uðtÞ
(b) xðtÞ ¼ et uðtÞ,
(c) xðtÞ ¼ ðtÞ,
yðtÞ ¼ eat sin btuðtÞ
ð1 þ !2 Þ2
Applicazione ai circuiti
20.36 Un sistema lineare ha funzione di trasferimento
*20.29 Determinare le antitrasformate di Fourier di:
(c) F3 ð!Þ ¼
29
Figura 20.40
+
vo(t)
−
10 Ω
Per il Problema 20.38.
20.39 Dato il circuito in Figura 20.41(b), con l’eccitazione
mostrata in Figura 20.41(a), determinare la trasformata di
Fourier di iðtÞ.
*20.33 Determinare f ðtÞ se:
vs(t)
(a) Fð!Þ ¼ 2 sin !½uð! þ 1Þ uð! 1Þ
(b) Fð!Þ ¼
1
1
j
ðsin 2! sin !Þ þ ðcos 2! cos !Þ
!
!
20.34 Determinare il segnale f ðtÞ la cui trasformata di Fourier
è mostrata in Figura 20.38. (Suggerimento: utilizzare la
proprietà di dualità.)
0
1
t
(a)
F(ω)
1 kΩ
20
i(t)
10
−2
−1
vs
0
1
2
+
−
1 mH
t
(b)
Figura 20.38
Per il Problema 20.34.
Figura 20.41
20.35 Un segnale f ðtÞ ha trasformata di Fourier
Fð!Þ ¼
1
2 þ j!
Determinare la trasformata di Fourier dei seguenti
segnali:
(a) xðtÞ ¼ f ð3t 1Þ
(b) yðtÞ ¼ f ðtÞ cos 5t
d
f ðtÞ
(c) zðtÞ ¼
dt
(d) hðtÞ ¼ f ðtÞ f ðtÞ
(e) iðtÞ ¼ tf ðtÞ
Per il Problema 20.39.
20.40 Determinare la corrente iðtÞ nel circuito di
Figura 20.42(b), dato il generatore di tensione di
Figura 20.42(a).
2Ω
v (t)
i(t)
1
v(t)
0
1
2
+
−
t
(a)
Figura 20.42
1F
(b)
Per il Problema 20.40.
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30
Capitolo 20 – Trasformata di Fourier
20.41 Determinare la trasformata di Fourier di vðtÞ nel circuito
mostrato in Figura 20.43.
20.46 Determinare la trasformata di Fourier di io ðtÞ nel circuito
di Figura 20.48.
2Ω
2Ω
e−2tu(t) V
+
v(t) −
+
−
e −tu(t)
+
−
2δ(t) A
0.5H
1F
Figura 20.48
Figura 20.43
1
4
+
−
io
F
2H
3δ(t)
Per il Problema 20.46.
Per il Problema 20.41.
20.42 Calcolare la corrente io ðtÞ nel circuito di Figura 20.44.
20.47 Nel circuito di Figura 20.49, si ha is ¼ 4ðtÞ A.
Determinare Vo ð!Þ.
+ v −
o
(a) Supporre iðtÞ ¼ sgnðtÞ A.
(b) Supporre iðtÞ ¼ 4½uðtÞ uðt 1Þ A.
io
1F
io(t)
2Ω
i(t)
2Ω
is
Figura 20.49
Figura 20.44
1Ω
0.5 H
1H
Per il Problema 20.47.
Per il Problema 20.42.
20.48 Determinare io ðtÞ nel circuito con operazionale di
Figura 20.50.
20.43 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 20.45, se
is ¼ 5et uðtÞ A.
20 µF
20 kΩ
+
40 Ω
is
Figura 20.45
20 mF
−
−
+
vo
2e −tu(t)
V
io(t)
+
−
20 kΩ
Per il Problema 20.43.
20.44 Se l’impulso rettangolare di Figura 20.46(a) viene
applicato al circuito in Figura 20.46(b), determinare vo
per t ¼ 1 s.
Figura 20.50
Per il Problema 20.48.
20.49 Utilizzare il metodo della trasformata di Fourier per
calcolare vo ðtÞ nel circuito di Figura 20.51.
vs (t)
1H
2Ω
10
vs
0
+
−
2Ω
1H
t
2
(a)
+
vo
−
2H
cos t V
+
−
1H
2Ω
1Ω
+
vo
−
(b)
Figura 20.46
Figura 20.51
Per il Problema 20.44.
20.45 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 20.47.
2Ω
Per il Problema 20.49.
20.50 Determinare vo ðtÞ nel circuito con trasformatore di
Figura 20.52.
0.5 H
1H
1Ω
+
2δ(t) V
Figura 20.47
+
−
1F
Per il Problema 20.45.
vo
−
2δ(t)
+
−
Figura 20.52
1H
1H
1Ω
+
vo
−
Per il Problema 20.50.
Alexander, Sadiku, Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e - ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl, ISBN 9788838615627
PROBLEMI DI RIEPILOGO
20.51 Nel circuito in Figura 20.53, data vs ¼ 2et uðtÞ V,
calcolare il contenuto totale di energia su 1 di vo ðtÞ.
2Ω
vs
1Ω
vo
−
1F
h (t)
vo (t)
vi (t)
Figura 20.54
+
+
−
31
Per il Problema 20.9.
20.60 Un segnale a banda limitata ha la seguente
rappresentazione in serie di Fourier:
is ðtÞ ¼ 10 þ 8 cos ð2t þ 30 Þ þ 5 cos ð4t 150 ÞmA
Figura 20.53
Per il Problema 20.51.
Paragrafo 20.5
Se il segnale è applicato al circuito in Figura 20.55,
determinare vðtÞ.
Teorema di Parseval
1
, determinare J ¼
20.52 Per Fð!Þ ¼
3 þ j!
2jtj
20.53 Se f ðtÞ ¼ e
, determinare J ¼
Z
1
Z
2Ω
1
2
f ðtÞ dt.
+
1
is (t)
1H
1F
2
jFð!Þj d!.
v (t)
−
1
20.54 Dato il segnale f ðtÞ ¼ 4et uðtÞ, quale è l’energia totale
contenuta in f ðtÞ?
20.55 Data f ðtÞ ¼ 5eðt2Þ uðtÞ, determinare Fð!Þ e utilizzarla
per calcolare l’energia totale in f ðtÞ.
20.56 Un generatore di tensione vs ðtÞ ¼ et sin 2tuðtÞ V è
applicato ad un resistore da 1 . Calcolare l’energia
assorbita dal resistore.
20.57 Se iðtÞ ¼ 2et uðtÞ A, calcolare l’energia totale
contenuta in iðtÞ e la percentuale dell’energia su 1 relativa all’intervallo di frequenze 5 < ! < 5 rad/s.
Paragrafo 20.6
Applicazioni
20.58 Un segnale AM è descritto da
f ðtÞ ¼ 10ð1 þ 4 cos 200tÞ cos 104 t
Determinare quanto segue:
(a) la frequenza portante,
(b) la frequenza della banda laterale inferiore,
(c) la frequenza della banda laterale superiore.
20.59 Nel sistema lineare di Figura 20.54, quando la tensione
di ingresso è vi ðtÞ ¼ 2ðtÞ V, l’uscita è
vo ðtÞ ¼ 10e2t 6e4t V. Determinare l’uscita quando
l’ingresso è vi ðtÞ ¼ 4et uðtÞ V.
Figura 20.55
Per il Problema 20.60.
20.61 Un’onda portante di frequenza 8 MHz è modulata in
ampiezza da un segnale a 5 kHz. Determinare le bande
laterali inferiore e superiore.
20.62 Un segnale vocale che occupa la banda di frequenza da
0.4 a 3.5 kHz è usato per modulare in ampiezza una
portante a 10 MHz. Determinare gli intervalli di
frequenze delle bande laterali inferiore e superiore.
20.63 Per una data località, calcolare il numero di stazioni
ammissibili nella banda di trasmissione AM (da 540 a
1600 kHz) in modo che non interferiscano tra loro.
20.64 Ripetere il problema precedente per la banda di
trasmissione FM (da 88 a 108 MHz), supponendo che le
frequenze portanti siano spaziate tra loro di 200 kHz.
20.65 La componente a frequenza più elevata di un segnale
vocale è a 3.4 kHz. Quale è la frequenza di Nyquist del
campionatore del segnale vocale?
20.66 Un segnale TV è limitato in banda a 4.5 MHz. Se i
campioni devono essere ricostruiti nella stazione
ricevente, quale è il massimo valore ammissibile per
l’intervallo di campionamento?
*20.67 Dato un segnale gðtÞ ¼ sincð200tÞ, determinare la
frequenza di Nyquist e l’intervallo di Nyquist per il
segnale.
PROBLEMI DI RIEPILOGO
20.68 Il segnale di tensione all’ingresso di un filtro è
vðtÞ ¼ 50e2jtj V. Quale percentuale del contenuto totale
di energia su 1 cade nell’intervallo di frequenze
1 < ! < 5 rad/s?
20.69 Un segnale con trasformata di Fourier
Fð!Þ ¼
20
4 þ j!
viene fatto passare attraverso un filtro la cui frequenza di
taglio è 2 rad/s (cioè, 0 < ! < 2). Quale frazione
dell’energia del segnale di ingresso è contenuta nel
segnale di uscita?
Alexander, Sadiku, Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e - ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) srl, ISBN 9788838615627
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