2°◦ CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA’ E STATISTICA “FELICE FUSATO” Fase di Istituto 15 febbraio 2011 1) 2) 3) 4) Non sfogliare questo fascicolo finché l’insegnante non ti dice di farlo. E’ ammesso l’utilizzo di calcolatrici tascabili. La prova è rigorosamente individuale. E’ vietato l’uso di telefoni cellulari. La prova consiste di 13 problemi divisi in due gruppi: nei problemi dal numero 1 al numero 10 sono proposte 4 risposte possibili, indicate con le lettere A, B, C, D. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa casella. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni quesito lasciato senza risposta vale un punto.. Non sono ammesse correzioni o cancellature sulla griglia. I problemi 11, 12 e 13 richiedono invece una procedura risolutiva esplicita ed argomentata. Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicolo. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 10. 5) Quando l’insegnante dà il via, comincia a lavorare. Hai 2 ore di tempo. Buon lavoro! Da compilare da parte dello studente Nome:__________________________________Cognome__________________________________ Indirizzo:_______________________________________________________Città:________________ Scuola:__________________________________Anno di corso:__________Città:________________ Risposte ai primi 10 quesiti 1 2 3 4 5 6 7 8 PUNTEGGIO (da riempirsi a cura dell’insegnante) Numero delle risposte esatte (1-10) Numero degli esercizi senza risposta x5= x1= Valutazione esercizio n.11 Valutazione esercizio n.12 Valutazione esercizio n.13 PUNTEGGIO TOTALE 9 10 Problemi a risposta multipla 1. Abbiamo due dadi uguali; ciascuno ha una faccia gialla, due facce blu e tre facce rosse. La probabilità p che lanciandoli insieme si ottengano facce dello stesso colore è A) 1 3 p 1 B) p= 2 1 C) p= 3 1 2 D) p< 1 3 2. Tre fratelli vogliono fare una partita di calcio con altri 19 amici. Sapendo che la formazione delle due squadre viene sorteggiata, qual è la probabilità che i tre fratelli giochino la partita nella stessa squadra? A) B) compresa tra e C) D) compresa tra e 3. In una lotteria ci sono 100 biglietti e tre premi. Hai acquistato 40 biglietti. La probabilità che tu vinca due premi è: A) B) C) D) 4. Si scelga a caso un punto all’interno di un cerchio. Qual è la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio? A) B) C) D) 5. Se A e B sono due eventi tali che p(A)=0,4 e p(AB)=0,7, p(B)= p con 0 p 1 è vero che A) A e B sono stocasticamente indipendenti se p=0,6 B) A e B sono incompatibili se p=0,5 C) Detto C l’evento A B allora p( C )=0,3 D) p(C) =0,3 6. Assegnato il seguente insieme di dati: 2 4 2 1 3 6 , stabilire quali delle seguenti relazioni sono vere: a) moda = mediana; b) moda < media; c) media > mediana; d) media quadratica < media A) Solo la a) e la c) B) solo la b) e la d) C) solo la b) e la c) D) solo la a) è falsa 7. E’ data la seguente distribuzione di frequenza xi 1 3 6 10 15 fi assolute 0 4 12 9 5 La numerosità dei casi osservati è A) 15 B) 35 C) 30 D) 5 8. Sia X una variabile aleatoria normalmente distribuita con =10 e =2,5, la probabilità p che 6 x 12 è A) 0,3<p<0,5 B) 0,5<p<0,8 C) p > 0,8 D) p < 0,3 9. Circa il 6% dei bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso. La probabilità che in un campione di 100 siano difettosi almeno tre bulloni è: A) 14,69% B) 0,1469% C) 1,469% D) nessuna delle precedenti 10. Sia X una variabile distribuita normalmente con media 10 e varianza 4. Allora anche la variabile Y = 2+3X è distribuita normalmente con : A) media 30 e varianza 12 B) media 30 e varianza 36 C) media 32 e varianza 12 D) media 32 e varianza 36 Nome:__________________________________Cognome:__________________________________ Problema n.11 Il numero delle volte in cui un computer va in crash nell’arco di una settimana, è ben modellato da una variabile aleatoria di Poisson X di parametro λ = 3. Al proprietario del computer viene proposta l’installazione di un software speciale. Per il 90% dei computer che installano questo software il numero medio dei crash nella settimana scende a λ = 0.5. Per il restante 10% il λ non varia, cioè il software non ha effetto. Supponiamo di installare il software sul computer e consideriamo i seguenti eventi pensando a una settimana qualunque. A = {il software ha effetto sul computer} B = {X = 0} = {il computer non va in bomba nella settimana} a) Calcolare P[A] b) Calcolare P[B|A] c) Calcolare P[B|AC] d) Calcolare P[A|X = 0], cioè la probabilità che, nell’ipotesi che il computer non vada in bomba nella settimana, ciò sia dovuto al software installato. Nome:_________________________________Cognome:___________________________________ Problema n.12 Si lanciano simultaneamente 4 monete regolari. Se escono almeno due teste l’automa A della figura fa un passo avanti; se esce una sola testa, A fa un passo indietro; se non esce neanche una testa A resta fermo nella casella in cui si trova. ( A non può andare oltre U o prima di Z). Calcolare la probabilità che: a) dopo tre lanci , A si trovi ancora nella casella di partenza b) dopo 5 lanci, A raggiunga la casella Z; Avanti → A c) dopo 7 lanci, A raggiunga la casella U. Z U * Nome:___________________________________Cognome:_____________________________ Problema n.13 Le quattro facce di un dado a forma di tetraedro sono numerate da 1 a 4. Questo dado è truccato in modo che la probabilità p(i) perché la faccia i sia nascosta è proporzionale al quadrato di i. Si può scrivere : p(i) = ki2 a) Determinare k b) Si lancia il dado una volta e si chiama X la variabile aleatoria : “somma dei numeri visibili”. Dare la legge di probabilità di questa variabile X, il suo valore medio e il suo scarto quadratico medio. c) Determinare la funzione di ripartizione di X e rappresentarla graficamente. d) Qual è la probabilità perché, nel corso di cinque lanci, X risulti pari due (sole) volte? Nome:________________________________________Cognome:______________________________________