Esercitazione di TFA del 11 marzo 2013 Argomenti: Spazio Campione, numero di eventi definibili, probabilità di eventi, indipendenza di eventi, Teorema di Bayes. Esercizio n. 1 Un dado, a forma di tetraedro, ha le quattro facce contrassegnate A, B, C e D. Un esperimento consiste nel lanciare il dado e osservare la faccia che si presenta. (a) Considerando il relativo spazio campione (evidentemente gli elementi di S sono A, B, C e D), calcolare il numero di eventi definibili ed identificare tali eventi (ivi inclusi l’evento certo e quello impossibile). (b) Considerare la ripetizione (una sola volta) dell’esperimento, che genera lo spazio campione ’ . Identificare i sedici elementi di ’. Calcolare il numero di eventi definibili in ’. (c) Si indichino con p, q, r, t le probabilità che in un lancio si presentino le facce A, B, C, D rispettivamente (tali probabilità varrebbero 0.25 se il dado fosse perfettamente equilibrato). Si faccia riferimento ad ’ (prova ripetuta) e si calcoli (in funzione di p, q, r, t) la probabilità che la faccia B: (c1) non esca mai; (c2) esca una sola volta; (c3) esca insieme alla faccia C; (c4) esca due volte. (d) Si svolga il calcolo numerico dei quattro casi precedenti per un dado perfettamente equilibrato. Esercizio n. 2 Su un cargo lavorano quattro marinai: Aldo, Bruno, Carlo e Dino, ai quali sono assegnate le cuccette N. 41, 42, 43 e 44 rispettivamente. Una sera essi rientrano ubriachi dal porto e si buttano a dormire su una cuccetta scelta completamente a caso (ogni cuccetta può ospitare un solo marinaio). (a) Descrivere brevemente il modello probabilistico di questo esperimento casuale, definendo lo spazio campione con i relativi risultati. (b) Sia M il numero di eventi definibili inclusi l’evento certo e l’evento impossibile; ricavare M. (c) Calcolare la probabilità che Bruno vada ad occupare proprio la cuccetta a lui assegnata. (d) Calcolare la probabilità che uno ed uno solo dei marinai vada ad occupare la cuccetta a lui assegnata. (e) Calcolare la probabilità che ciascuno dei quattro marinai vada ad occupare la cuccetta a lui assegnata. (f) Ripetere le voci (a) e (b) nel caso che il marinaio Dino sia in ferie, ferme restando le quattro cabine. Esercizio n. 3 Sono lanciati, in modo indipendente, N dadi e si osservano le facce che si presentano. Alle sei facce di ciascun dado si associano i sei valori numerici: 10, 20, 30, 40, 50 e 60, supposti equiprobabili. (a) Se N = 2 , calcolare la probabilità che la somma Z dei valori sia maggiore di 109. (b) Se N = 3, calcolare la probabilità che la somma Z dei valori sia minore di 40. Esercizio n. 4 Un dado regolare ha sei facce numerate da “1” a “6”. Definiti gli eventi e 3 , (a) dire se A e B sono indipendenti. (b) Se il dado non è regolare e presenta per ciascuna faccia le probabilità: , , , , , con ∑ 1, dire quando gli eventi A e B sono indipendenti. Esercizio n. 5 Una malattia comune colpisce due persone su dieci ( 0.2) della popolazione. Con un kit diagnostico si 0.85); il test tuttavia ha riesce a individuare le persone affette (i “positivi”) con probabilità del 85 % ( 0.01). Si probabilità del 1 % di indicare come malata una persona sana, facendo un “falso positivo” ( applica il test ad una persona a caso dalla popolazione. (a) Quale è la probabilità totale che il test fornisca un “positivo”, indichi, cioè, che la persona è affetta dalla malattia? (b) Quale è la probabilità che la persona sia realmente malata se il test ha dato risultato “positivo”? (c) Quale è la probabilità che la persona sia sana se il test ha dato risultato “positivo”? (d) Quale è la probabilità totale che il risultato del test sia conforme con la realtà? (e) Ripetere i punti precedenti per una malattia rara, cioè con 0.0002. (f) Commentare i risultati ottenuti.