Esercitazione di TFA del 11 marzo 2013

Esercitazione di TFA del 11 marzo 2013
Argomenti: Spazio Campione, numero di eventi definibili, probabilità di eventi, indipendenza di eventi,
Teorema di Bayes.
Esercizio n. 1
Un dado, a forma di tetraedro, ha le quattro facce contrassegnate A, B, C e D. Un esperimento consiste nel
lanciare il dado e osservare la faccia che si presenta. (a) Considerando il relativo spazio campione
(evidentemente gli elementi di S sono A, B, C e D), calcolare il numero di eventi definibili ed identificare tali
eventi (ivi inclusi l’evento certo e quello impossibile). (b) Considerare la ripetizione (una sola volta)
dell’esperimento, che genera lo spazio campione ’
. Identificare i sedici elementi di ’. Calcolare il
numero di eventi definibili in ’. (c) Si indichino con p, q, r, t le probabilità che in un lancio si presentino le
facce A, B, C, D rispettivamente (tali probabilità varrebbero 0.25 se il dado fosse perfettamente equilibrato).
Si faccia riferimento ad ’ (prova ripetuta) e si calcoli (in funzione di p, q, r, t) la probabilità che la faccia B:
(c1) non esca mai; (c2) esca una sola volta; (c3) esca insieme alla faccia C; (c4) esca due volte. (d) Si svolga il
calcolo numerico dei quattro casi precedenti per un dado perfettamente equilibrato.
Esercizio n. 2
Su un cargo lavorano quattro marinai: Aldo, Bruno, Carlo e Dino, ai quali sono assegnate le cuccette N. 41,
42, 43 e 44 rispettivamente. Una sera essi rientrano ubriachi dal porto e si buttano a dormire su una cuccetta
scelta completamente a caso (ogni cuccetta può ospitare un solo marinaio). (a) Descrivere brevemente il
modello probabilistico di questo esperimento casuale, definendo lo spazio campione con i relativi risultati.
(b) Sia M il numero di eventi definibili inclusi l’evento certo e l’evento impossibile; ricavare M. (c) Calcolare
la probabilità che Bruno vada ad occupare proprio la cuccetta a lui assegnata. (d) Calcolare la probabilità che
uno ed uno solo dei marinai vada ad occupare la cuccetta a lui assegnata. (e) Calcolare la probabilità che
ciascuno dei quattro marinai vada ad occupare la cuccetta a lui assegnata. (f) Ripetere le voci (a) e (b) nel
caso che il marinaio Dino sia in ferie, ferme restando le quattro cabine.
Esercizio n. 3
Sono lanciati, in modo indipendente, N dadi e si osservano le facce che si presentano. Alle sei facce di
ciascun dado si associano i sei valori numerici: 10, 20, 30, 40, 50 e 60, supposti equiprobabili. (a) Se N = 2 ,
calcolare la probabilità che la somma Z dei valori sia maggiore di 109. (b) Se N = 3, calcolare la probabilità
che la somma Z dei valori sia minore di 40.
Esercizio n. 4
Un dado regolare ha sei facce numerate da “1” a “6”. Definiti gli eventi
e
3 , (a) dire se A e B sono indipendenti. (b) Se il dado non è regolare e
presenta per ciascuna faccia le probabilità: , , , , ,
con ∑
1, dire quando gli eventi A e
B sono indipendenti.
Esercizio n. 5
Una malattia comune colpisce due persone su dieci (
0.2) della popolazione. Con un kit diagnostico si
0.85); il test tuttavia ha
riesce a individuare le persone affette (i “positivi”) con probabilità del 85 % (
0.01). Si
probabilità del 1 % di indicare come malata una persona sana, facendo un “falso positivo” (
applica il test ad una persona a caso dalla popolazione. (a) Quale è la probabilità totale che il test fornisca un
“positivo”, indichi, cioè, che la persona è affetta dalla malattia? (b) Quale è la probabilità che la persona sia
realmente malata se il test ha dato risultato “positivo”? (c) Quale è la probabilità che la persona sia sana se il
test ha dato risultato “positivo”? (d) Quale è la probabilità totale che il risultato del test sia conforme con la
realtà? (e) Ripetere i punti precedenti per una malattia rara, cioè con
0.0002. (f) Commentare i risultati
ottenuti.