LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
Unità 5
Esercizi per il recupero
ARGOMENTO: Applicazioni della simmetria assiale
CONTENUTI:
L’asse del segmento e il circocentro
La bisettrice dell’angolo e l’incentro
I triangoli isosceli
NDICAZIONI DI LAVORO
→
Utilizzando lo schema riassuntivo rivedi con cura gli enunciati dei teoremi studiati
→
Controlla se conosci i termini inseriti nel glossario
→
Rifai gli esercizi svolti del libro di testo, controllando se fai errori
→
Svolgi i seguenti esercizi
→
Correggili, utilizzando la correzione
ESERCIZIO 1
Completa il disegno, ipotesi e tesi e la colonna di destra con le opportune giustificazioni
Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Sui lati AC e BC prendi due punti P e Q tali che AP≅QB. Siano s e
t le perpendicolari ai lati rispettivamente in P e Q, sia O il loro punto d’intersezione, siano E ed F le rispettive
intersezioni con la base del triangolo. Dimostrare che
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
CPQ è un triangolo isoscele
OPQ è un triangolo isoscele
OFE è un triangolo isoscele
ABQP è un trapezio isoscele
l’angolo AF̂O è congruente all’angolo BÊO
l’angolo PÔF è congruente all’angolo QÔE
MNKH è un trapezio isoscele (H e K sono rispettivamente le intersezioni delle rette rAC e rBC con t e s;
M ed N sono i punti medi di CP e CQ)
Ipotesi
Tesi
1.
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7.
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
Dimostrazione
Detto r l’asse di simmetria del triangolo ABC esiste perché ogni triangolo …
Sr: A ↔ B ∧ C ↔ C
Sr: P ↔ X
dove il punto X
− deve appartenere a BC
− deve essere AP≅BX
⇒ X≡Q
Allora risulta
Sr: P ↔ Q ∧ C ↔ C
⇒ CP≅CQ
perché …
perché …
essendo …
perché …
CVD1
Sr: P ↔ Q ∧ AC ↔ BC
Sr: s ↔ x
dove la retta x
− deve passare per Q
− deve essere perpendicolare a BC
⇒ x=t
per dimostrazioni precedenti
che è l’immagine di P
perché …
per …
Quindi
Sr: s ↔ t
ed essendo {O}=s∩t
⇒ O∈r
per …
Teorema: …
Concludendo
Sr: P ↔ Q
Sr: O ↔ O
perché …
⇒ OP≅OQ
CVD2 perché…
Sappiamo che
Sr: s ↔ t
Sr: rAB ↔ rAB
Quindi
Sr: E ↔ F
Per dimostrazione2
perché …
perché …
Poiché
Sr: E ↔ F ∧ O ↔ O
⇒ OE≅OF
perché …
CVD3
Risulta, per le precedenti dimostrazioni, che
AB⊥r ∧ PQ⊥r.
Quindi
AB//PQ.
perché …
Teorema:
per …
per …
Inoltre PA≅QB
e quindi il trapezio è isoscele
CVD4
Sappiamo che
Sr: AF̂O ↔ BÊO
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per le corrispondenze precedentemente dimostrate
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
⇒ AF̂O ≅ BÊO .
Oppure
perché …
per …
Il triangolo OFE è isoscele.
Quindi
EF̂O ≅ FÊO
⇒ AF̂O ≅ BÊO
perché …
CVD5
perché …
Risulta
PÔF ≅ QÔE
perché …
CVD6
Sappiamo che
Sr: s ↔ t
Sr: rAC ↔ rBC
Quindi
Sr: H ↔ K
Per dimostrazione2
perché …
perché …
Inoltre, poichè
Sr: A ↔ B ∧ C ↔ C
⇒ Sr: M ↔ N
perché …
perché …
Quindi
HK⊥r ∧ MN⊥r
perché …
MN//HK.
Teorema:
e allora
Inoltre, siccome
Sr: H ↔ K ∧ M ↔ N
⇒ MH≅NK
perché …
CVD7
ESERCIZIO 2
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e sia P un punto del lato AC. La retta r parallela ad AB condotta
per P intersechi BC in Q. Le parallele x ed y condotte per il punto medio H di AB rispettivamente a BC ed
AC, intersecano r in A’ e B’. Dimostra che
1. A’B’H è un triangolo isoscele
2. i segmenti A’P e B’Q sono congruenti
Detti poi M e N i punti medi di AP e BQ, dimostra che
3. ABNM è un trapezio isoscele, le cui diagonali si incontrano su CH.
ESERCIZIO 3
Sia ABC un triangolo rettangolo in B e BH l’altezza relativa ad AC. Costruisci nel semipiano di frontiera BC a
)
)
cui non appartiene A, l’angolo BCD congruente all’angolo ACB essendo D appartenente alla retta AB.
Traccia da B la retta t perpendicolare a CD che interseca DC in K. Dimostra che:
1. ACD è isoscele
2. il triangolo ABH è congruente a BDK
3. AHKD è un trapezio isoscele
Tracciata la bisettrice dell’angolo interno di vertice D del triangolo ADC e detto P il suo punto di intersezione
con BC, le semirette di origine A passanti rispettivamente per D e per C si corrispondono in una simmetria
assiale.
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
ESERCIZIO 4
ABC è un triangolo isoscele sulla base AB e ha la base come lato maggiore. La retta r, condotta dal punto
medio M del lato AC e ad esso perpendicolare, interseca la retta rBC in E; la retta s, condotta dal punto medio
N del lato BC e ad esso perpendicolare, interseca la retta rAC in D. Sia K il punto di intersezione fra r e s e
siano F e G le proiezioni ortogonali dei punti D ed E sulla retta rAB.
Dimostra che
1. K è il …………………….. di ABC
2. il segmento MN è parallelo alla base AB
∧
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
∧
gli angoli A C K e B C K sono congruenti
gli angoli CD̂E e CÊD sono congruenti
i triangoli DMK e KNE hanno gli angoli ordinatamente congruenti
la retta rCK è perpendicolare a DE
i segmenti FD e GE sono paralleli e congruenti
il quadrilatero FGNM è un trapezio isoscele
NE<DN<CE
CH<HB avendo indicato con H il punto in cui la retta parallela a s condotta da A interseca CB
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