Ingegneria Edile e Edile-Architettura Test di Geometria e Algebra

Ingegneria Edile e Edile-Architettura
Test di Geometria e Algebra
penalità
totale
18 gennaio 2012 – tempo a disposizione : 30 minuti
(Cognome)
Esercizio 1.
(Nome)
PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ;
(Numero di matricola)
errata = da -3 a +3 ;
esatta = +4
• Sia V uno spazio vettoriale su R e sia h·, ·i un prodotto scalare definito positivo su V ; una base {v1 , . . . , vn } di
V si dice ortonormale se
Esercizio 2.
PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ;
risposta esatta = +2 ;
risposta sbagliata = −2
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione
Vera
Falsa
(1 + i)2 − (1 − i)2 = 4i
v1 , v2 , v3 ∈ R3 linearmente indipendenti =⇒ formano una base di R3
H, K sottospazi di R5 , H 6= K, dim(H ∩ K) > 2 =⇒ dim H + K ≥ 4
f : R3 → R2 lineare, dim Kerf = 1 =⇒ f surgettiva
A, B matrici 4 × 4 =⇒ det(ABAB) = 2 det(AB)
f : R4 → R4 lineare, v, w ∈ R4 autovettori per f =⇒ v + w autovettore per f
u, v ∈ R3 vettori isotropi per il prodotto scalare h·, ·i =⇒
1
2 hv, wi
v+w
= h v+w
2 , 2 i
h·, ·i prodotto scalare non degenere =⇒ non ammette vettori isotropi.
Esercizio 3.
PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ;
risposta esatta = +2
risposta errata = −1
• z = 2 log 2 − 73 πi =⇒ ez =
• Siano V = {p(x) ∈ R[x] | degp(x) ≤ 2}, f : V → V data da f (p(x)) = (x + 1)p0 (x).




La matrice di f rispetto alla base {1, x, x2 } è 


x1






 





x
x
+
x
−
x
2
1
2
3
=
; una base di Kerf è
• Sia f : R4 → R2 data da f 


 x3 
−x1 + x2 − x4


x4


1 2 1




• Il polinomio caratteristico della matrice  0 1 2  è


2 1 0

• Il prodotto scalare su R3 definito da
è :
definito
x1
 
y1


 


 

h x2  ,  y2 i = x1 y1 − 2x1 y2 − 2x2 y1 − x3 y3 + 2x3 y1 + 2x1 y3

 

x3
y3
indefinito e non degenere
degenere