Ingegneria Edile e Edile-Architettura Test di Geometria e Algebra penalità totale 18 gennaio 2012 – tempo a disposizione : 30 minuti (Cognome) Esercizio 1. (Nome) PUNTEGGIO : risposta mancante = -4 ; (Numero di matricola) errata = da -3 a +3 ; esatta = +4 • Sia V uno spazio vettoriale su R e sia h·, ·i un prodotto scalare definito positivo su V ; una base {v1 , . . . , vn } di V si dice ortonormale se Esercizio 2. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta esatta = +2 ; risposta sbagliata = −2 • Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: Proposizione Vera Falsa (1 + i)2 − (1 − i)2 = 4i v1 , v2 , v3 ∈ R3 linearmente indipendenti =⇒ formano una base di R3 H, K sottospazi di R5 , H 6= K, dim(H ∩ K) > 2 =⇒ dim H + K ≥ 4 f : R3 → R2 lineare, dim Kerf = 1 =⇒ f surgettiva A, B matrici 4 × 4 =⇒ det(ABAB) = 2 det(AB) f : R4 → R4 lineare, v, w ∈ R4 autovettori per f =⇒ v + w autovettore per f u, v ∈ R3 vettori isotropi per il prodotto scalare h·, ·i =⇒ 1 2 hv, wi v+w = h v+w 2 , 2 i h·, ·i prodotto scalare non degenere =⇒ non ammette vettori isotropi. Esercizio 3. PUNTEGGIO : risposta mancante = 0 ; risposta esatta = +2 risposta errata = −1 • z = 2 log 2 − 73 πi =⇒ ez = • Siano V = {p(x) ∈ R[x] | degp(x) ≤ 2}, f : V → V data da f (p(x)) = (x + 1)p0 (x). La matrice di f rispetto alla base {1, x, x2 } è x1 x x + x − x 2 1 2 3 = ; una base di Kerf è • Sia f : R4 → R2 data da f x3 −x1 + x2 − x4 x4 1 2 1 • Il polinomio caratteristico della matrice 0 1 2 è 2 1 0 • Il prodotto scalare su R3 definito da è : definito x1 y1 h x2 , y2 i = x1 y1 − 2x1 y2 − 2x2 y1 − x3 y3 + 2x3 y1 + 2x1 y3 x3 y3 indefinito e non degenere degenere