Soluzioni del compito di Fisica Generale I del 24 giugno 2016

FISICA GENERALE I Compito A
Cognome
Corso di Studi
Voto
9 crediti
1° appello estivo A.A. 2015-2016
Nome
Docente
10 crediti
24.06.2016
n. matr.
12 crediti
Esercizio n. 1 Un corpo puntiforme di massa m viene posto nel punto di quota minima
di una guida circolare ruvida di raggio R, disposta nel piano verticale. La guida ruota con
velocità angolare costante  intorno all’asse fisso orizzontale passante per il suo centro. La
massa viene trascinata dalla guida per la presenza dell’attrito statico fino alla quota
corrispondente alla rotazione di un angolo M rispetto alla verticale (vedi figura), oltre alla
quale il corpo comincia a scivolare rispetto alla guida. Calcolare il coefficiente d’attrito
statico s. Dati: R=50cm,  =6rad/s, M =45°.

M m
R 
Rispetto al sistema di riferimento fisso esterno:
lungo la direzione del versore normale: R N - mg cos  M  m 2 R

RN
lungo la direzione del versore tangente: FA - mg sen M  0
con
FA
M
FA   s R N
mg
Alla quota massima si ottiene:
s 
g sen M
 0.28
g cos  M   2 R
Esercizio n. 2 Un corpo è costituito da due dischi coassiali, raggi R e r, saldati tra
loro, entrambi di massa M. Il corpo rotola senza strisciare sotto l’azione di una fune
di massa trascurabile, passante intorno ad una guida fissa e liscia, e alla cui estremità
è agganciata una massa m come in figura. Calcolare a) l’accelerazione angolare del
disco; b) la tensione della fune. Si effettuino i calcoli per M = 4 kg m= 1kg, R = 20
cm, r = 10cm .
[Suggerimento: risolvere il problema rispetto all’asse di rotazione istantanea
passante per O]
M
r
M
m
R
O
Il momento d’inerzia del corpo disco-puleggia rispetto all’asse passante per il punto di contatto O:
IO 
M
( 5R 2  r 2 )  0.42 kg m 2
2
Dall’equazione dei momenti rispetto a O per il corpo disco-puleggia e da quella delle forze agenti su m,
essendo e T1  T2  T , si ottiene
( R  r ) T  I O

mg  T  m am
;
dove  è l' accelerazi one angolare
Con la condizione che am  ( R  r )
T1
r
T2
Pertanto :
mgI O

T

 8.1N

m( R  r ) 2  I O


  mg ( R  r )  5.8rad / s 2

m( R  r ) 2  I O
R
O
mg
Esercizio n. 3 Un punto materiale di massa m è soggetto unicamente all’azione di una
forza centrale la cui energia potenziale è U(r)= Kr3, dove r è la distanza del punto
materiale dal centro delle forze, C. A un certo istante il punto occupa la posizione
caratterizzata dal vettore ro , rispetto a C, con velocità vo che forma un angolo α rispetto
a ro . Successivamente il punto materiale va ad occupare una posizione ad una distanza
r1 da C, dove la velocità v1 formerà un angolo  rispetto al vettore r1 , come mostrato in
figura. Calcolare i valori di : A) |v1| ; B) 
Eseguire i calcoli per m = 2 kg , K = 0.1 J/m3 , |ro| = 3m, |vo| = 2m/s, α = 30°, r1 = 3.5 m.

α
vo
v1
r1
ro C
La forza è centrale, pertanto dalla conservazione del momento angolare rispetto al polo C
mvo ro sen α  mv1 r1 sen β
dalla conservazione dell’energia meccanica
1
1
mv o2  Kro3  mv12  Kr13
2
2
si ottiene:
v1 
v 02 
sen β 
2
K(r03  r13 )  1.55 m/s
m
v o rosen α
v1 r1
 β  33.6
Esercizio n. 4 Una macchina termica costituita da n moli di gas ideale biatomico esegue un ciclo reversibile.
Il gas prima si espande con una trasformazione adiabatica dallo stato A allo stato B, successivamente viene
compresso a pressione costante fino allo stato C e infine riportato con una trasformazione isocora nello stato
iniziale A. Calcolare a) la potenza media erogata in un ciclo di durata tc e b) il rendimento. Dati: n=2,
TA=400K, TC= 250K, tc=0.1s.
Per le trasformazioni AB e BC, considerando che 𝑉𝐴 = 𝑉𝐶 ,
1
𝑇𝐵 𝑉𝐵 𝛾−1 = 𝑇𝐴 𝑉𝐶 𝛾−1
𝑇 𝛾
1
5

𝑇𝐵 = (𝑇𝐴 ) 𝑇𝐶 = 350 𝐾 ;  = 7
{
𝑉𝐵
𝑉𝐶
=
𝐶
𝑇
𝑇
𝐵
𝐶
p
A
W  WAB  WBC   ncV (TB  TA )  nR(TC  TB )  415 J
P
W
 4.15 kW
tc
C
B
V
Qass  QCA  ncV (TA  TC )  6.24 kJ

W
 0.069
Qass
FISICA GENERALE I compito B
1° appello estico A.A. 2015-2016
24.06.2016
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
9 crediti
10 crediti
12 crediti
Esercizio n. 1 Un corpo puntiforme di massa m è vincolato a muoversi lungo una guida circolare
ω
ruvida di raggio R disposta nel piano verticale. La guida ruota con velocità angolare costante ω,
intorno ad un asse diametrale verticale come in figura. Se il corpo rimane in quiete, rispetto alla
guida, nella posizione contraddistinta da un angolo α rispetto alla verticale, determinare : A) il
R
minimo valore necessario del coefficiente di attrito statico µs tra la guida e il corpo; B) il verso
α
della forza d’attrito necessaria
Eseguire i calcoli per per R = 50 cm, ω = 5 rad/s, α = 60°.
A) Imponendo l’equilibrio delle forze rispetto al sistema di riferimento solidale con la
guida:
ω
lungo il versore normale alla guida:
Rn - mg Cos( ) - m 2 r Sen( )  0
con
r  RSen( )
Fa
R
Rn
mω2r
α
lungo il versore tangente alla guida :
Fa - mg Sen( )  m 2 r Cos( )  0
si ottiene :
con
r
Fa   s R n
mg
g Sen( )   2 RSen( ) Cos( )
s 
 0.22
g Cos( )   2 R Sen 2 ( )
B) La forza di attrito statico deve essere orientato come in figura in quanto, con il valore
della velocità angolare della guida fornito, in assenza dell’attrito il corpo
scivolerebbe lungo la guida verso il basso.
Esercizio n. 2 Un corpo è costituito da un disco di massa M e raggio R e da un’asta di
massa m e lunghezza R saldati insieme come illustrato in figura. Il corpo è libero di ruotare
intorno ad un asse orizzontale passante per il centro C del disco. Il corpo è inizialmente in
equilibrio nella posizione illustrata in figura. Se il corpo viene fatto ruotare rispetto a tale
posizione e quindi lasciato libero, A) calcolare il periodo delle susseguenti piccole
oscillazioni. Se l’ampiezza del moto è A, B) calcolare la velocità angolare f con cui il
corpo ripassa per la posizione corrispondente all’orientazione verticale dell’asta.
Si effettuino i calcoli per M = 4 kg e R = 50 cm, m = 200 g , A = 6°.
C
A) Proiettando lungo la normale uscente dal foglio l’equazione dei momenti rispetto al centro del disco C:
R
d 2
R2 1
Sen( )  I tot
con
I

M
 mR 2  0.517 kg m 2
tot
2
2
2
3
dt
per piccole oscillazioni : Sen( )  
 mg
pertanto :
d 2
mgR

 , da cui : T  2
2
2 I tot
dt
2 I tot
 6.45 s
mgR
B) Dalla conservazione dell’energia meccanica :
Da cui  f 
1
R
I tot 2f  mg (1  Cos ( A ))
2
2
mgR(1  Cos ( A ))
 0.1 rad/s
I tot
C
R

mg
Esercizio n. 3 Dalla superficie di un pianeta di raggio R e massa M, viene lanciato un
corpo puntiforme di massa m con una velocità iniziale vo formante un angolo α rispetto
alla normale locale. Se il corpo, sotto l’azione della forza gravitazionale, raggiunge il
punto di inversione del moto ad una distanza perpendicolare dalla superficie del pianeta
pari a R, come mostrato in figura, calcolare il valore di vo.
Eseguire i calcoli per M = 6x1024 kg, e R = 6000 km, costante gravitazionale
G = 6.7x10-11 Nm2/kg2, α = 30°.
vo
α
R
R C
La forza gravitazionale è una forza centrale, pertanto dalla conservazione del
momento angolare rispetto al polo C:
vi
mv o RSen( )  mv i 2 R
vo
R
α
dalla conservazione dell’energia meccanica:
1
GMm
1
GMm
mv o2 
 mv i2 
2
R
2
2R
R
C
vo 
pertanto:
4MG
R(4 - Sen 2 ( ) )
 8.44  10 3 m/s
Esercizio n. 4 Una macchina termica esegue il ciclo mostrato in figura utilizzando un
gas perfetto biatomico. Calcolare il rendimento della macchina
.
p
2po
po
A
C
Vo
Il lavoro è l’area racchiusa dalla figura del ciclo :
L
poVo
2
Qass  Q AB  QCA  nc p (TB  TA )  ncv (TA  TC )  c p

poVo
L
1

 0.052
Qass
2 (7 poVo  2.5 poVo )
B
poVo
pV
(4  2)  c v o o (2  1)
R
R
2Vo
V