FISICA GENERALE I Compito A Cognome Corso di Studi Voto 9 crediti 1° appello estivo A.A. 2015-2016 Nome Docente 10 crediti 24.06.2016 n. matr. 12 crediti Esercizio n. 1 Un corpo puntiforme di massa m viene posto nel punto di quota minima di una guida circolare ruvida di raggio R, disposta nel piano verticale. La guida ruota con velocità angolare costante intorno all’asse fisso orizzontale passante per il suo centro. La massa viene trascinata dalla guida per la presenza dell’attrito statico fino alla quota corrispondente alla rotazione di un angolo M rispetto alla verticale (vedi figura), oltre alla quale il corpo comincia a scivolare rispetto alla guida. Calcolare il coefficiente d’attrito statico s. Dati: R=50cm, =6rad/s, M =45°. M m R Rispetto al sistema di riferimento fisso esterno: lungo la direzione del versore normale: R N - mg cos M m 2 R RN lungo la direzione del versore tangente: FA - mg sen M 0 con FA M FA s R N mg Alla quota massima si ottiene: s g sen M 0.28 g cos M 2 R Esercizio n. 2 Un corpo è costituito da due dischi coassiali, raggi R e r, saldati tra loro, entrambi di massa M. Il corpo rotola senza strisciare sotto l’azione di una fune di massa trascurabile, passante intorno ad una guida fissa e liscia, e alla cui estremità è agganciata una massa m come in figura. Calcolare a) l’accelerazione angolare del disco; b) la tensione della fune. Si effettuino i calcoli per M = 4 kg m= 1kg, R = 20 cm, r = 10cm . [Suggerimento: risolvere il problema rispetto all’asse di rotazione istantanea passante per O] M r M m R O Il momento d’inerzia del corpo disco-puleggia rispetto all’asse passante per il punto di contatto O: IO M ( 5R 2 r 2 ) 0.42 kg m 2 2 Dall’equazione dei momenti rispetto a O per il corpo disco-puleggia e da quella delle forze agenti su m, essendo e T1 T2 T , si ottiene ( R r ) T I O mg T m am ; dove è l' accelerazi one angolare Con la condizione che am ( R r ) T1 r T2 Pertanto : mgI O T 8.1N m( R r ) 2 I O mg ( R r ) 5.8rad / s 2 m( R r ) 2 I O R O mg Esercizio n. 3 Un punto materiale di massa m è soggetto unicamente all’azione di una forza centrale la cui energia potenziale è U(r)= Kr3, dove r è la distanza del punto materiale dal centro delle forze, C. A un certo istante il punto occupa la posizione caratterizzata dal vettore ro , rispetto a C, con velocità vo che forma un angolo α rispetto a ro . Successivamente il punto materiale va ad occupare una posizione ad una distanza r1 da C, dove la velocità v1 formerà un angolo rispetto al vettore r1 , come mostrato in figura. Calcolare i valori di : A) |v1| ; B) Eseguire i calcoli per m = 2 kg , K = 0.1 J/m3 , |ro| = 3m, |vo| = 2m/s, α = 30°, r1 = 3.5 m. α vo v1 r1 ro C La forza è centrale, pertanto dalla conservazione del momento angolare rispetto al polo C mvo ro sen α mv1 r1 sen β dalla conservazione dell’energia meccanica 1 1 mv o2 Kro3 mv12 Kr13 2 2 si ottiene: v1 v 02 sen β 2 K(r03 r13 ) 1.55 m/s m v o rosen α v1 r1 β 33.6 Esercizio n. 4 Una macchina termica costituita da n moli di gas ideale biatomico esegue un ciclo reversibile. Il gas prima si espande con una trasformazione adiabatica dallo stato A allo stato B, successivamente viene compresso a pressione costante fino allo stato C e infine riportato con una trasformazione isocora nello stato iniziale A. Calcolare a) la potenza media erogata in un ciclo di durata tc e b) il rendimento. Dati: n=2, TA=400K, TC= 250K, tc=0.1s. Per le trasformazioni AB e BC, considerando che 𝑉𝐴 = 𝑉𝐶 , 1 𝑇𝐵 𝑉𝐵 𝛾−1 = 𝑇𝐴 𝑉𝐶 𝛾−1 𝑇 𝛾 1 5 𝑇𝐵 = (𝑇𝐴 ) 𝑇𝐶 = 350 𝐾 ; = 7 { 𝑉𝐵 𝑉𝐶 = 𝐶 𝑇 𝑇 𝐵 𝐶 p A W WAB WBC ncV (TB TA ) nR(TC TB ) 415 J P W 4.15 kW tc C B V Qass QCA ncV (TA TC ) 6.24 kJ W 0.069 Qass FISICA GENERALE I compito B 1° appello estico A.A. 2015-2016 24.06.2016 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un corpo puntiforme di massa m è vincolato a muoversi lungo una guida circolare ω ruvida di raggio R disposta nel piano verticale. La guida ruota con velocità angolare costante ω, intorno ad un asse diametrale verticale come in figura. Se il corpo rimane in quiete, rispetto alla guida, nella posizione contraddistinta da un angolo α rispetto alla verticale, determinare : A) il R minimo valore necessario del coefficiente di attrito statico µs tra la guida e il corpo; B) il verso α della forza d’attrito necessaria Eseguire i calcoli per per R = 50 cm, ω = 5 rad/s, α = 60°. A) Imponendo l’equilibrio delle forze rispetto al sistema di riferimento solidale con la guida: ω lungo il versore normale alla guida: Rn - mg Cos( ) - m 2 r Sen( ) 0 con r RSen( ) Fa R Rn mω2r α lungo il versore tangente alla guida : Fa - mg Sen( ) m 2 r Cos( ) 0 si ottiene : con r Fa s R n mg g Sen( ) 2 RSen( ) Cos( ) s 0.22 g Cos( ) 2 R Sen 2 ( ) B) La forza di attrito statico deve essere orientato come in figura in quanto, con il valore della velocità angolare della guida fornito, in assenza dell’attrito il corpo scivolerebbe lungo la guida verso il basso. Esercizio n. 2 Un corpo è costituito da un disco di massa M e raggio R e da un’asta di massa m e lunghezza R saldati insieme come illustrato in figura. Il corpo è libero di ruotare intorno ad un asse orizzontale passante per il centro C del disco. Il corpo è inizialmente in equilibrio nella posizione illustrata in figura. Se il corpo viene fatto ruotare rispetto a tale posizione e quindi lasciato libero, A) calcolare il periodo delle susseguenti piccole oscillazioni. Se l’ampiezza del moto è A, B) calcolare la velocità angolare f con cui il corpo ripassa per la posizione corrispondente all’orientazione verticale dell’asta. Si effettuino i calcoli per M = 4 kg e R = 50 cm, m = 200 g , A = 6°. C A) Proiettando lungo la normale uscente dal foglio l’equazione dei momenti rispetto al centro del disco C: R d 2 R2 1 Sen( ) I tot con I M mR 2 0.517 kg m 2 tot 2 2 2 3 dt per piccole oscillazioni : Sen( ) mg pertanto : d 2 mgR , da cui : T 2 2 2 I tot dt 2 I tot 6.45 s mgR B) Dalla conservazione dell’energia meccanica : Da cui f 1 R I tot 2f mg (1 Cos ( A )) 2 2 mgR(1 Cos ( A )) 0.1 rad/s I tot C R mg Esercizio n. 3 Dalla superficie di un pianeta di raggio R e massa M, viene lanciato un corpo puntiforme di massa m con una velocità iniziale vo formante un angolo α rispetto alla normale locale. Se il corpo, sotto l’azione della forza gravitazionale, raggiunge il punto di inversione del moto ad una distanza perpendicolare dalla superficie del pianeta pari a R, come mostrato in figura, calcolare il valore di vo. Eseguire i calcoli per M = 6x1024 kg, e R = 6000 km, costante gravitazionale G = 6.7x10-11 Nm2/kg2, α = 30°. vo α R R C La forza gravitazionale è una forza centrale, pertanto dalla conservazione del momento angolare rispetto al polo C: vi mv o RSen( ) mv i 2 R vo R α dalla conservazione dell’energia meccanica: 1 GMm 1 GMm mv o2 mv i2 2 R 2 2R R C vo pertanto: 4MG R(4 - Sen 2 ( ) ) 8.44 10 3 m/s Esercizio n. 4 Una macchina termica esegue il ciclo mostrato in figura utilizzando un gas perfetto biatomico. Calcolare il rendimento della macchina . p 2po po A C Vo Il lavoro è l’area racchiusa dalla figura del ciclo : L poVo 2 Qass Q AB QCA nc p (TB TA ) ncv (TA TC ) c p poVo L 1 0.052 Qass 2 (7 poVo 2.5 poVo ) B poVo pV (4 2) c v o o (2 1) R R 2Vo V