COMPLEMENTI DI MATEMATICA
PROVA SCRITTA
(17 luglio 2012 )
1) Assegnati i nodi x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2 e i valori
y0 = −1, y1 = 0, y2 = 2, x3 = 1, y4 = 0, costruire il polinomio dei
minimi quadrati discreti di grado 1 e verificare che passa per il punto di
coordinate (Mx , My ), dove
1∑
Mx =
xi ,
5 i=0
4
2) Si consideri il sistema lineare Ax = f
α 2
A = 1 2α
1 2
1∑
My =
yi .
5 i=0
4
con f ∈ R3 e
1
1 α=
̸ 0.
α
Calcolare ∥A∥1 , ∥A∥∞ .
Determinare inoltre per quali valori di α ∈ R:
2.1) A è non singolare;
2.2) A è diagonalmente dominante;
Costruire la matrice di iterazione BJ del metodo di Jacobi e stabilire per
quali valori di α le quantità ∥BJ ∥1 che ∥BJ ∥∞ risultano minori di 1.
3) E’ dato l’integrale definito:
∫
1
I=
−1
(8x3 − 3x2 + 1) dx.
Calcolare il valore esatto e confrontarlo con il valore approssimato ottenuto utilizzando la formula dei trapezi semplice e la formula di CavalieriSimpson semplice. Commentare i risultati ottenuti.
Stimare quanti sottointervalli sono necessari affinchè l’errore assoluto relativo all’approssimazione con il metodo dei trapezi compositi sia inferiore
a 10−4 .
