Integrazione numerica - Dipartimento di Matematica

Complementi di Matematica
e Calcolo Numerico
A.A. 20013-2014
Laboratorio 7 - Integrazione numerica
Data una funzione f a valori reali per calcolare
fornisce la funzione predefinita quad
Sintassi: q=quad(f,a,b,tol)
input: f
Rb
a
f (x) dx, Matlab
funzione integranda
a, b
estremi di integrazione
tol
tolleranza per l’errore ( default : 1e − 6)
output: q
approssimazione dell’integrale
Esercizio 1
R5 1
Approssimare l’ integrale −5 1+x2 dx (= arctg(5) − arctg(−5))
con la funzione quad di Matlab: prima con la precisione di default
poi richiedendo una precisione di 1e-10; in ogni caso calcolare
l’errore assoluto e verificare che corrisponda all’ordine di precisione
imposta.
(N.B. arctg −→ atan in Matlab)
Formule di quadratura semplici per approssimare
sono ad esempio:
Ipm(f ) = (b − a) f ( a+b
2 )
It(f ) =
(b−a)
2
Isim(f ) =
a
f (x) dx
Punto medio
(f (a) + f (b))
(b−a)
6
Rb
Trapezi
(f (a) + 4f ( a+b
2 ) + f (b)) Cavalieri − Simpson
Def: Una formula di quadratura si dice che ha grado di precisione p se è esatta per polinomi di grado minore o uguale a p,
ovvero
Z b
f (x) dx ∀f ∈ Pp
I(f ) =
a
Le formule del punto medio e dei trapezi hanno grado di precisione
1 la formula di Simpson ha grado di precisione 3.
Esercizio 2
Assegnati i seguenti integrali:
Z
Z 5
Z 5
5x2 − 3x + 8 dx;
7x − 5, dx;
−2
−2
5
3x3 − 2x2 + 5x − 1 dx
−2
scegliere in maniera appropriata una tra le seguenti formule di
quadratura semlici: punto medio, trapezi e Simpson e calcolare gli
integrali indicati. Confrontare il risultato con la soluzione esatta
calcolata utilizzando il comando polyint.
2
Formula dei trapezi
composita
Rb
Per approssimare a f (x) dx con la formula dei trapezi composita,
si considerano i punti di coordinate (xk , yk ), x1 = a ≤ x2 ≤ · · · ≤
xm+1 = b, yk = f (xk ) e si calcola la quantità:
ITc =
m
X
hk
k=1
2
(f (xk ) + f (xk+1))
dove hk = (xk+1 − xk ), k = 1, . . . m
Matlab fornisce la funzione di libreria trapz che implementa tale
metodo.
Sintassi: int=trapz(x,y)
input: x
nodi di quadratura
y = f (x)
output: int
funzione integranda nei nodi di quadratura
approssimazione dell’integrale
Esercizio 3
Si approssimino i seguenti integrali (tra parentesi i valori esatti):
R π/2
(= 1)
• 0 sin(x) dx
R 10
• −10 cos(x) esin(x) dx
(= esin(10) − e− sin(10))
R2 1
x
• 1 x + e dx
(= log(2) + e2 − e)
R5 1
• 0 1+x
(= arctan(5))
2 dx
3
A tal scopo si consideri una suddivisione dell’intervallo di integrazione [a, b] in m sottontervalli di uguale ampiezza H = b−a
m
e si utilizzi il metodo dei trapezi compositi per diversi valori di
m = 10, 100, 1000, 10000. Per ogni integrale si calcoli l’errore
assoluto e si compili la seguente tabella
m Errore assoluto
10
100
1000
10000
Si verifichi che l’errore è O(H 2).
Formula del punto
R b medio composito
Per approssimare a f (x) dx con la formula del punto medio composita, possiamo suddividere l’intervallo di integrazione [a, b] in m
sottointervalli di uguale ampiezza H = b−a
m individuati dai punti
xk = a + (k − 1) H, k = 1, . . . , m + 1 e calcolare la quantità:
IPc M
=H
m
X
k=1
f (xk +
H
),
2
(Si osservi che la funzione integranda va valutata nei punti medi
dei sottointervalli di ampiezza H).
4
Esercizio
Si scriva una funzione che, ricevuti in ingresso la funzione f , gli
estremi di integrazione
a, b, e il numero di sottointervalli m ≥ 1,
Rb
approssimi a f (x) dx con la formula del punto medio composito
Metodo di Simpson
composito
Rb
Per approssimare a f (x) dx con la formula di Cavalieri-Simpson
composita, possiamo suddividere l’intervallo di integrazione [a, b]
in m sottointervalli di uguale ampiezza H = b−a
m individuati dai
punti xk = a+(k−1) H, k = 1, . . . , m+1 e calcolare la quantità:
"
#
m
m
X
X
H
H
c
ISIM
=
f (x1) + 2
f (xk ) + 4
f (xk + ) + f (xm+1)
6
2
k=2
k=1
(Si osservi che la funzione integranda va valutata sia negli estremi
che nei punti medi dei sottointervalli di ampiezza H).
Esercizio
Si scriva una funzione che, ricevuti in ingresso la funzione f , gli
estermi di integrazione
a, b, e il numero di sottointervalli m ≥ 1,
Rb
approssimi a f (x) dx con la formula di Simpson composito.
Esercizio 4
Si approssimino gli integrali nell’Esercizio 3 ripetendo quanto richiesto
ma con i codici sviluppati per i metodi del punto medio e di Simpson compositi. Si calcoli il valore assoluto dell’errore commesso e si
compili la seguente tabella per ciascun integrale e ciascun metodo.
5
m Errore assoluto
10
100
1000
10000
Si verifichi che l’errore è O(H 2) per il metodo del punto medio e
b−a
.
che l’errore è O(H 4) per il metodo di Simpson, con H =
m
6