In molti problemi fisici, ingegneristici,
probabilistici o economici, può capitare
che la soluzione cercata consista nel
calcolo dell’area sottesa da una
funzione.
Occorre quindi calcolare un integrale
definito
Possono sorgere le seguenti
difficoltà:
Non è possibile determinare una primitiva di f(x)
malgrado sia una funzione continua.
L’individuazione della primitiva è particolarmente
laboriosa o presenta una forma assai complessa e poco
pratica per il calcolo.
La funzione integranda è una funzione empirica e si
conoscono solo alcuni punti rilevati sperimentalmente,
oppure se ne conosce solo il grafico tracciato da
opportuni strumenti.
In questi casi viene in aiuto
l’ANALISI NUMERICA
fornendo dei metodi per ottenere:
•Un valore approssimato dell’integrale da calcolare
•Una stima dell’errore commesso
L’integrazione numerica è una “procedura di calcolo
approssimato degli integrali definiti” che ci permette
di calcolare un integrale definito di una funzione f(x)
in [a,b] quando non è possibile ricorrere alla formula
di Newton Leibnitz
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
Quasi tutti questi metodi si basano
sull’idea di dividere l’intervallo di
integrazione in intervalli più piccoli, stimare
l’integrale su ciascun intervallo sfruttando il
fatto che sono piccoli e risommare il
contributo di tutti gli intervalli.
Quanti metodi ?!?
1
• Metodo dei
rettangoli
2
3
• Metodo dei
trapezi
• Metodo di
CavalieriSimpson o
delle parabole
L’integrale definito di una f(x) in un intervallo chiuso [a,b] esprime
l’ area racchiusa dal grafico di f(x), dall’asse delle x e dalle rette
x = a e x = b (supponiamo f(x) >0),quindi si ricorre ad un metodo
di calcolo approssimato dell’area sottesa da una funzione che
approssima quella data e di cui si sa calcolare la primitiva.
Possono verificarsi i tre casi:
1. La funzione viene approssimata da una f(x) costante a
tratti,graficamente una funzione a scala (metodo dei RETTANGOLI)
2. La funzione viene approssimata da una funzione di primo grado,
graficamente una spezzata (metodo dei TRAPEZI)
3. La funzione viene approssimata da una funzione di secondo grado,
graficamente una successione di parabole (metodo delle
PARABOLE)
METODO DEI RETTANGOLI
y
y = f(x)
a=x1
x2
x3
…………….…… xn-1=b
x
A = h * [ f(x0) + f(x1) +f (x2) +… + f(xn-1) ]
Procedimento
Si suddivide l’intervallo [a,b] in n parti uguali
L’ampiezza di ogni intervallo è h = (b-a)/n
e viene detto
passo d’integrazione
Gli estremi di tali intervalli sono:
x0= a, x1=a+h, x2=a+2h,… xi =a+ih, xn =a+nh=b
Si definisce g(x) = f(xi ) ,valore assunto da f nell’estremo
sinistro dell’intervallo, per ogni x є [xi , xi+1],
L’area sottesa da g(x) è l’area del plurirettangolo
somma dei rettangoli ,di base h e altezza f(xi ), ciascuno
A = h * [ f(x0) + f(x1) +f (x2) +… + f(xn-1) ]
Una precisazione
Si può definire altrimenti g(x) = f(xi+1 ) , valore
assunto da f nell’estremo destro dell’intervallo,
per ogni x є [xi , xi+1],
L’area sottesa da g(x) è l’area del plurirettangolo
somma dei rettangoli ,di base h e altezza f(xi+1 )
ciascuno
A = h * [ f(x1) + f(x2) +f (x3) +… + f(xn) ]
In definitiva, I=A= h*∑ f(xi)
Valutazione dell’errore
Quando si esegue un calcolo approssimato, è bene
ridurre l’errore che si commette, cercando di
evitare una suddivisione inappropriata, ad esempio
conviene scegliere n=2k ,o n=5k ,o n= 10k
per avere quozienti esatti.
Nel nostro caso si stima l’errore
b a
2
E
2n
max
x0 x x n
f ' ' ( x)
Il metodo dei trapezi consiste nel:
Suddividere l’intervallo di integrazione [a,b] in un
certo numero n di parti uguali
Approssimare la funzione, in ciascun intervallino di
suddivisione, con la retta che passa per i suoi punti
estremi
Sommare le aree dei trapezi così individuati tutti di
altezza h=(b-a)/n detto passo di integrazione
Graficamente per n=4:
a=x0
x1
x2
x3
X4=b
h 3
In formula: I f ( xi 1 ) f ( xi )
2 i 0
L'approssimazione sarà tanto più buona
quanto maggiore sarà il numero n di trapezi
ovvero tanto più piccola sarà la distanza h
In generale:
n 1
h
I f ( xi 1 ) f ( xi )
2 i 0
Il metodo dei trapezi comporta un errore
b a
E
3
12n
2
max
f ' ' ( x)
x0 x x n
E’ esatto se la funzione è o una costante o lineare in x
Il metodo delle parabole
o di Cavalieri-Simpson
consiste nel:
•Suddividere l’intervallo di integrazione [a,b] in un numero
2n di parti uguali ciascuno di ampiezza h = (b-a)/2n
•Tracciare il punto medio di ciascun intervallino di
suddivisione
•Approssimare la funzione, in ciascun intervallino di
suddivisione, con la parabola che passa per i suoi punti
estremi e per il suo punto medio
•Calcolare l’area della parte di piano sottesa da ciascuna
parabola nel proprio intervallo
•Sommare le aree trovate
Una sequenza di calcoli che tralasciamo
porta alla formula:
1
I h y 0 y 2 n 4 y1 y3 ... y 2 n 1 2 y 2 y 4 ... y 2 n2
3
Il metodo delle parabole comporta un
errore
b a
5
E
2880n
4
max
f
( 4)
( x)
x0 x x n
Nel caso di funzioni con andamento “molto
regolare“ il metodo delle parabole dà delle
approssimazioni molto buone.
Vantaggi ed inconvenienti
Il metodo è abbastanza semplice, perché i valori degli
“f(xi)” si possono calcolare analiticamente o dedurre
dal grafico o dai valori in tabella se si tratta di funzioni
empiriche.
Tanto maggiore è il numero n ,e quanto più è piccolo h,
(n→∞,e h→0 ),tanto maggiore è l’approssimazione
perché si riduce l’errore.
Otterremo espressioni approssimate riducendo l’errore
se in luogo della funzione a scala sceglieremo curve
che si avvicinino di più alla curva, con altri metodi.
