Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A. 20010

Complementi di Matematica
e Calcolo Numerico
A.A. 20010-2011
Laboratorio 10 - Integrazione numerica
Data una funzione f a valori reali per calcolare
fornisce la funzione predefinita quad
Sintassi: q=quad(f,a,b,tol)
input: f
Rb
a
f (x) dx, Matlab
funzione integranda
a, b
estremi di integrazione
tol
tolleranza per l’errore ( default : 1e − 6)
output: q
approssimazione dell’integrale
Esercizio 1
R5 1
Approssimare l’ integrale −5 1+x2 dx con la funzione quad di Matlab: prima con la precisione di default poi richiedendo una precisione di 1e-10; in ogni caso calcolare l’errore assoluto e verificare
che corrisponda all’ordine di precisione imposta.
Formule dei rettangoli
a sinistra e a destra composite
Rb
Per approssimare a f (x) dx con le formule dei rettangoli a sinistra e a destra composite, si considerano i punti di coordinate
(xk , yk ), x1 = a ≤ x2 ≤ · · · ≤ xm+1 = b, yk = f (xk ) e si
calcolano rispettivamente le quantità:
c
IRs
=
m
X
c
IRd
hk f (xk ),
=
m
X
hk f (xk+1 )
k=1
k=1
dove hk = (xk+1 − xk ), k = 1, . . . m
Esempio
Assegnata per punti la seguente funzione
x -5 -4 -1.5 0 1.5 3 6
y 1.5 2 -1 2.5 1 -2 3
utilizzando Matlab approssimiamo l’integrale definito tra −5 e 6
con i metodi dei rettangoli a sinistra e a destra:
>>
>>
>>
>>
>>
x=[-5 -4 -1.5 0 1.5 3
y=[1.5 2 -1 2.5 1 -2 3]
H=diff(x);
IRS=sum(H.*y(1:end-1));
IRD=sum(H.*y(2:end));
2
6];
Formula dei trapezi
composita
Rb
Per approssimare a f (x) dx con la formula dei trapezi composita,
si considerano ancora i punti di coordinate (xk , yk ), x1 = a ≤
x2 ≤ · · · ≤ xm+1 = b, yk = f (xk ) e si calcola la quantità:
ITc =
m
X
hk
k=1
2
(f (xk ) + f (xk+1))
dove hk = (xk+1 − xk ), k = 1, . . . m
Matlab fornisce la funzione di libreria trapz che implementa tale
metodo.
Sintassi: int=trapz(x,y)
input: x
nodi di quadratura
y = f (x)
output: int
funzione integranda nei nodi di quadratura
approssimazione dell’integrale
Esercizio 2
Si approssimino i seguenti integrali (tra parentesi i valori esatti):
R π/2
(= 1)
• 0 sin(x) dx
R 10
• −10 cos(x) esin(x) dx
(= esin(10) − e− sin(10))
R2 1
x
• 1 x + e dx
(= log(2) + e2 − e)
R5 1
• 0 1+x
(= arctan(5))
2 dx
3
A tal scopo si consideri una suddivisione dell’intervallo di integrazione [a, b] in m sottontervalli di uguale ampiezza H = b−a
m e si
utilizzino i metodi dei rettangoli a sinistra e a destra e dei trapezi
compositi per diversi valori di m = 10, 100, 1000, 10000. Si calcoli
l’errore assoluto e si compili per ciascun metodo la seguente tabella
m Errore assoluto
10
100
1000
10000
Si verifichi che l’errore è O(H) per i rettangoli e O(H 2) per i
trapezi.
Esercizio 3
Rb
Per approssimare I = a f (x) dx si scriva una function che calcoli
ripetutamente l’integrale approssimato con la formula dei trapezi
composita utilizzando suddivisioni dell’intervallo di integrazione in
sottointervalli di uguale ampiezza sempre più fitte. Più precisamente a partire da m = 1 suddivisioni di [a, b] (e quindi a partire
dalla formula semplice) si raddoppi iterativamente il numero di
sottointervalli (m → 2m) si calcoli l’approssimazione I2m di I con
il metodo dei trapezi composito su 2m sottointervalli, fintanto che
l’errore stimato err ≈ |I2m − Im| non sia sceso al di sotto di una
tolleranza fissata toll=1e-6. Si testi il codice sull’ultimo integra4
le dell’esercizio precedente e si verifichi che l’errore risulti inferiore
alla precisione richiesta.
Formula del punto
R b medio composito
Per approssimare a f (x) dx con la formula del punto medio composita, possiamo suddividere l’intervallo di integrazione [a, b] in m
sottointervalli di uguale ampiezza H = b−a
m individuati dai punti
xk = a + (k − 1) H, k = 1, . . . , m + 1 e calcolare la quantità:
IPc M = H
m
X
f (xk +
k=1
H
),
2
(Si osservi che la funzione integranda va valutata nei punti medi
dei sottointervalli di ampiezza H).
Esercizio
Si scriva una funzione che, ricevuti in ingresso la funzione f , gli
estremi di integrazione
a, b, e il numero di sottointervalli m ≥ 1,
Rb
approssimi a f (x) dx con la formula del punto medio composito
Metodo di Simpson
composito
Rb
Per approssimare a f (x) dx con la formula di Cavalieri-Simpson
composita, possiamo suddividere l’intervallo di integrazione [a, b]
in m sottointervalli di uguale ampiezza H = b−a
m individuati dai
punti xk = a+(k−1) H, k = 1, . . . , m+1 e calcolare la quantità:
"
#
m
m
X
X
H
H
c
ISIM
=
f (x1) + 2
f (xk ) + 4
f (xk + ) + f (xm+1)
6
2
k=2
k=1
5
(Si osservi che la funzione integranda va valutata sia negli estremi
che nei punti medi dei sottointervalli di ampiezza H).
Esercizio
Si scriva una funzione che, ricevuti in ingresso la funzione f , gli
estermi di integrazione
a, b, e il numero di sottointervalli m ≥ 1,
Rb
approssimi a f (x) dx con la formula di Simpson composito.
Esercizio 4
Si approssimino gli integrali nell’Esercizio 2 ripetendo quanto richiesto ma con i codici sviluppati per i metodi del punto medio
e di Simpson compositi. Si calcoli il valore assoluto dell’errore
commesso e si compili la seguente tabella
m Errore assoluto
10
100
1000
10000
Si verifichi che l’errore è O(H 2) per il metodo del punto medio e
b−a
che l’errore è O(H 4) per il metodo di Simpson, con H =
.
m
Esercizio 5
Assegnati i seguenti integrali:
Z 5
Z 5
Z 5
3x3 − 2x2 + 5x − 1 dx
5x2 − 3x + 8 dx;
7x − 5, dx;
−2
−2
−2
6
scegliere in maniera appropriata una tra le seguenti formule di
quadratura semlici: rettangoli, punto medio, trapezi e Simpson
e calcolare gli integrali indicati. Confrontare il risultato con la
soluzione esatta calcolata utilizzando il comando polyint.
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