Quadratura

ESERCIZIO 1
Stimare il numero di sottointervalli necessari al metodo dei Trapezi composto per approssimare
π /2
∫e
sen x
dx con un errore < 0.001.
0
Soluzione Errore per la formula dei trapezi composta : Err = -(b-a) f’’(ξ)H2/12 con H=(b-a)/m.
Sostituendo si trova
|Err| <
π
2
max|f’’(ξ)| (
π
2
)2/(12 m2);
f’(x) = esenxcosx ; f’’(x) = esenx(cos2x-senx) ⇒ max|f’’(ξ)| ≤ max|esenx| max| cos2x-senx | ≤ e, quindi
|Err| <π3e/(96 m2) < 0.001 ⇒ m2 > π3e 103/96 = 877.956 ⇒ m > 29.6 ossia m = 30.
ESERCIZIO 2
La funzione F e` definita per punti dalla seguente tabella :
Xi
F(Xi)
-1
-1
-0.5
-1
0
0.1
0.5
1
1
1
1
Si approssimi
∫ f ( x)dx
mediante una formula di quadratura interpolatoria semplice che utilizzi tutte
0
le informazioni disponibili.
Soluzione I valori assegnati permettono di utilizzare la formula di Newton-Cotes chiusa a 5 punti :
b
1
a
−1
∫ F ( x)dx ~ 2h( 7f0+32f1+12f2+32f3+7f4)/45 dove h=(b-a)/4 da cui ∫ F ( x)dx ~ 0.026666667
In alternativa, utilizzando la definizione di formula interpolatoria semplice, si puo` ottenere lo stesso
risultato calcolando p4(x), polinomio interpolatore di grado 4 della F data, ed integrando p4 in vece
della F :
-1
-1
-0,5
-1
0
0
0,1
2,2
2,2
0,5
1
1,8
-0,4
-1,733333
1
1
0
-1,8
-0,933333 0,4
p4(x) = -1+2.2(x +1)(x+0.5)-1.73333(x+1)(x+0.5)x+0.4(x+1)(x+0.5)x(x-0.5);
quindi
1
1
−1
−1
∫ F ( x)dx ~ ∫ p
4
( x )dx = 0.026666667
ESERCIZIO 3
2
Si approssimi
∫ f ( x )dx
mediante la formula di quadratura interpolatoria semplice che utilizza tutti i
0
dati della seguente tabella :
xi
0
0.5
1.5
2
f(xi)
1.5
0.8
0
-1
Soluzione Formula di quadratura interpolatoria semplice :
2
2
0
0
∫ f ( x)dx ~ ∫ p( x)dx
con p(x) polinomio
interpolatore di f(x) nei punti definiti dalla tabella assegnata. Costruisco p con il metodo di Newton ;
tavola delle differenze divise :
0
1.5
0.5
0.8
-1.4
1.5
0
-0.8
0.4
2
-1
-2
-0.8
-0.6
da cui p(x)=1.5-1.4x+0.4x(x-0.5)-0.6x(x-0.5)(x-1.5).
2
∫ p( x)dx = 0.76666666666667
0
ESERCIZIO 4
10
Stimare il numero di sottointervalli necessari al metodo dei trapezi composto per approssimare
∫ lg xdx
1
con un errore < 0.001
Soluzione Errore per la formula dei trapezi composta : Err = -(b-a)* f’’(ξ)*H2/12 con H=(b-a)/m.
Sostituendo si trova
|Err| < 9*max|f’’(ξ)| * H2/12 ;
f’(x) = 1/x ; f’’(x) = -1/x2 ⇒ max|f’’(ξ)| = 1 quindi
|Err| < 3* H2/4 < 0.001 ⇒ H2 < 4/3000 ⇒ H < 0.0365 ⇒ m > 246.475 ossia m = 247.
ESERCIZIO 5
Stimare il numero di sottointervalli necessari al metodo dei trapezi composto per approssimare
2
∫e
−x
sen xdx con un errore < 0.001
0
Soluzione Errore per la formula dei trapezi composta : Err = -(b-a)* f’’(ξ)*H2/12 con H=(b-a)/m.
Sostituendo si trova
|Err| < 2*max|f’’(ξ)| * H2/12 ;
f’(x) = e-x(cosx-senx); f’’(x) = -2cosx e-x ⇒ max|f’’(ξ)| = 2 quindi
|Err| < H2/3 < 0.001 ⇒ H2 < 3/1000 ⇒ H < 0.05477 ⇒ m > 36.515 ossia m = 37.
ESERCIZIO 6
Determinare il grado di precisione della formula dei trapezi modificata :
1
∫
f ( x )dx
0
~
(b − a ) 2
b−a
[ f (a ) + f (b)] +
[ f ' (a ) − f ' (b)]
2
12
b
I(f) = ∫ f ( x )dx e J(f) =
Soluzione Se
a
(b − a ) 2
b−a
[ f (a ) + f (b)] +
[ f ' (a ) − f ' (b)] si chiede di
2
12
determinare il massimo valore n per cui I(xk) = J(xk), per ogni k≤ n.
I(xk) =
1
(bk+1 - ak+1)
k +1
J(xk) =
b−a k
(b − a ) 2
(kak-1 - kbk-1)
(a + bk) +
12
2
sostituendo valori successivi di k si verifica che :
I(1) = J(1)
I(x) = J(x)
I(x2) = J(x2)
I(x3) = J(x3)
I(x4) # J(x4), quindi la formula proposta ha grado di precisione = 3
ESERCIZIO 7
1
Si approssimi
∫ f ( x)dx
senx+cosx
con f(x) = e
0
l’errore stimato sia < 10-2.
Fornire una stima dell’errore.
mediante la formula dei trapezi composta in modo che
Soluzione Se con In si indica la formula composta che usa n sottointervalli e con En l’errore che le
compete, stimiamo En nel modo seguente E2n = (I2n - In)/3.
I1 = (f(0)+f(1))/2 =
3,350119 ;
I2 = I1/2 + f(1/2)/2=
3,617336
E2 = 0,089072 ;
I4 = I2 /2 + [f(1/4)+f(3/4)]/4 =
3,679754
E4 = 0,020806 ;
I8 = ......................................=
3,695129
E8=0,005125.
ESERCIZIO 8
1
Si approssimi
∫ f ( x)dx
senx-cosx
con f(x) = e
mediante la formula dei trapezi composta in modo che
0
l’errore stimato sia < 10-2.
Fornire una stima dell’errore.
Soluzione Se con In si indica la formula composta che usa n sottointervalli e con En l’errore che le
compete, stimiamo En nel modo seguente E2n = (I2n - In)/3.
I1 = (f(0)+f(1))/2 =
0,859658
I2 = I1/2 + f(1/2)/2=
0,765607
E2 = -0,03135
I4 = I2 /2 + [f(1/4)+f(3/4)]/4= 0,742104
E4 = -0,007835
ESERCIZIO 9
Si calcolino i pesi della formula di quadratura interpolatoria semplice che sull’intervallo [0,2] utilizza i
nodi x0 = ½ e x1 = ¾. Qual’e’ il grado di precisione della formula ?
Soluzione
Formula
2
2
0
i =1
di
quadratura
semplice
interpolatoria
nodi: ∫ f ( x)dx ~ ∑ f ( xi )wi dove :
2
w0 =
∫ L ( x)dx
0
con L0(x) = (x-x1)/(x0-x1) = 3-4x quindi w0 = -2 ;
0
2
w1 =
∫ L ( x)dx con L1(x) = (x-x0)/(x1-x0) = 4x-2
1
0
La formula ha grado di precisione = 1.
quindi w1 = 4.
su
[0,2]
che
usa
due