ESERCIZI PER PAS 059. Dimostrare, con il principio di induzione, le seguenti uguaglianze: 1 1 1 n 1·2 + 2·3 + · · · + n(n+1) = n+1 ; 1 2 3 n n+2 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2 − 2n ; Determinare tutti i divisori di 45000 = 23 · 54 · 32 (inclusi 1 e il numero stesso). A quale numero tra 0 e 6 inclusi è congruo modulo 7 il prodotto 11 · 18 · 2322 · 13 · 19? A quale numero tra 0 e 4 inclusi è congrua modulo 5 la somma 1 + 2 + 22 + 2 + · · · + 219 ? 3 Applicando l’algoritmo euclideo, trovare il massimo comun divisore di: a) 187, 77; b) 105, 385; c) 245, 193. Mostrare che i numeri 61 e 24 sono primi fra loro. Calcolare φ(14). Dimostrare che √ √ √ 5, 3 2, 3 20 sono numeri irrazionali. Dimostrare che √ √ √ √ 2 + 5 e 3 3 + 3 sono numeri irrazionali. La somma di un numero razionale e di un numero irrazionale è razionale o irrazionale? E della somma di due numeri irrazionali cosa si può dire? Usando l’algoritmo di Bombelli calcolare almeno 10−3 . 1 √ 5 con una approssimazione di