ESERCIZI PER PAS 059. Dimostrare, con il principio di induzione, le

ESERCIZI PER PAS 059.
Dimostrare, con il principio di induzione, le seguenti uguaglianze:
1
1
1
n
1·2 + 2·3 + · · · + n(n+1) = n+1 ;
1
2
3
n
n+2
2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2 − 2n ;
Determinare tutti i divisori di 45000 = 23 · 54 · 32 (inclusi 1 e il numero
stesso).
A quale numero tra 0 e 6 inclusi è congruo modulo 7 il prodotto 11 · 18 ·
2322 · 13 · 19?
A quale numero tra 0 e 4 inclusi è congrua modulo 5 la somma 1 + 2 + 22 +
2 + · · · + 219 ?
3
Applicando l’algoritmo euclideo, trovare il massimo comun divisore di: a)
187, 77; b) 105, 385; c) 245, 193.
Mostrare che i numeri 61 e 24 sono primi fra loro.
Calcolare φ(14).
Dimostrare che
√ √
√
5, 3 2, 3 20 sono numeri irrazionali.
Dimostrare che
√
√
√
√
2 + 5 e 3 3 + 3 sono numeri irrazionali.
La somma di un numero razionale e di un numero irrazionale è razionale o
irrazionale? E della somma di due numeri irrazionali cosa si può dire?
Usando l’algoritmo di Bombelli calcolare
almeno 10−3 .
1
√
5 con una approssimazione di