Primo foglio di esercizi di Algebra

Primo foglio di esercizi di Algebra
Esercizio 1. Dimostrare, utilizzando la definizione di massimo comun divisore, che, per ogni
a, b ∈ Z \ {0}, se d = M.C.D.(a, b) allora
d = M.C.D.(−a, b) = M.C.D.(a, −b) = M.C.D.(−a, −b).
Esercizio 2. Determinare, utilizzando l’algoritmo delle divisioni successive (o algoritmo di
Euclide), il M.C.D.(a, b) dove
(1) a = 75 e b = 13;
(2) a = 48 e b = 14.
Per ciascuna coppia (a, b) determinare due interi s, t ∈ Z tali che
M.C.D.(a, b) = as + bt.
Esercizio 3. Siano a, b ∈ Z \ {0}, dimostrare che M.C.D.(a, b) = 1 se e solo se esistono x, y ∈ Z
con 1 = ax + by.
Esercizio 4. Siano a, b, c ∈ Z\{0}. Dimostrare che M.C.D.(ab, c) = 1 se e solo se M.C.D.(a, c) =
1 = M.C.D.(b, c).
Esercizio 5. Siano a, b ∈ Z \ {0}. Posto d = M.C.D.(a, b), a = dā e b = db̄, dimostrare che
M.C.D.(ā, b̄) = 1.
Esercizio 6. Determinare, se esistono, tutte le soluzioni delle seguenti equazioni diofantee:
(1) 4x + 3y = 5;
(2) 3x + 6y = 7;
(3) 55x + 31y = 4;
(4) 8x + 13y = 9.
Esercizio 7. Numeri di Fibonacci.
I numeri di Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 . . .
sono definiti ponendo f0 = 0, f1 = 1 e, per n ≥ 0, fn+2 = fn+1 + fn .
(1) Dimostrare che due numeri di Fibonacci consecutivi fk+1 e fk , per k ≥ 1, sono coprimi.
(2) Dimostrare che l’algoritmo di Euclide applicato a fn+2 e fn+1 , n ≥ 0, consta esattamente
di n passi.
(3) (Teorema di Lamè) Dimostrare che se u > v > 0 sono interi tali che l’algoritmo di
Euclide applicato a u e v consta di esattamente n passi e u è minimo con questa proprietà,
allora u = fn+2 e v = fn+1 .
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