Dimostrazione “Teorema della ”

Dimostrazione “Teorema della
”
A cura di Emanuele Tunno
Classe 2D
Cosa sono i numeri irrazionali:
i numeri irrazionali sono numeri reali non razionali:
cioè non sono scritti sottoforma di frazione: a / b, dove a e b sono numeri interi e b è
un numero diverso da zero.
I numeri irrazionali hanno qualunque estensione in qualsiasi base (binaria,decimale, …)
che non termina mai. Non formano nessuna sequenza periodica.
Alcuni numeri irrazionali possono essere:
Chi scoprì i numeri irrazionali?
Il primo a scoprire l’esistenza di questi numeri fu Pitagora. Egli non volle
però riconoscere l’esistenza di questi numeri, e vietò ai suoi “studenti” (i
pitagorici) di diffondere la notizia. A rendere nota la scoperta però fu
Ippaso di Metaponto mentre stava calcolando la diagonale di un quadrato.
Essendo egli però un allievo di Pitagora, subì gravi conseguenze perché
rese nota la scoperta dei numeri. Ippaso. infatti, venne in seguito ucciso.
DIMOSTRAZIONE TEOREMA
2 è un numero irrazionale.
Per dimostrare il seguente teorema procederemo per assurdo, ovvero
assumeremo l’opposto, che la radice quadrata di 2 è un numero
razionale.
Se
è un numero razionale allora potrà essere scritto sottoforma
di frazione a/b dove a e b sono privi di fattori comuni.
Procediamo quindi a dimostrare che
, togliamo la radice
trasformando la nostra uguaglianza in
2b2
. isoliamo la a quindi
a2 =
. sappiamo adesso che a elevato alla seconda è pari quindi anche a
è pari. Esiste in conclusione un’incognita intera tale che a=2k
sostituendo abbiamo:
.
Questo ragionamento implica che anche b è pari, a e b hanno un
fattore in comune, il 2. Ciò è impossibile perché gli avevamo assunti
privi di fattori comuni.
Ottenendo una contraddizione sosteniamo quindi che
irrazionale.
è un numero