campionamento [modalità compatibilità]

sommario
• Cosa si intende per campionamento
• Sitma puntuale o intervallare per un parametro
incognito della popolazione
• Indagini multiscopo
• Due approcci al campionamento
• Caratteristiche del campionamento
• Tecniche di selezione
• La numerosità ottimale
Analisi di Mercato
Facoltà di Economia
francesco mola
Il campionamento
Cosa si intende per campionamento
Pop
Inferenza
Si definisce campionamento un
procedimento attraverso il quale
da un insieme di unità
costituenti l’oggetto dello studio,
si estrae un numero ridotto di casi
scelti con criteri tali da
consentire la generalizzazione
all’intera
popolazione
dei
risultati ottenuti.
Sitma puntuale o intervallare per un parametro incognito della popolazione
Estrazione
casuale
C
• Ricorre spesso l’esigenza di stimare un
parametro incognito della popolazione. Non
sempre si dispone di tutti i dati e/o spesso i
vincoli di tempo e costi sono tali da indurci al
campionamento
• L’obiettivo è trovare uno stimatore che produca
stime quanto più vicine possibile al parametro
incognito..
incognito
Sitma puntuale o intervallare per un parametro incognito della
popolazione
• La stima può essere di tipo puntuale o
intervallare.
– Es1. la variabile casuale media campionaria,
stimatore della media, quando lavora con i dati
campionari genera la stima della media della
popolazione
– Es2. Considerando la tecnica degli intervalli di
confidenza, ed utilizzando come funzione pivot la
media campionaria, ottengo una stima intervallare
della media della popolazione
Indagini multiscopo
– Es3. la variabile casuale proporzione
campionaria, stimatore della proporzione,
quando lavora con i dati campionari genera la
stima della proporzione della popolazione
– Es4. Considerando la tecnica degli intervalli di
confidenza, ed utilizzando come funzione
pivot la proporzione campionaria, ottengo una
stima intervallare della media della
popolazione
Due approcci al campionamento
Il campionamento “ragionato”
• L’obiettivo è analizzare la complessità di
un fenomeno e lo studio delle relazioni fra
le variabili osservate, attraverso una
procedura standardizzata di interrogazione
e raccolta dei dati
dati..
• Precede storicamente il campionamento casuale, di cui non può utilizzare
le proprietà derivanti dall’applicazione della teoria della probabilità;
• Le unità sono scelte in modo da somigliare nell’insieme, per alcuni caratteri
strutturali, alla popolazione da cui sono tratti;
• Produce campioni che saranno tanto più affidabili quanto più sono vere le
informazioni su cui si basa la scelta.
Il campionamento probabilistico (statistico)
• Le unità sono scelte in modo casuale (e non “a casaccio”!).
• In particolare, la casualità interviene nella selezione delle unità e si ottiene:
- attribuendo ad ogni unità della popolazione una probabilità nota e diversa da zero
di essere selezionata;
- utilizzando in modo appropriato le tecniche per la selezione.
Caratteristiche del campionamento
•
•
•
•
•
•
•
Rappresentatività
Disegno di campionamento
Numerosità e Attendibilità
Precisione
Errore di campionamento
Errore di rilevazione
Il DEFF
La rappresentatività del campione è una
proprietà del disegno di campionamento e
non dei gruppi di unità che si estraggono.
Caratteristiche del campionamento: il disegno di campionamento
E’ l’insieme delle decisioni prese nel formare il campione.
Occorre definire:
• La struttura del campione
Caratteristiche del campionamento: rappresentatività
Il problema delle liste
Caratteristiche del campionamento: numerosità e
attendibilità
• La numerosità ottimale di un campione è quella che consente di
ottenere gli obiettivi dell’indagine al minimo costo.
• Sarà quindi individuata dal numero più piccolo in base al quale le
stime raggiungono il livello di attendibilità atteso dal ricercatore.
• Le regole per identificare gli insiemi di unità
Con reintroduzione, senza reintroduzione, sistematica…
da inserire nel campione
• La probabilità di inclusione delle singole unità
• La numerosità campionaria
Costante ; Variabile
• D’altra parte, è opportuno ricordare sempre che la scelta del livello
di attendibilità è funzione degli scopi della ricerca, ed è quindi solo in
parte competenza dello statistico.
Caratteristiche del campionamento: precisione
Caratteristiche del campionamento: errore campionario
E’ legato al fatto che il campione estratto è uno dei possibili campioni di
uguale numerosità estraibili casualmente dalla stessa popolazione.
popolazione.
Alla numerosità del campione è invece legata la precisione delle stime ottenute
dal campione stesso.
Stima dell’intervallo per il parametro incognito
con un campione grande e σ noto:
µ
X m zα ⋅
2
La stima ottenuta è, quindi, una delle tante possibili determinazioni di una
variabile casuale, lo stimatore, caratterizzato da un proprio valore medio e
una propria variabilità.
variabilità.
σ
n
θˆ
Stimatore
;
()
E θˆ
;
Valore atteso
()
∑ θˆ
c
c
()
2
− E θˆ  × pc

Varianza
La Var θˆ è la varianza di campionamento delle stime o varianza di stima.
stima.
La sua radice quadrata è l’
l’errore
errore campionario delle stime;
stime;
L’e
L’e..c. diminuisce all’aumentare del campione e, nel caso di estrazione senza
reintroduzione, è nullo per n=N.
Se lo stimatore è distorto, la variabilità delle
stime viene misurata con un altro indice,
l’errore quadratico medio (Mse
Mse)):
Caratteristiche del campionamento: errore di rilevazione
()
()
Mse θˆ = Var θˆ + ∆2
Caratteristiche del campionamento: DEFF (Design Effect)
Tra i vari disegni di campionamento, il campionamento casuale semplice
è quello che si accompagna alla teoria più elementare.
elementare.
Un errore di rilevazione si realizza quando il valore osservato su
un’unità statistica differisce dal valore “vero”
“vero”..
Tale errore è dunque indipendente dal campionamento, nel senso
che si può manifestare sia nelle rilevazioni campionarie che in
quelle esaustive
esaustive..
Disegni di campionamento diversi da quello casuale semplice si dicono
“complessi”.
“complessi”.
In un campione casuale complesso, l’errore di campionamento può
essere espresso in una forma che evidenzi il guadagno o la perdita di
precisione delle stime rispetto all’analoga stima ottenibile con un
campione casuale semplice di uguale numerosità.
numerosità.
Nelle rilevazioni campionarie, le stime sono quindi affette sia da
errori di campionamento che da errori di rilevazione
rilevazione..
La varianza dello stimatore attorno al suo valore atteso è data dalla
somma delle varianze
varianze::
()
( )
( )
Var θˆ = Var θˆs + Var θˆr
Deff
( )
=
Var (θˆ)
Var θˆ′
Varianza dello stimatore coerente con un disegno
di campionamento complesso.
complesso.
Varianza dello stimatore coerente con un disegno
di campionamento semplice.
semplice.
Tecniche di selezione
Selezione casuale con reintroduzione
Il campione casuale semplice
E’ lo schema di riferimento della teoria dell’inferenza statistica;
La numerosità della popolazione è, di fatto, considerata infinita;
Una unità può essere estratta più volte;
La probabilità di estrazione rimane costante.
Al campionamento casuale semplice si applicano stimatori con i
quali si confrontano quelli propri di altri disegni di campionamento
(per questo motivo detti complessi
complessi));
Selezione casuale senza reintroduzione
La probabilità di estrazione varia ad ogni passo dell’estrazione.
In realtà, il campione casuale semplice è uno schema di
campionamento raramente applicato perché
perché::
Selezione casuale sistematica
Si effettua mettendo in sequenza le unità e selezionandone una ogni k;
Il salto tra due unità selezionate è il
“passo di “campionamento”;
k =
N
n
a. Risulta “pesante” sia relativamente ai costi di rilevazione dei
dati che all’organizzazione della rilevazione stessa;
b. Non utilizza le informazioni a priori sulla popolazione o sulle
caratteristiche distributive delle variabili.
L’unità da cui partire è un numero scelto a caso tra 1 e k.
Campionamento casuale semplice in R
La numerosità ottimale: media campionaria
X =
( )
E X =
( )
µ
Var X =
1 n
∑ Xi
n i =1
σ2
σ2
n
Schema con reintroduzione
n
×
N−n
N −1
Schema senza reintroduzione
La numerosità ottimale: media campionaria
Intervallo della stima per la media:
Xmax − Xmin
2
max(σ)
Xmax − Xmin
3
La numerosità ottimale: media campionaria
Intervallo della stima per la media:
per distribuzioni
unimodali
Metodo empirico
a. Con n grande
σ
x m zα ⋅
e schema di
campionamento
con reintroduzione:
2
ε
n=
n
zα2 ⋅ σ 2
Si determina la numerosità n0 seguendo lo schema A;
2
ε
n0 =
zα2 ⋅ σ 2
2
2
ε2
Se il valore di n0 così calcolato risulta più piccolo del 5% di N, si
utilizza il valore di n0;
2
b. Con n grande
x m zα
e schema di
2
campionamento
senza reintroduzione:
σ
N−n
⋅
⋅
N −1
n
ε
 zα ⋅ σ 
 2

 ε 


n=
z

α ⋅σ
1
1+ ⋅ 2
N  ε

La numerosità ottimale: proporzione campionaria
Lo stimatore proporzione campionaria
E (P ) = π
( )
Var X =
π ⋅ (1 − π )
n
ni
n
Schema con reintroduzione
n
π ⋅ (1 − π )
P =
N−n
×
N −1
2




n=
Se n0 risulta superiore al 5% di N, si
introduce un fattore di correzione che
calcola il valore corretto con la formula:
n0
n
1+ 0
N
La numerosità ottimale: proporzione campionaria
Intervallo della stima per la proporzione:
a. Con n grande
π × (1 − π )
p m zα ⋅
e schema di
2
n
campionamento
con reintroduzione:
zα2 × π (1 − π )
n=
2
ε
ε2
Schema senza reintroduzione
b. Con n grande e schema di campionamento
senza reintroduzione:
p m zα ⋅
2
π × (1 − π )
n
ε
⋅
N−n
N −1
zα2 ⋅ π (1 − π )
2
n=
ε2
1 zα 2 × π (1 − π )
⋅
ε2
N
2
1+
La numerosità ottimale: proporzione campionaria
Intervallo della stima per la proporzione:
Indagine sui
clienti di
un’azienda
Metodo empirico
Nel caso di massima variabilità (π=0,5), si può porre z=2. Si ha
allora:
n=
zα2 × π (1 − π )
2
ε
2
=
22 ×
ε
1 1
⋅
2 2
2
=
1
ε
Il campionamento
a stadi
Campionamento su più stadi
Come ci si può costruire la
lista da cui selezionare il
campione?
Si considera cliente chi, in un giorno determinato, effettua un
acquisto presso un punto vendita;
I punti vendita fungono, quindi, da contenitori dei clienti che vi si
trovano al momento della rilevazione;
2
Le popolazioni che si considerano sono, di fatto, due:
i primi ad un livello gerarchicamente superiore ai secondi;
Campionamento su più stadi
A
Campionamento su più stadi
B
C
D
Sono popolazioni gerarchiche quelle per le quali la popolazione
finale di unità è contenuta in un insieme di unità di livello
superiore;
Per selezionare un campione è necessaria la lista delle unità;
Il vantaggio del campionamento a più stadi è nel fatto che ad ogni
stadio sono necessarie le sole liste delle sub-popolazioni contenute
nelle unità selezionate a livello superiore;
1. Una selezione dei punti vendita;
2. L’estrazione di un campione da ciascuno
dei punti vendita selezionati
Il campionamento a più stadi è quindi tipico delle situazioni in cui le
liste della popolazione da sottoporre a indagine non sono disponibili
o sono costose da reperire;
Vantaggi e svantaggi
+
I passi
Flessibilità e adattabilità
L’estrazione si può effettuare con criteri differenti a ogni stadio;
• Accessibilità delle liste;
• Costi;
• Reperibilità delle informazioni.
Riduzione dei costi
La rilevazione dei dati è concentrata sui punti selezionati al primo stadio;
L’organizzazione del lavoro (formazione delle liste, selezione del campione,
reclutamento del personale, esecuzione della rilevazione, supervisione sul campo, …)
risulta quindi facilitata;
-
• Dimensioni
Complessità della metodologia di stima
Rischio di stime inefficienti
Le unità appartenenti ad un insieme coeso tendono ad assomigliarsi e quindi le
risposte risultano penalizzate nella loro variabilità
Campionamento su più stadi
La selezione PPS (Probability Proportional to Size)
• Si applica quando si conoscono le dimensioni delle unità di primo stadio;
• Al primo stadio si attribuisce ad ogni unità una probabilità di selezione proporzionale alla
dimensione della stessa;
Esempio 1: la lotteria
Supponiamo che siano stati venduti 100mila biglietti di una
certa lotteria, e supponiamo che questi biglietti siano stati venduti in tre sole città, Milano,
Napoli e Palermo secondo la seguente distribuzione:
Città
• Da ogni unità individuata al primo stadio si estrae con reimmissione un numero costante
b di unità. La probabilità di inclusione così ottenuta è costante per ogni unità di secondo
stadio;
• Il campione di unità dello stadio finale, invece, essendo estratto da blocchi mediamente
più grandi di quelli che si avrebbero con selezione casuale semplice delle unità di primo
stadio, è più disperso e, quindi, generalmente più efficiente.
Tra questi biglietti ne verranno estratti 100, che
vinceranno un premio (uguale per tutti).
Peso
(Wi)
Milano
50.000
0,5
Napoli
30.000
0,3
20.000
0,2
Palermo
• Il campionamento PPS favorisce probabilisticamente l’entrata nel campione delle unità più
grandi;
Biglietti
venduti
Avendo io acquistato un unico biglietto, a Napoli, la mia
probabilità di vincita, in caso di estrazione casuale
semplice è 0,001.
100.000
Ora, supponiamo che l’Ente Lotterie di Stato decida che l’estrazione dei biglietti vincenti si fa
in modo diverso, e cioè:
Passo 1: Si estraggono due città, con schema di campionamento con reintroduzione. Ogni
città ha una probabilità di estrazione pari al peso dei biglietti venduti, Wi;
Passo 2: Da ognuna delle due città estratte si estraggono 50 biglietti.
La selezione delle unità finali
• La selezione delle unità finali è generalmente realizzata senza reinserimento;
• Operativamente, uno dei criteri più utilizzati è il campionamento sistematico.
Di questa novità, mi devo preoccupare,
mi devo rallegrare o devo rimanere
indifferente?
Esempio 2
Campionamento su più stadi
Devo selezionare un campione di 150 unità dalla popolazione residente nelle 10 province
riportate in tabella:
La stima
Prov
MI
Pop
• Gli stimatori associati a campioni selezionati su più stadi sono complessi;
W
1.371.000
0,376
MN
52.900
0,015
MO
176.100
0,048
MS
65.300
0,018
MT
53.800
0,015
NA
1.054.600
0,290
NO
102.400
0,028
NU
37.500
0,010
OR
30.800
0,008
PA
697.200
0,191
3.641.600
1,000
Decido di fare un campionamento a due stadi.
• Si fa quindi generalmente riferimento al campionamento a due soli stadi.
Al primo stadio, la probabilità di inserire una provincia è data dal
suo peso Wi.
Al secondo stadio, la probabilità di estrarre un soggetto è la
stessa per tutti.
Le unità di primo stadio sono a=3. Le unità di secondo stadio
sono b=50 da ogni unità di primo stadio (quindi, un campione
complessivo di 150 unità).
a.
Qual è la probabilità che Milano venga estratta tra le 3 unità di primo stadio?
b.
Qual è la probabilità che un cittadino di Milano venga scelto nel campione finale?
c.
Un cittadino di Nuoro (NU) ha minori, uguali o maggiori probabilità di essere
estratto di uno di Milano?
Due popolazioni
strutturate
gerarchicamente
I stadio
II stadio
• Dalle A unità del primo stadio si estrae un campione di numerosità a;
• da ognuna delle a unità primarie estratte, si seleziona un campione di unità di
secondo livello;
Obiettivo:
stimare un parametro relativo alle unità di secondo livello.
Campionamento stratificato
Il
campionamento
stratificato
La stratificazione
“Stratificare” una popolazione consiste nel suddividere la stessa
in sottopopolazioni (strati) il più possibile omogenee rispetto
alla variabile da studiare, utilizzando una variabile ad essa
correlata.
Quando si stratifica
La stratificazione si usa quando si vuole…
• Evidenziare insiemi di unità significative per la ricerca;
• Separare sottopopolazioni con caratteristiche speciali;
• Utilizzare informazioni note, mantenendo la casualità dell’estrazione;
Es.: Stima del Reddito
Variabile correlata: Professione
1. Si estrae un campione da ciascuno strato mediante un
processo di campionamento casuale semplice;
•
•
•
•
Operaio
Impiegato
Dirigente
Libero prof.
2. Si calcolano le medie dei vari strati;
3. Si stima la media attraverso la media ponderata delle medie campionarie,
con pesi dati dalle numerosità relative dei vari strati.
• Individuare sottopopolazioni omogenee rispetto alla variabile in studio
e ottenere stime più efficienti di quelle ottenibili con un campione casuale
semplice.
La stratificazione può essere “forzata” …
• Quando le sottopopolazioni si trovano su liste distinte;
Es.: Campione estratto dalle liste elettorali, con schedine di diverso colore tra
maschi e femmine.
I diversi tipi di stratificazione
I diversi tipi di stratificazione
• Il campione stratificato proporzionale
• Il campione stratificato non proporzionale
Riproduce la stessa composizione degli strati nella popolazione
Es.: Popolazione occupati
•
•
•
•
n=3000
La numerosità dei singoli strati si
ottiene moltiplicando n per la
frequenza relativa (il peso) del
singolo strato:
•
•
•
•
Operaio
Impiegato
Dirigente
Libero prof.
Operaio:
Impiegato:
Dirigente:
Libero prof.:
Tipicamente, gli strati sovrarappresentati sono quelli meno numerosi.
35%
45%
15%
5%
3000×0,35
3000×0,45
3000×0,15
3000×0,05
Es.: Popolazione
occupati
= 1050
= 1350
= 450
= 150
I diversi tipi di stratificazione
• Il campione stratificato ottimale
Operaio:
Impiegato:
Dirigente:
Libero prof.:
(variabile di stratif.: depositi)
Depositi presso l’Istituto
Sqm
(Sh)
Wh×Sh
n×Wh×Sh
nh
1.
Fino a 500 €
36.140
0,4044
8,3
3,356
6.712
240
246
2.
501-2000 €
25.860
0,2894
9,6
2,778
5.556
199
203
3.
2001-5000 €
20.400
0,2283
10,1
2,306
4.612
165
168
4.
5001-25000 €
6.600
0,0738
218,0
16,088
32.176
1151
1152
5.
25000-100mila €
300
0,0034
703,2
2,390
4.780
170
6.
Oltre 100mila €
60
0,0007
1506,9
1,055
2.110
75
89.360
1,0000
27,973
55.946
2000
Num.
Str. h
Peso
Num.
campione str. h
nh =
n=2000
“Peso”
(Wh)
Dim.
(Nh)
Strato
Es.: Analisi della clientela di un Istituto di credito per il lancio
di un nuovo prodotto finanziario.
1000
1200
500
300
1050
1350
450
150
Il campione, quindi, non riproduce la composizione della popolazione,
e nelle analisi andrà dunque effettuata una operazione di
riponderazione.
(Allocazione ottima di Neyman-Tschuprow)
La frazione di campionamento sarà dunque più elevata negli strati in
cui la variabilità è maggiore.
Dimensione del campione:
•
•
•
•
Esempio
L’ampiezza degli strati nel campione è proporzionale alla variabilità S
nello strato della variabile oggetto di stima;
Variabile di stratificazione:
Si usa quando si decide di sovrarappresentare alcuni strati (e quindi
di sottorappresentarne altri).
∑W
h =1
h
171
60
Sqm
str. h
n ⋅ Wh ⋅ Sh
H
*
⋅ Sh
Allocazione ottima di Neyman-Tschuprow
(*) Se la numerosità campionaria di uno strato supera quella
della popolazione, si includono tutte le unità dello strato e si
assegnano le unità residue agli altri strati.
La stima con il disegno generico
La stima con il disegno proporzionale
La media µ può essere stimata, qualunque
disegno di stratificazione si adotti, come
media ponderata delle medie stimate nei
singoli strati.
X =
H
∑W
h
⋅ Xh
x =
h
(1)
Var ( x ) =
H
∑W
2
h
⋅ Var ( xh ) =
h
H
∑W
2
h
h
⋅
s
⋅ (1 − fh )
nh
H
∑
h
La varianza di X può essere ottenuta come media ponderata delle varianze
delle stime nei singoli strati.
2
h
La media campionaria semplice coincide con la media ponderata dei
vari strati. Si può, cioè, ignorare la stratificazione.
Nh
⋅ Xh =
N
h
( ) ∑W
var X =
H
2
h
⋅
i
i
n
sh2
n2 S 2
n2 S 2
n2 S 2
⋅ (1 − fh ) = 12 ⋅ 1 (1 − f ) + 22 ⋅ 2 (1 − f ) + L + H2 ⋅ H (1 − f )
nh
n n1
n n2
n nH
[h = 1,..., H ]
=
n1
n
1 − f n2
1−f
1−f
⋅ S12 ⋅
+
⋅ S22 ⋅
+ L + H ⋅ SH2 ⋅
n
n
n
n
n
n
=
1−f
n
∑ WS
h
2
h
h
Le variabili di stratificazione
• Campione proporzionale vs. campione semplice
Regola n° 1
1−f
2
⋅ ∑ ( µh − µ )
n
h
Non esistono criteri assoluti o oggettivi per la scelta delle variabili di
stratificazione ma solo indicazioni di massima.
La varianza della media di un campione stratificato proporzionale è inferiore a quella di
un campione casuale semplice. Il guadagno della stratificazione è proporzionale alla
varianza delle medie di strato (ed è nullo quando tutte le medie sono uguali tra loro).
• Stratificazione ottimale vs. stratificazione proporzionale
Il guadagno che
proporzionale della
interne degli strati.
popolazione; è nullo
∑x
(campionamento
senza reintroduzione)
Effetti della stratificazione
var ( xot ) = var ( x pr ) −
=
Nh
⋅ Xh
N
La varianza di X può essere ottenuta come media ponderata delle varianze delle stime nei
singoli strati. Poiché è fh=f, si ha:
N.B.- Se nello strato h il campione è stato estratto con reintroduzione, nella formula (1)
non comparirà il fattore di correzione.
var ( x pr ) = var ( xse ) −
H
∑
h
nh
⋅ Xh
n
n n1 x
n2 n2 xi
nH nH xi
= 1 ⋅∑ i +
⋅∑
+ L +
⋅∑
n i =1 n1
n i =1 n2
n i =1 nH
h
2
1 nh
sh2 =
xhj − xh )
(
∑
nh − 1 j
H
∑
X =
1−f
⋅ ∑ Wh Sh − S
n
h
(
)
2
con :
Suggerimenti
Le variabili scelte per la stratificazione devono essere correlate con la variabile,
o le variabili, osservate e tra loro indipendenti;
Una buona variabile di stratificazione è, normalmente, la suddivisione territoriale;
S =
∑W
h
⋅ Sh
Un’altra è la dimensione dell’unità.
h
la stratificazione ottimale introduce in più sulla ripartizione
numerosità tra strati è funzione della varianza tra le variabilità
Il guadagno è nullo se ogni strato ha la stessa variabilità della
se negli strati sono diverse non solo le medie ma anche le varianze.
Nelle indagini multiscopo, la scelta delle variabili di stratificazione non è più
finalizzata alla massima efficienza ma ad una migliore suddivisione della
popolazione sulla base delle conoscenze che si hanno sul fenomeno;
Il numero di strati
Regola n° 1
Non esistono criteri assoluti o oggettivi per la scelta del numero di strati
ma solo indicazioni di massima.
La determinazione della numerosità
• Nel campione stratificato, la numerosità campionaria necessaria ad ottenere
stime ugualmente efficienti a quelle che si ottengono con il campionamento
casuale semplice è inferiore.
n ∗ = n × Deff ( st )
Suggerimenti
L’efficienza delle stime aumenta con il numero di strati;
Tuttavia, in linea di tendenza, dopo un certo numero di suddivisioni della
popolazione il beneficio in termini di efficienza è modesto;
Inoltre, all’aumentare del numero di strati crescono i costi della stratificazione e
della selezione del campione;
Un numero elevato di strati è auspicabile quando il campionamento è su base
territoriale, poiché si controlla la dispersione delle unità e si rende più agevole
l’organizzazione e l’esecuzione del lavoro sul campo.
• Va ricordato che la rilevazione di un’unica variabile raramente costituisce la
regola. Molto più spesso le indagini sono “multiscopo”, ossia rivolte allo studio di
una molteplicità di variabili.
In questo caso occorre:
a) Selezionare le variabili ritenute più importanti tra quelle da analizzare (o quelle per
le quali si hanno maggiori informazioni);
b)
Calcolare l’allocazione ottima per ogni variabile scelta;
c)
Trovare, strato per strato, il compromesso più ragionevole tra le numerosità
calcolate