Calcolo dei limiti (C. DIMAURO)
Per il calcolo dei limiti ci serviamo di alcuni teoremi. Tali teoremi visti nel caso in
cui x → x0 , valgono anche quando x → ∞
Teorema dell’unicità del limite: se una funzione ammette limite per x → x0 tele
limite è unico.
Ciò significa che se non può accadere che una funzione abbia limiti diversi per
x → x0 . Se per assurdo si avesse che lim f ( x) = l1 e lim f ( x) = l2
x → x0
x → x0
allora
l1 = l2 .
Teorema del confronto: siano f, g, h tre funzioni definite in un intorno I x 0 , escluso
al più il punto x0 , e tali che ∀x ∈ I x 0 risulti f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) .
Se lim f ( x) = lim h( x) = l allora risulterà
x → x0
lim g ( x) = l
x → x0
x → x0
Questo teorema è anche detto teorema dei carabinieri. La funzione g(x) è l’arrestato
tenuto a destra e a sinistra da due carabinieri f(x) e g(x). Se i carabinieri vanno
entrambi verso la prigione, l’arrestato, pur non volendo, non ha altra possibilità che
seguirli, essendo trattenuto da destra e da sinistra.
Teorema della permanenza del segno: se lim f ( x) = l ≠ 0 allora esiste un
x → x0
intorno I x 0 , privato al più di x0 in cui la funzione assume lo stesso segno di l. Vale
anche il viceversa.
2x2 − 8
, il
Infatti, per la funzione f ( x ) =
x−2
2x2 − 8
lim
= 8 che è un numero
x→2 x − 2
positivo. Calcolare un limite significa che nei punti estremamente vicini a 2 la
funzione assume valori vicini ad 8, quindi positivi. Completamente diverso è il caso
in cui il valore del limite è zero: ci si può avvicinare a zero prendendo valori sia
positivi sia negativi.
Operazioni sui limiti
Siano f e g due funzioni definite in un intorno I x 0 , escluso al più il punto x0 e
supponiamo che si abbia lim f ( x) = l1 e lim f ( x) = l2 . Vogliamo esaminare cosa
x → x0
x → x0
si può dire dell’eventuale della somma f ( x ) + g ( x ) , della funzione prodotto
f ( x) ⋅ g ( x) , della funzione quoziente f ( x) / g ( x) .
Teorema della somma: il limite della somma di funzioni è uguale alla somma dei
limiti delle funzioni, se questi sono finiti: lim [ f ( x) + g ( x)] = l1 + l2
x → x0
Teorema del prodotto: il limite del prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei
limiti delle funzioni, se questi sono finiti: lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] = l1 ⋅ l2
x → x0
Conseguenza di questo teorema sono i seguenti:
teorema: se lim f ( x) = l e k è un numero reale si ha lim k f ( x) = kl
x → x0
x → x0
teorema: se lim f ( x) = l1 e lim g ( x) = l2 e
x → x0
x → x0
λ e µ sono numeri reali si ha
lim [λf ( x) + µg ( x)] = λl1 + µl2
x → x0
Teorema della potenza: se
lim f ( x) = l ed n è un numero naturale si ha
x → x0
lim [ f ( x)]n = l n
x → x0
Teorema della funzione inversa: se lim f ( x) = l ≠ 0 allora lim
x → x0
lim f ( x) = ±∞ allora lim
x → x0
x → x0
1
=0
f ( x)
x → x0
1
1
= ; se
f ( x) l
Teorema
lim
x → x0
del
quoziente:
se lim f ( x) = l1
x → x0
lim f ( x) = l2 ≠ 0
e
x → x0
allora
f ( x) l1
=
g ( x ) l2
Teorema del valore assoluto: se lim f ( x) = l allora lim f ( x) = l
x → x0
x → x0
Teorema del logaritmo: se lim f ( x) = l ed l > 0 allora lim log a f ( x) = log a l
x → x0
x → x0
Teorema dell’esponenziale: se
lim f ( x) = l
x → x0
ed
l > 0 e α ∈ℜ
allora
lim [ f ( x)]α = l α
x → x0
Per il calcolo pratico dei limiti, si può utilizzare la seguente tabella dei
limiti
immediati:
m = numero positivo finito; n1 > 0 numero intero dispari; n2 > 0 numero intero pari
Valore del limite
Valore del limite
+ m + ∞ = +∞
(0 + ) −∞ = +∞
− m + ∞ = +∞
(+∞) +∞ = +∞
+ m − ∞ = −∞
(+∞) −∞ = 0 +
− m − ∞ = −∞
m +∞ = +∞ se m > 1
(+∞) m = +∞
m +∞ = 0 + se m < 1
m ⋅ (−∞) = −∞
(+∞) − m = 0 +
m −∞ = 0 + se m > 1
− m ⋅ (+∞) = −∞
(−∞) n2 = +∞
m −∞ = +∞ se m < 1
− m ⋅ (−∞) = +∞
(−∞) − n2 = 0 +
log m (+∞) = +∞ se m > 1
Valore del limite
m
=0
∞
0
=0
∞
∞
=∞
m
∞
=∞
0
m ⋅ (+∞) = +∞
(+∞) ⋅ (+∞) = +∞
(−∞) n1 = −∞
log m (+∞) = −∞ se m < 1
(+∞) ⋅ (−∞) = −∞
(−∞) − n1 = 0 −
log +∞ m = 0 + se m > 1
(−∞) ⋅ (−∞) = +∞
(0 + ) +∞ = 0 +
log +∞ m = 0 − se m < 1
Esempi limiti immediati
lim(2 x + 5) = 2 ⋅ 2 + 5 = 7
x →2
[
]
lim e x ( x + 1) = e 0 (0 + 1) = 1 ⋅ 1 = 1
x →0
1
1
lim x + = 0 − + − = −∞
x
x →0 −
0
quando il limite tende ad un numero da sinistra,
significa che ci avviciniamo al numero per valori più piccoli. Nel caso di questo
esempio, assegniamo alla x valori sempre più vicini a zero ma dalla parte negativa,
quindi possiamo immaginare che i valori da assegnare siano, via via, -0.1, -0.01, ....,
-0.000000001 e così via. Si suole allora dire che lo zero in questione è uno zero
negativo, per cui essendo in generale
1
1
= ∞ , nel caso in esame sarà − = −∞ . Se il
0
0
1
x
limite da calcolare fosse stato lim x − = si avrebbe
−
x →0
1
1
lim x − = 0 − − − = −(−∞) = +∞
x
x →0 −
0
FORME INDETERMINATE
In alcuni casi di calcolo di limite si ottengono delle forme indeterminate che devono
essere trattate caso per caso. La tabella che segue riassume tutte le forme
indeterminate:
Tabella forme indeterminate
Forme indeterminate
Forme indeterminate
0
0
∞
∞
0⋅∞
1∞
log 0+ (+∞)
+∞−∞
log +∞ (0 + )
00
log +∞ (+∞)
∞0
log1± (1)
log 0+ (0 + )
Metodo per eliminare alcune forme indeterminate.
1) + ∞ − ∞ consideriamo il lim (2 x 2 − x 4 ) = +∞ − ∞ . La forma indeterminata si
x → −∞
elimina mettendo in evidenza:
lim (2 x − x ) =
2
4
x → −∞
2
4 2x
lim x 4
x → −∞
x
x4
2
− 4 = lim x 4 2 − 1 = −∞
x x → −∞ x
Il calcolo si può anche effettuare utilizzando il metodo pratico di confronto tra
infiniti. Nel lim (2 x 2 − x 4 ) = ( −∞) 2 − (−∞) 4 = −∞ perchè (−∞) 4 è un infinito di
x → −∞
ordine superiore rispetto a (−∞) 2 e quindi tende ad infinito più rapidamente. Il
nomale calcolo algebrico dei segni da il segno finale del limite.
∞
2)
consideriamo
∞
2x2 − x4 + ∞ − ∞ ∞
lim
=
= . La forma indeterminata si
x → +∞ x 2 − 1
+∞
∞
elimina mettendo in evidenza:
2
4 2x
x 4
x4
2
− 4
x 2 2 − 1
2
4
x
x
− x2
2x − x
x
= lim
= lim
= lim
=
lim
2
1
x → +∞ x 2 − 1
x → +∞
x → +∞
x → +∞ 1
x
1
1− 2
x 2 2 − 2
x
x
x
− (+∞) 2
= −∞
1
Il calcolo si può anche effettuare utilizzando il metodo pratico di confronto tra
2 x 2 − x 4 (+ ∞ )2 − (+ ∞ )4 − (+∞) 4
=
=
infiniti. Nel lim
= −∞ perchè (+∞) 4 è un
2
2
2
x → +∞ x − 1
(+∞)
(+ ∞ )
infinito di ordine superiore rispetto a (+∞) 2 e quindi tende ad infinito più
rapidamente.
Seguendo questa regola pratica si possono distinguere 3 casi, per quanto riguarda i
limiti ad infinito delle funzioni razionali fratte. Sia f ( x ) =
N ( x)
D( x)
a) se il grado del numeratore N(x) è maggiore del grado del denominatore D(x) il
limite da come risultato ∞
b) se il grado del numeratore N(x) è minore del grado del denominatore D(x) il limite
da come risultato zero
c) se il grado del numeratore N(x) è uguale al grado del denominatore D(x) il limite
da come risultato il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo del
numeratore e del denominatore.
Per quanto riguarda il segno si seguono le normali regole dell’algebra.
2x2 − x ∞2
Esempio caso b) lim
= 3 =0
x → +∞ x 3 − 1
∞
2 x 2 − 3x 4 ∞ 4 − 3
3
Esempio caso c) lim
=
=
=
−
x → +∞ 5 x 4 − 1
5
5
∞4
x3 − 1 0
0
consideriamo il limite: lim
= . Questo tipo di limiti si risolvono, in
3)
x →1 x − 1
0
0
genere scomponendo il numeratore ed il denominatore e semplificando. Infatti:
x3 − 1
( x − 1)( x 2 + x + 1)
lim
= lim
= lim( x 2 + x + 1) = 3
x →1 x − 1
x →1
x →1
x −1
Le altre forme indeterminate devono essere trattate caso per caso. È bene però fare in
modo di riportarle nella forma
0
∞
ed , perchè si può applicare per risolvere il limite
∞
0
il teorema di De L’Hopital. Da tale teorema si può estrarre la seguente
Regola di De L’Hopital: il limite del rapporto di due funzioni, che si presenta nella
forma indeterminata
0
∞
o
, è uguale al limite del rapporto delle loro derivate,
∞
0
cioè:
lim
x → x0
f ( x)
f ′( x)
f ′′( x)
= lim
= lim
= .....
g ( x) x → x0 g ′( x) x → x0 g ′′( x)
Esempi.
x 2 − 5x + 6
0
1) lim 2
è facile vedere che si presenta nella forma indeterminata .
x → 2 x + 5 x − 14
0
Applicando la regola di De L’Hopital, derivando una volta numeratore e
denominatore si ha:
2x − 5
1
x 2 − 5x + 6
lim 2
= lim
=−
x → 2 x + 5 x − 14
x→2 2x − 5
9
log x
0
si presenta nella forma indeterminata . Applicando la regola di De
x →1 2 x − 2
0
2) lim
1
log x
1
L’Hopital, si ha: lim
= lim x =
x →1 2 x − 2
x →1 2
2
3) La regola di De L’Hopital si può applicare ripetutamente.
0
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
lim
si
presenta
nella
forma
indeterminata
. Applicando la regola
x →1
0
x2 − 2x + 1
3x 2 − 6 x + 3
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
che si presenta
di De L’Hopital, si ha: lim
= lim
x →1
x →1
2x − 2
x2 − 2x + 1
ancora come forma indeterminata
0
. Riapplicando la regola si ha:
0
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
3x 2 − 6 x + 3
6x − 6
lim
=
lim
=
lim
=0
x →1
x →1
x →1
2x − 2
2
x2 − 2x + 1
∞
x3 + 5x 2 − 3
si
presenta
nella
forma
indeterminata
. Applicando
4) lim
x →∞
∞
5 − 4 x3
ripetutamente la regola di De L’Hopital, si ha:
3x 2 + 10 x
6 x + 10
6
1
x3 + 5x 2 − 3
lim
lim
lim
lim
=
=
=
=
−
x →∞
x → ∞ − 12 x 2
x → ∞ − 24 x
x → ∞ − 24
4
5 − 4 x3
∞
e− x
5) lim 2 si presenta nella forma indeterminata . Applicando ripetutamente la
x → −∞ x
∞
− e− x
e− x
e− x
regola di De L’Hopital, si ha: lim 2 = lim
= lim
= +∞
x → −∞ x
x → −∞ 2 x
x → −∞ 2
