Indice 1 Formule di Taylor

Politecnico di Milano
Corso di Analisi e Geometria 1
Federico Lastaria
[email protected]
Formule di Taylor
Ottobre 2012
Indice
1
Formule di Taylor
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1
Il polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funzioni di classe C
k
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Studio locale. Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano . . . . . . .
3
1.3.1
4
Alcune importanti approssimazioni locali . . . . . . . . . . . . . . . .
Studio su un intervallo. Formula di Taylor con il resto nella forma di Lagrange
5
1.4.1
Un’applicazione: stima dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Complementi: Prime nozioni sulle funzioni sviluppabili in serie di potenze. . .
8
1
Formule di Taylor
1.1
Il polinomio di Taylor
Teorema 1.1 (Polinomio di Taylor) Sia f una funzione derivabile n volte in un punto
x0 . Allora esiste un polinomio Pn (x), e uno soltanto, di grado minore o uguale a n, che ha in
comune con f , nel punto x0 , tutte le prime n derivate, cioè che soddisfa le n + 1 condizioni1 :
Pn (x0 ) = f (x0 ),
Pn0 (x0 ) = f 0 (x0 ),
Pn00 (x0 ) = f 00 (x0 ),
...,
Pn(n) (x0 ) = f (n) (x0 )
(1.1)
Tale polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine n di f , centrato in x0 , è dato da:
Pn (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
=
n
X
f (k) (x0 )
k=0
1
k!
f (n) (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 + · · · +
(x − x0 )n (1.2)
2!
n!
(x − x0 )k
La derivata di ordine zero di una funzione è, per definizone, la funzione stessa.
1
Il grado del polinomio Pn (x) è esattamente n se
f (n) (x0 )
6= 0, altrimenti sarà minore di n.
n!
Dimostrazione. Si vede subito con un semplice conto (calcolando le derivate successive) che
il polinomio 1.2 soddisfa le n + 1 condizioni 1.1. Questo prova l’esistenza di un polinomio
con le proprietà richieste. Quanto alla unicità di tale polinomio, consideriamo un generico
polinomio di grado ≤ n, centrato in x0 :
P (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n
(1.3)
Dimostriamo che se tale polinomio soddisfa le condizioni 1.1, allora necessariamente deve
coincidere con il polinomio 1.2. Le derivate successive di P (x) (includendo la derivata di
ordine 0, che coincide per definizione con il polinomio stesso), sono:
P (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 · · · + an (x − x0 )n
P 0 (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) + 3a3 (x − x0 )2 · · · + nan (x − x0 )n−1
P 00 (x) = 2a2 + 3 · 2a3 (x − x0 ) + · · · + n · (n − 1)an (x − x0 )n−2
P 000 (x) = 3 · 2a3 + · · · + n · (n − 1) · (n − 2)an (x − x0 )n−3
.. = ..
P
(n)
(x) = n!an
Valutando queste derivate successive di P (x) in x0 e imponendo le condizioni 1.1, si ottiene:
f (x0 ) = P (x0 ) = a0
f 0 (x0 ) = P 0 (x0 ) = a1
f 00 (x0 ) = P 00 (x0 ) = 2a2
f 000 (x0 ) = P 000 (x0 ) = 3!a3
.. = ..
f
(n)
(x0 ) = P (n) (x0 ) = n!an
Dunque i coefficienti a0 , ..., an del polinomio di Taylor sono esattamente quelli del polinomio
1.2 :
a0 = f (x0 ), a1 = f 0 (x0 ), a2 =
f 00 (x0 )
f 000 (x0 )
f (n) (x0 )
, a3 =
, ..., an =
2!
3!
n!
(1.4)
2
come si voleva dimostrare.
Si noti che il polinomio di Taylor di ordine 1 di una funzione f , centrato in x0 , è
P1 (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
Il grafico di tale polinomio è la retta tangente al grafico di f nel punto (x0 , f (x0 )).
2
(1.5)
1.2
Funzioni di classe C k
Premettiamo alcune definizioni. Sia I un intervallo aperto dell’asse reale. Denotiamo con
C 0 (I) l’insieme di tutte le funzioni reali2 continue su I. Per ogni intero k ≥ 1, denotiamo con
C k (I) l’insieme di tutte le funzioni reali definite su I, che sono derivabili k volte su I, e le
cui derivate successive f, f 0 , .., f k sono tutte continue su I, fino a quella di ordine k incluso3 .
Se una funzione f appartiene a C k (I), diremo anche che f è di classe C k . Si dice che f è di
classe C ∞ , o che è liscia, se f è di classe C k per ogni k ∈ N. Gli spazi C k (I) sono esempi di
spazi funzionali, cioè di spazi i cui elementi sono funzioni.
Esempi
1. Le funzioni sin x, cos x, expa (x) (esponenziale di base a, a > 0, a 6= 1), xn con n ∈ N,
arctan x, sono tutte lisce (di classe C ∞ ) su R.
2. La funzione ln x è di classe C ∞ sulla semiretta aperta (0, +∞).
3. f (x) = |x| su R è C 0 ma non C 1 .
4. f (x) = x|x| su R è C 1 ma non C 2 .
5. f (x) = |x|3 su R è C 2 ma non C 3 .
1.3
Studio locale. Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano
Lo sviluppo di Taylor con il resto nella forma di Peano si utilizza per studiare una funzione
in un intorno di un punto fissato x0 . L’idea di base è di approssimare la funzione f in un
intorno di x0 , mediante il suo polinomio di Taylor Tn (f ; x0 ) di ordine n, centrato in x0 :
Tn (f ; x0 ) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 )
1
(x − x0 )2 + · · · + f (n) (x0 )(x − x0 )n
2!
n!
(1.6)
Il teorema di Taylor con il resto nella forma di Peano (che ora dimostriamo) afferma che la
differenza tra la funzione f (x) e il suo polinomio di Taylor 1.6 è un infinitesimo, per x → x0 ,
di ordine superiore rispetto all’infinitesimo (x − x0 )n .
Teorema 1.2 (Formula di Taylor con il resto di Peano) Sia f una funzione di classe
C n su un intervallo aperto I dell’asse reale. Fissiamo un punto x0 in I. Allora vale il seguente
sviluppo:
f (x) = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )+
f 00 (x0 )
1
(x−x0 )2 +· · ·+ f (n) (x0 )(x−x0 )n +o((x−x0 )n ) (1.7)
2!
n!
2
Dire che una funzione è reale significa che il suo codominio è un sottoinsieme dell’insieme R dei numeri
reali.
3
Queste richieste sono un po’ ridondanti. Infatti, se una funzione è derivabile k volte, la continuità di tutte
le derivate f, f 0 , f 00 , .., f (k−1) è automatica, perché una funzione derivabile è continua. Basterebbe dire che f
è di classe C k se è derivabile k volte e la sua derivata k-esima è continua.
3
Dimostrazione. Ricordiamo che, per definizione, una funzione g(x) è un o((x − x0 )n ) (si
legge: o-piccolo di (x − x0 )n ) in un intorno di x0 , se
lim
x→x0
g(x)
=0
(x − x0 )n
Quindi, per dimostrare la formula di Taylor 1.7 occorre dimostrare che
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) −
lim
x→x0
1
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 − · · · − f (n) (x0 )(x − x0 )n
2!
n!
=0
(x − x0 )n
(1.8)
Per capire come vanno le cose, basta studiare in dettaglio il caso n = 2. Usando due volte
di seguito il teorema di L’Hospital, abbiamo
lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) −
(x − x0 )2
1 00
2! f (x0 )(x
− x0 )2
=
(1.9)
=
(1.10)
= 0
(1.11)
00
lim
x→x0
f 0 (x) − f 0 (x0 ) − f (x0 )(x − x0 )
2(x − x0 )
f 00 (x) − f 00 (x0 )
lim
x→x0
2
Poiché l’ultimo limite (giustificato dalla continuità di f 00 in x0 ) esiste e vale 0, per il teorema
di de L’Hôspital anche il limite iniziale (1.9) esiste e vale 0, come volevamo dimostrare.
La formula per un n arbitrario (e per una funzione di classe C n ) si dimostra esattamente
nello stesso modo, iterando la regola di de L’Hôspital.
2
1.3.1
Alcune importanti approssimazioni locali
Usando la formula di Taylor locale 1.7, si verifica che valgono, per x → 0 e per ogni naturale
n, i seguenti importanti sviluppi sviluppi.
exp x = 1 + x +
=
n
X
xk
k=0
cos x = 1 −
=
k!
(2k)!
(1.12)
+ o(xn )
x2 x4 x6
x2n
+
−
+ · · · + (−1)2n
+ o(x2n+1 )
2!
4!
6!
(2n)!
n
X
(−1)k x2k
k=0
x2 x3
xn
+
+ ··· +
+ o(xn )
2!
3!
n!
+ o(x2n+1 )
4
(1.13)
sin x = x −
=
x3 x5 x7
x2n+1
+
−
· · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3!
5!
7!
(2n + 1)!
n
X
(−1)n x2n
k=0
(2n)!
(1.14)
+ o(x2n+2 )
x2 x3 x4
xn
+
−
· · · + (−1)n+1
+ o(xn )
2
3
4
n
n
X
xk
+ o(xn )
=
(−1)k+1
k
ln(1 + x) = x −
(1.15)
k=1
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · + (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx +
x + ··· +
x + o(xn )(1.16)
2!
n!
n X
α k
x + o(xn )
(Per ogni numero α).
=
k
k=0
x3 x5 x7
+
−
+ o(x8 )
3
5
7
n
X
x2k+1
+ o(x2n+2 )
=
(−1)k
2k + 1
arctan x = x −
(1.17)
k=0
arcsin x = x +
x3
+ o(x4 )
3!
2
1
tan x = x + x3 + x5 + o(x6 )
3
15
(1.18)
(1.19)
(È difficile dare l’espressione dello sviluppo di tan x. I coefficienti si scrivono in funzione dei
numeri di Bernoulli Bn ).
1.4
Studio su un intervallo. Formula di Taylor con il resto nella forma di
Lagrange
La formula di Taylor di f centrata in x0 , con il resto nella forma di Lagrange, si utilizza per
studiare una funzione f su un intervallo (magari ‘grande’) contenente il punto x0 . (Ovviamente potrà servire anche a studiare la funzione f localmente, cioè in un piccolo intorno di
x0 ).
5
Teorema 1.3 (Formula di Taylor con il resto di Lagrange) Sia f una funzione derivabile n + 1 volte su un intervallo aperto I dell’asse reale. Fissiamo un punto x0 in I. Allora,
per ogni altro punto x ∈ I esiste un punto c, compreso tra x0 e x, per il quale vale:
f (x) = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )+
f 00 (x0 )
f (n)
f (n+1) (c)
(x−x0 )2 +· · ·+
(x0 )(x−x0 )n +
(x−x0 )n+1
2!
n!
(n + 1)!
(1.20)
f n (c)
(x − x0 )n si chiama il resto nella forma di Lagrange.
n!
Si noti che se n = 0, la formula di Taylor 1.20 si riduce al teorema di Lagrange:
Il termine
f (x) = f (x0 ) + f 0 (c)(x − x0 )
(1.21)
Per dimostrare la formula di Taylor 1.20 useremo il teorema di Cauchy, che qui richiamiamo:
Teorema. [Cauchy] Supponiamo che h(x) e k(x) siano funzioni definite su un intervallo
aperto I, entrambe derivabili, con k 0 (x) 6= 0 per ogni x ∈ I. Siano x0 , x1 due punti qualunque
di I. Allora esiste un numero c, compreso tra x0 e x1 , per il quale vale la seguente uguaglianza:
h(x1 ) − h(x0 )
h0 (c)
= 0
k(x1 ) − k(x0 )
k (c)
(1.22)
In particolare, se entrambe le funzioni h e k si annullano nel punto x0 , cioè h(x0 ) = k(x0 ) =
0, l’uguaglianza 1.22 diventa
h(x1 )
h0 (c)
= 0
(1.23)
k(x1 )
k (c)
per un opportuno c tra x0 e x1 . (Sarà in questa forma che utilizzeremo il teorema di Cauchy
nella dimostrazione della formula di Taylor).
Dimostrazione. (Formula di Taylor 1.20). Dimostriamo la formula nel caso particolare n = 1,
vale a dire dimostriamo che esiste un numero c, compreso tra x0 e x per il quale vale:
00
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f (c)
(x − x0 )2
2!
(1.24)
La dimostrazione per n arbitrario è esattamente la stessa. La formula 1.24, che vogliamo
dimostrare, equivale ovviamente (per x 6= x0 ) a
00
f (c)
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 )
=
2
(x − x0 )
2!
6
(1.25)
Quindi quello che dobbiamo dimostrare è che la frazione
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 )
(x − x0 )2
(1.26)
00
f (c)
si può scrivere come
per un opportuno numero c tra x0 e x.
2!
Chiamiamo rispettivamente N (x) e D(x) il numeratore e il denominatore di 1.26:
N (x) = f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ),
D(x) = (x − x0 )2
Notiamo che N (x0 ) = 0 e D(x0 ) = 0. Inoltre, con un calcolo diretto, si ricava subito:
N 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ),
D0 (x) = 2(x − x0 )
(1.27)
Per il teorema di Cauchy (siamo nel caso particolare 1.23) esiste allora un punto c1 per il
quale vale:
N (x)
N (x) − N (x0 )
N 0 (c1 )
f 0 (c1 ) − f 0 (x0 )
=
= 0
=
(1.28)
D(x)
D(x) − D(x0 )
D (c1 )
2(c1 − x0 )
Se, per fissare le idee, supponiamo x0 < x, avremo
x0 < c1 < x
(1.29)
Adesso applichiamo di nuovo il teorema di Cauchy nella forma 1.23 alla coppia di funzioni
h(x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ) e k(x) = 2(x − x0 ), sull’intervallo [x0 , c1 ]. Si noti che tali funzioni si
annullano entrambe in x0 . Le loro derivate sono h0 (x) = f 00 (x) e h0 (x) = 2. Dunque, per la
formula 1.23, esiste un numero c2 , con x0 < c2 < c1 , per il quale si ha
h(c1 ) − h(x0 )
h(c1 )
f 0 (c1 ) − f 0 (x0 )
f 00 (c2 )
=
=
=
k(c1 ) − k(x0 )
k(c1 )
2(c1 − x0 )
2
(1.30)
Siccome sappiamo da 1.29 che c1 è compreso tra x0 e x, anche c2 è compreso tra x0 e x:
x0 < c2 < x
Scrivendo c al posto di c2 , abbiamo dunque dimostrato la formula 1.25.
Nello stesso modo, applicando più volte di seguito il teorema di Cauchy, si dimostra la
formula di Taylor 1.20 nel caso di un intero positivo n arbitrario.
2
Osservazione. Si noti che abbiamo richiesto che f fosse derivabile n + 1 volte, ma non
abbiamo richiesto la continuità della derivata di ordine massimo n + 1.
7
1.4.1
Un’applicazione: stima dell’errore
Problema 1.4 Nell’intervallo [0, π/4], approssimiamo sin x con il polinomio di Taylor
P3 (x) = x −
x3
3!
Dare una stima dell’errore che si compie.
Soluzione. Si noti che i due polinomi di Taylor P3 e P4 della funzione sin, centrati in 0,
x3
sono entrambi uguali a x −
(perché la derivata quarta di sin in 0 si annulla). Se vediamo
3!
x3
x−
come il polinomio di Taylor P4 , allora il teorema di Taylor con il resto nella forma di
3!
π
Lagrange, assicura che esiste un numero c tra 0 e per il quale vale:
4
sin x = x −
x3 cos c 5
+
x
3!
5!
L’errore che si compie è dunque
cos c (π/4)5
x5 ≤
' 0, 0024
5!
5!
x3
come al polinomio di Taylor P3 , per il teorema di Taylor 1.3
3!
π
con il resto di Lagrange abbiamo, per un opportuno d tra 0 e ,
4
Se invece pensiamo a x −
sin x = x −
x3 sin d 4
+
x
3!
4!
La stima dell’errore è allora
sin d 4 (π/4)4
4! x ≤ 4! ' 0, 0158..
meno precisa della precedente.
1.5
Complementi: Prime nozioni sulle funzioni sviluppabili in serie di
potenze.
(Gli argomenti di questo paragrafo non sono in programma).
Torniamo all’enunciato del Teorema di Taylor 1.3 con il resto nella forma di Lagrange: per
ogni x nell’intervallo in cui la funzione è definita (anche se x è ‘lontano’ da x0 ) esiste un
opportuno c (compreso tra x0 e x) per cui vale lo sviluppo
8
f (x) = Pn−1 (x) + Rn−1
(1.31)
dove Rn−1 è il resto nella forma di Lagrange
1 n
f (c)(x − x0 )n
n!
(1.32)
Ora fissiamo x in I. Se, al tendere di n all’infinito, il termine complementare (il resto)
tende a zero:
lim [f (x) − Pn−1 (x)] = lim Rn−1 = 0
(1.33)
n→+∞
n→+∞
allora possiamo concludere - per definizione di somma di una serie numerica - che f (x) è la
somma della serie di potenze (‘polinomio infinito’)
+∞
X
1 n
f (x0 )(x − x0 )n
n!
(1.34)
+∞
X
1 n
f (x) =
f (x0 )(x − x0 )n
n!
(1.35)
n=0
e quindi scriveremo:
n=0
In questo caso, diremo che la funzione f è sviluppabile in serie di Taylor nell’intervallo I.
Occorre stare attenti. Se la funzione f ha derivate di ogni ordine su un intervallo I dell’asse
reale e x0 appartiene a I, non è detto che per ogni x in I valga 1.35, cioè non è detto che per
ogni x la serie di Taylor di f - centrata in a - sia convergente e converga proprio a f (x).
1
ha derivate di ogni ordine in (−∞, 1) ∪ (1, +∞). La
Ad esempio, la funzione f (x) =
1−x
sua serie di Taylor centrata in x0 = 0 è
+∞
X
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · ·
n=0
(Dimostrarlo). Però solo nell’intervallo −1 < x < 1 vale lo sviluppo
+∞
X
1
=
xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · ·
1−x
n=0
mentre la serie non converge se |x| > 1. (Si tratta della serie geometrica di ragione x).
Le funzioni ex , sin x e cos x sono invece sviluppabili in serie di Taylor su tutto l’asse reale,
come vedremo nei prossimi paragrafi.
La serie esponenziale Applichiamo la formula di Taylor
f (x) = f (x0 )+f 0 (x0 )(x−x0 )+
f 00 (x0 )
f (n−1)
f (n) (c)
(x−x0 )2 +· · ·+
(x0 )(x−x0 )n−1 +
(x−x0 )n
2!
(n − 1)!
n!
(1.36)
9
alla funzione esponenziale f (x) = ex , x ∈ R. Poiché Dex = ex , per ogni intero positivo n si
ha Dn (ex ) = ex . In x0 = 0 abbiamo allora, per ogni n,
f (n) (0) = 1
(1.37)
Quindi la formula di Taylor dà questo risultato: Comunque si fissi un numero x ∈ R, e per
ogni numero naturale n, esiste un numero ξ, compreso tra x e 0, per il quale vale lo sviluppo:
ex = 1 + x +
x2 x3
xn−1
xn ξ
+
+ ··· +
+
e
2!
3!
(n − 1)!
n!
Ora dimostriamo che, se x resta fisso e n tende a +∞, il resto Rn =
(1.38)
xn ξ
e tende a zero.
n!
Dimostrazione. Fissiamo, in modo arbitrario, un numero x in R e numero naturale n. Il teorema
di Taylor assicura che esiste un numero ξ, compreso tra 0 e x, per il quale vale 1.38. Sia nel caso
x < ξ < 0 che nel caso 0 < ξ < x, vale | ξ |<| x | e quindi
eξ ≤ e|ξ| < e|x|
Dunque esiste una costante M = e|x| tale che, qualunque sia il numero naturale n, per il numero ξ
che compare in 1.38 vale la disuguaglianza
eξ < M
xn
tende a zero
Si dimostra facilmente che, per ogni x fissato, la successione
n!
+∞:
xn
lim
=0
n→+∞ n!
(1.39)
4
per n che tende a
(1.40)
Dunque anche il resto della formula di Taylor
| Rn |=
| x |n ξ
| x |n
e ≤
M = an M
n!
n!
2
tende a zero quando n tende a +∞.
Pertanto la funzione ex è somma della serie di potenze
ex =
+∞ n
X
x
n=0
4
n!
=1+x+
x2 x3
+
+ ···
2!
3!
(1.41)
n
Dimostriamo che
lim
n→+∞
x
= 0. Poniamo
n!
an =
Sia m il più piccolo intero tale che
| x |n
n!
|x|
1
≤ . Allora
m+1
2
am+1 =
| xm+1 |
| x | | xm |
1
=
≤ am
(m + 1)!
m + 1 m!
2
1
1
Iterando, abbiamo allora am+2 ≤ am ( )2 e in generale, per ogni h, am+h ≤ am ( )h . Quest’ultima disugua2
2
glianza dimostra che la successione am+h tende a zero quando h tende a +∞, ovvero, in modo equivalente,
n
|x|
che la successione
tende a zero quando n tende a +∞.
n!
10
Si noti che la dimostrazione mostra che lo sviluppo 1.41 vale per ogni x in R.
Lo sviluppo in serie di Taylor di seno e coseno La stessa argomentazione che dimostra
la convergenza, su tutto l’asse reale, della serie esponenziale, continua a valere per gli sviluppi
in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno, centrate in a = 0. Ad esempio, per ogni x
reale e per ogni intero positivo n, le derivate successive n-esime Dn sin sono uniformemente
maggiorate dalla costante M = 1. (Infatti le derivate successive di sin sono uguali, a meno
del segno, a sin e cos, e quindi in valore assoluto sono ≤ 1). Quindi, nel caso dello sviluppo
1
xn
di f = sin, il resto f n (c)xn è minore o uguale di
, e abbiamo visto che tale successione
n!
n!
tende a zero, qualunque sia x, quando n tende a +∞. Lo stesso vale per la funzione cos.
Pertanto valgono i seguenti sviluppi:
+∞
sin x = x −
X (−1)n x2n+1
x3 x5 x7
+
−
··· =
3!
5!
7!
(2n + 1)!
(1.42)
n=0
cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
··· =
+∞
X
(−1)n x2n
n=0
(2n)!
(1.43)
e questi sviluppi in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno valgono per ogni x in IR.
La serie binomiale La generalizzazione della formula della potenza di un binomio a esponenti arbitrari è stata una delle grandi scoperte matematiche di Newton. Vogliamo sviluppare
la funzione f (x) = (1 + x)α in serie di Taylor, dove x > −1 e α è un qualunque numero reale
(positivo o negativo, razionale o irrazionale). Calcoliamo le derivate successive di f (x):
f 0 (x) = α(1 + x)α−1
00
(1.44)
α−2
f (x) = α(α − 1)(1 + x)
.....
f
(n)
(1.45)
.........................................
(x) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)
(1.46)
α−n
(1.47)
In particolare, prendendo x0 = 0, abbiamo
f 0 (0) = α,
f 00 (0) = α(α − 1),
f (n) (0) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)
Allora, per la formula di Taylor,
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x + ···
x + Rn+1
2!
n!
Ora si dimostra che, al tendere di n a +∞, il resto Rn+1 tende a zero se |x| < 1, mentre non
tende a zero se |x| > 1. (Non diamo la dimostrazione di questo risultato). Introducendo il
coefficiente binomiale generalizzato
α
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
=
n
n!
11
si ottiene allora lo sviluppo di (1 + x)α nella serie binomiale
(1 + x)
α
=
+∞ X
α
n=0
che converge però solo se |x| < 1.
12
n
xn
(1.48)