Formula di Taylor col resto di Lagrange

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LA FORMULA DI TAYLOR
COL RESTO DI LAGRANGE
Sia Pn (x) il polinomio di Taylor di ordine n e punto iniziale c ∈]α, β[ relativo alla
funzione f :]α, β[→ R, ]α, β[⊆ R intervallo aperto, ed ivi dotata di tutte le derivate
sino all’ordine n. Si ha cioè
Pn (x) = f (c) + f ′ (c)(x − c) +
=
f ′′ (c)
f ′′′ (c)
f (n)
(x − c)2 +
(x − c)3 + · · · +
(x − c)n =
2
3!
n!
f (0) (c)
f (1) (c)
f (2) (c)
f (3) (c)
f (n) (x)
(x−c)0 +
(x−c)1 +
(x−c)2 +
(x−c)3 +· · ·+
(x−c)n ,
0!
1!
2!
3!
n!
ovvero, in forma più compatta,
Pn (x) =
n
X
f (k) (c)
k!
k=0
(x − c)k .
(k)
Per costruzione si ha D f (c) = D(k) Pn (c) per ogni k = 0, 1, 2, . . . , n, ovvero,
come si suol dire, f e Pn hanno un contatto di ordine n nel punto c.
Se f fosse un polinomio dovrebbe aversi necessariamente f = Pn in ]α, β[. In
generale però la differenza f − Pn non è nulla. Il teorema che segue stima pertanto,
per ogni x ∈]α, β[ fissato arbitrariamente, la differenza f (x)−Pn (x) in termini della
derivata di ordine n + 1 della f calcolata in un opportuno punto di ]α, β[, sempre
che questa esista.
Si ha cosı̀ la formula di Taylor, espressa dal seguente teorema.
Teorema 1. Siano n ∈ N0 , f :]α, β[→ R dotata di derivate continue sino all’ordine n, c ∈]α, β[ fissato a piacere; supponiamo infine che esista f (n+1) (x) in ogni
punto x ∈]α, β[ distinto da c . Allora per ogni x ∈]α, β[, x 6= c, esiste ξ interno
all’intervallo di estremi c ed x per il quale si ha
n
X
f (k) (c)
f (n+1) (ξ)
f (x) =
(x − c)k +
(x − c)n+1 .
k!
(n + 1)!
k=0
Osservazione 1. Per n = 0 la formula di Taylor si riduce al teorema di Lagrange.
Dimostrazione. Osserviamo subito che la tesi continua banalmente a sussistere anche quando x = c , potendo scegliere come punto ξ un qualsivoglia punto interno
ad ]α, β[ e distinto da c. Fissiamo dunque arbitrariamente x ∈]α, β[ , x 6= c. Se
poniamo
n
X
f (k) (c)
a = f (x) −
(R)
(x − c)k
k!
k=0
si deve provare che esiste ξ interno all’intervallo di estremi c ed x per il quale risulta
(n+1)
a = f n+1!(ξ) (x − c)n+1 . A tale scopo definiamo una funzione I ∋ t → ϕ(t) ∈ R
ponendo, per ogni punto t ∈]α, β[,
ϕ(t) = f (x) −
n
X
f (k) (t)
k=0
k!
(x − t)k − a
(x − t)n+1
.
(x − c)n+1
c
2007
Author: Andrea O. Caruso – Date: 28 ottobre 2007
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LA FORMULA DI TAYLOR COL RESTO DI LAGRANGE
In pratica la ϕ si ottiene dalla (R) mettendo la variabile t al posto del numero
(x−t)n+1
fissato c, e sottraendo la quantità a (x−c)
n+1 .
Chiaramente ϕ è continua in ]α, β[ e dotata in ogni punto t ∈]α, β[ distinto da c
di derivata prima ϕ′ (t). Osserviamo ora che si ha ϕ(x) = ϕ(c) = 0. Infatti
ϕ(x) = f (x) −
n
X
f (k) (x)
k!
k=0
(x − x)k − a
(x − x)n+1
=
(x − c)n+1
= f (x) − f (x) − f ′ (x)(x − x) − f ′′ (x)(x − x)2 − · · · − f (n) (x)(x − x)n = 0,
e
ϕ(c) = f (x) −
= f (x) −
n
X
f (k) (c)
k=0
n
X
k=0
k!
(x − c)k − a
(x − c)n+1
=
(x − c)n+1
f (k) (c)
(x − c)k − a = 0
k!
per la (R). Per il teorema di Rolle esiste cosı̀ un punto ξ interno all’intervallo
di estremi c ed x tale che ϕ′ (ξ) = 0. Calcoliamo, per t ∈]α, β[, t 6= c, ϕ′ (t). Si ha
′
n
X
(x − t)n+1
f (k) (t)
k
′
(x − t) − a
ϕ (t) = f (x) −
=
k!
(x − c)n+1
k=0
′
f ′′ (t)
f ′′′ (t)
f (n) (t)
′
2
3
n
= 0 − f (t) + f (t)(x − t) +
(x − t) +
(x − t) + · · · +
(x − t)
+
2
3!
n!
′
(x − t)n+1
=
− a
(x − c)n+1
′′′′
f (t)
f ′′ (t)
f ′′′ (t)
2
= − f (t) − f (t)(x − t) − f (t) −
(x − t) −
2 (x − t) −
(x − t)3 +
| {z }
|
{z
} | {z }
2
2
3!
|
|
{z
} |
{z
}
{z
}
•
••
•
′
′′
′
•••
••
••••
(n+1)
f ′′′ (t)
f
(t)
(x − t)n
f (n) (t)
−
=
3 (x − t)2 − · · · −
(x − t)n −
n (x − t)n−1 + a (n + 1)
n!
(x − c)n+1
}
{z
}
| 3! {z
| n!
•••
•| •{z
· · · •}
n–volte
=−
f (n+1) (t)
(x − t)n
=
(x − t)n + a (n + 1)
n!
(x − c)n+1
=−
(n + 1)(x − t)n f (n+1) (t)(x − c)n+1
−
a
.
(x − c)n+1
(n + 1)!
Cosı̀ da
(n + 1)(x − ξ)n f (n+1) (ξ)(x − c)n+1
−a =0
ϕ (ξ) = −
(x − c)n+1
(n + 1)!
′
segue necessariamente
a=
f (n+1) (ξ)(x − c)n+1
(n + 1)!
LA FORMULA DI TAYLOR COL RESTO DI LAGRANGE
che completa la dimostrazione.
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Osservazione 2. Il teorema continua ovviamente a sussistere se supponiamo
direttamente che f sia dotata in ]α, β[ di derivate sino all’ordine n + 1.
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