Il resto nella formula di Taylor

Analisi Matematica 1 – CL Ing. Meccanica (AA 2013/14 – L. Chierchia)
Il resto nella formula di Taylor
Lemma. Sia n ≥ 1 e F : [0, 1] → R una funzione di classe C n . Allora,
n−1
X F (k) (0) Z 1 (1 − t)n−1 (n)
F (1) =
+
F (t)dt .
k!
(n − 1)!
0
(An )
k=0
Inoltre, esiste s ∈ (0, 1) tale che
F (1) =
n−1
X
k=0
F (n) (s)
F (k) (0)
+
.
k!
n!
(Bn )
Dimostriamo il lemma per induzione. Se n = 1, (A1 ) segue dal teorema fondamentale del calcolo.
Assumiamo (An ) con n ≥ 1. Integrando per parti si ha:
»
–1 Z 1
Z 1
(1 − t)n−1 (n)
(1 − t)n (n)
(1 − t)n (n+1)
F (t)dt =
−
F
+
F
(t)dt
(n − 1)!
n!
n!
0
0
0
Z 1
F (n) (0)
(1 − t)n (n+1)
=
+
F
(t)dt ,
n!
n!
0
e quindi (An+1 ) segue da (An ).
Per dimostrare (Bn ), osserviamo che facendo il cambio di variabile τ = (1 − t)n si ha che
Z
Z 1
√ ´
(1 − t)n−1 (n)
1 1 (n) `
F (t)dt =
F
1 − n τ dτ
(n − 1)!
n! 0
0
e la (Bn ) segue dal teorema della media integrale.
Sia ora `f : (a,´ b) → R e siano x0 e x due punti distinti di (a, b). Il teorema di Peano dice che se
f ∈ C n (a, b) e se definiamo il“resto n-simo” come Rn (x; x0 ) := f (x) − Tn (x; x0 ) dove Tn (x; x0 ) è il
polinomio di Taylor di ordine n di centro x0 , allora Rn (x; x0 ) = o((x − x0 )n ).
`
´
`
´
Supponiamo
ora che f ∈ C n+1 (a, b) e definiamo F (t) := f x0 + t(x − x0 ) . Allora, risulta F ∈
`
´
C n+1 [0, 1] e, per ogni 0 ≤ k ≤ n + 1 si ha
`
´
F (k) (t) = f (k) x0 + t(x − x0 ) · (x − x0 )k .
Osserviamo anche che, facendo il cambio di variabile y = x0 + t(x − x0 ) otteniamo l’identità
Z 1
Z
(1 − t)n (n+1)
1 x (n+1)
f
(y) (x − y)n dy .
F
(t)dt =
n!
n! x0
0
`
´
Dunque dal lemma (con (n + 1) al posto di n) segue immediatamente che se f ∈ C n+1 (a, b) e x0 e
x sono due punti distinti di (a, b) si ha:
Z
1 x (n+1)
f (x) = Tn (x; x0 ) + Rn (x; x0 ) ,
con
Rn (x; x0 ) =
f
(y) (x − y)n dy ,
(Tn )
n! x0
ed inoltre esiste un punto ξ tra x0 e x tale che
f (x) = Tn (x; x0 ) + Rn (x; x0 ) ,
con
Rn (x; x0 ) =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
(Ln )
La (Tn ) è la formula di Taylor a ordine n con resto integrale mentre la (Ln ) è la formula di
Taylor a ordine n con resto di Lagrange. In particolare, se f ∈ C n+1 ([a, b]), risulta
|Rn (x; x0 )| ≤
M
|x − x0 |n+1 ,
(n + 1)!
con
M := max |f (n+1) | .
[a,b]