ANALISI MATEMATICA 1 – ANALISI MATEMATICA A
CORSI DI LAUREA TRIENNALE IN FISICA E MATEMATICA
2016-17
Settimana 9
I Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale: Cap 6: par 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
2.3: Prime conseguenze del Teorema di Lagrange:
Test di monotonia per funzioni derivabili in un intervallo.
Utilizzo delle derivate di ordine superiore per lo studio della natura dei punti stazionari: massimi/minimi locali oppure punti di flesso.
Primitive o Antiderivate di una funzione. Definizione 2.2 : di primitiva di una funzione su un
intervallo. Definizione : sia f : I → R. Una funzione G : I → R si dice primitiva (o antiderivata)
di f in I se G è derivabile in ogni punto di I e se G′ (x) = f (x) in ogni punto di I.
Corollario: Se I è un intervallo, tutte le antiderivate di una funzione f : I → R differiscono fra
di loro per costanti.
Teorema 2.5 (di caratterizzazione delle funzioni esponenziali): se f : R → R è derivabile, se
f (0) = 1, se esiste k ∈ R tale che f soddisfi
f ′ (x) = kf (x),
per ogni x ∈ R,
allora f (x) = ekx .
2.4: Il teorema di de l’Hospital:
Teorema (di Cauchy): Siano f e g continue in [a, b] e derivabili in (a, b). Allora esiste c ∈ (a, b)
tale che
g′ (c)(f (b) − f (a)) = f ′ (c)(g(b) − g(a))
Teorema 2.6 (di de l’Hôpital 1): Sia f : (a, b) → R e sia f derivabile in (a, b). Se
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a+
(oppure +∞ oppure −∞)
x→a+
g′ (x) 6= 0 per x ∈ (a, b)
e
lim
x→a+
f ′ (x)
=l
g ′ (x)
(oppure ±∞)
allora
lim
x→a+
f (x)
=l
g(x)
(oppure ±∞)
Valgono analoghe versioni quando a = −∞ oppure considerando i limiti per x → b− oppure per
b = +∞.
2.5: La formula di Taylor:
Migliore approssimazione di una funzione n volte derivabile con polinomi di grado ≤ n.
1Guillaume Francois, Marchese de l’Hôpital (Parigi 1661 – Parigi 1704)
1
Definizione 2.3 e Proposizione 2.8 : Se f è n volte derivabile in x0 allora il Polinomio di Taylor2
di ordine n di f con centro in x0 è
1
Tn (x) := f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + f ′′ (x0 ) · (x − x0 )2 + · · · + f (n) (x0 ) · (x − x0 )n
2
ed è l’unico polinomio di grado minore o uguale ad n con un contatto di ordine n con f nel punto
x0 . Se x0 = 0 il polinomio di Taylor si denota polinomio di MacLaurin3.
Teorema 2.10: Formula di Taylor.
(1) Formula di Taylor con resto di Peano 4: Se f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b) e se f è n volte
derivabile in x0 allora il polinomio di Taylor Tn (x) è l’unico polinomio di grado ≤ n tale
che
f (x) − Tn (x) = o((x − x0 )n )
per x → x0 ;
(2) Formula di Taylor con resto di Lagrange: Se f ∈ C n ([a, b]), se f è n + 1 volte derivabile in
(a, b) \ {x0 } allora per ogni x ∈ [a, b] esiste c compreso tra x e x0 tale che
f (x) = Tn (x) +
1
f (n+1) (c) · (x − x0 )
(n + 1)!
Esempi 2.12, 2.13, 2.14, 2.15 : calcolo dei polinomi di Taylor e di MacLaurin per alcune funzioni
elementari.
n
X
1 k
x + o(xn );
k!
k=0
n
X
1
(−1)k−1 xk + o(xn );
log(1 + x) =
k
k=1
n
X
1
x2k+1 + o(x2n+2 );
arctan(x) =
(−1)k
2k + 1
k=0
n
X
1
sinh(x) =
x2k+1 + o(x2n+2 );
(2k + 1)!
ex =
sin(x) =
n
X
(−1)k
k=0
n
X
1
x2k+1 + o(x2n+2 );
(2k + 1)!
1 2k
x + o(x2n+1 );
(2k)!
k=0
n X
α k
α
(1 + x) =
x + o(xn );
k
k=0
n
X
1 2k
cosh(x) =
x + o(x2n+1 );
(2k)!
cos(x) =
k=0
(−1)k
k=0
Esempi 2.16, 2.17, 2.18
Applicazioni della formula di Taylor Cap 6: par 3.1, 3.2
3.1: funzioni convesse e concave: Definizione 3.1 e 3.1’ e Teorema 3.1
Teorema 3.3 (di caratterizzazione delle funzioni convesse e derivabili): sia f : (a, b) → R allora
(1) se f è derivabile in (a, b) allora f è convessa se e solo se f ′ è crescente;
(2) se f è due volte derivabile derivabile in (a, b) allora f è convessa se e solo se f ′′ (x) ≥ 0, per
ogni x ∈ (a, b).
3.2 Applicazioni della Formula di Taylor:
2Brook Taylor (Edmonton, Inghilterra 1685 – Londra 1731)
3Colin MacLaurin (Kilmodan, Scozia 1698 – Edinburgo 1746)
4Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo 1858 – Torino 1932)
2
(1) Determinazione della natura dei punti stazionari. Teorema 3.5 : Se f : (a, b) → R è n volte
derivabile in x0 ∈ (a, b) e
f ′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0,
f n (x0 ) 6= 0
allora se n è pari x0 è un punto di massimo/minimo locale di f se n è dispari x0 è un punto
di flesso.
(2) Calcolo di ordini di infinito e infinitesimo. Applicazioni della formula di Taylor con resto
di Peano al calcolo dei limiti.
Determinazione del grafico di una funzione
3
