Programma del Corso di Calcolo delle Probabilità

Programma del Corso di Calcolo delle Probabilità Anno Acc. 2007- 2008
Algebra di Boole. Elemento totale, elemento nullo. Leggi di De Morgan. Sigma algebra di
Boole. Corpo di parti. Corpo borelliano di parti. Evento aleatorio e non aleatorio. Algebra di Eventi.
Evento certo. Evento impossibile. Eventi incompatibili. Sistema completo di eventi. Evento
composto. Evento elementare. Scomposizione unica di un evento in eventi elementari. Probabilità
(alla Kolmogorov) su un'algebra di eventi. Differenti approcci alla definizione di probabilità.
Probabilità sigma-additiva. Subadditività. Definizione di eventi favorevoli ad un dato evento.
Elementi di calcolo combinatorio: combinazioni, disposizioni. Eventi equiprobabili. Probabilità come
frequenza relativa. Probabilità della rovina del giocatore nei due casi di uguale o disuguale
probabilità tra gicatore e banco. Probabilità subordinata. Sigma algebra di probabilità subordinata.
Teorema delle probabilità totali. Formula di Bayes. Eventi indipendenti. Distribuzione di probabilità.
Variabile aleatoria discreta. Funzione di ripartizione di variabili aleatorie discrete. Operazioni tra
variabili aleatorie discrete. Speranza matematica di una variabile aleatoria discreta. Analogia tra
speranza matematica e baricentro di un sistema fisico di masse. Speranza matematica come
operatore lineare. Definizione di gioco equo. Lotteria. Lotto. Speranza matematica di una
combinazione lineare. Disuguaglianza di Schwarz. Speranza matematica del prodotto tra due v.a.
discrete. Varianza di una v.a. discreta. Deviazione Standard. Relazione tra speranza matematica e
deviazione standard. Varianza come operatore non lineare. Coefficiente di correlazione di due v.a
.. Legame tra indipendenza di due v.a. e loro coefficiente di correlazione. Distribuzione di
probabilità discrete classiche. Distribuzione binomiale. Speranza matematica e varianza di una v.a.
di Bernoulli. Distribuzione di Poisson. Distribuzione geometrica, ipergeometrica. Speranza
matematica e varianza di una v.a. di Poisson. Relazione tra v.a. di Bernoulli e v.a. di Poisson.
Variabile aleatoria qualunque. Approssimazione di una v.a. qualunque mediante v.a. semplice.
Esempi di v.a. qualunque (ago di Buffon). Operazioni su v.a. Funzione di ripartizione di v.a.
qualunque (proprietà). Probabilità puntuale. Funzione di ripartizione assolutamente continua.
Integrale di Stieltjes. Speranza matematica, varianza deviazione standard per v.a. qualunque.
Momenti e momenti assoluti d’ordine qualunque Disuguaglianza di Markov, di BienayméChebichev. La disuglaglianza di Bernoulli e la legge dei grandi numeri. Variabile aleatoria uniforme,
di Laplace-Gauss. Variabili aleatorie n-dimensionali, funzioni di ripartizione n-dimensionali.
Cambiamento di variabili. Convoluzioni delle densità. Linea di regressione. Retta dei minimi
quadrati. Distribuzione normale bidimensionale. Densità marginali della ditribuzione normale
bidimensionale. Funzioni caratteristiche (proprietà). Momenti e funzione caratteristiche. Sviluppo in
serie della funzione caratteristiche. Teorema di inversione. Teorema di unicità. Funzione
caratteristiche di qualche importante distribuzione. Convergenza in probabilità. Convergenza in
legge e relazione con la convergenza in legge. Teorema di Levy. Convergenza in media
quadratica. Legge dei grandi numeri. Teorema del limite centrale. Approssimazione normale.
Distribuzione di Helmert-Pearson.
Testi consigliati.
Appunti distribuiti dal Professore.
Paolo Baldi. Calcolo delle probabilità. McGraw-Hill.
Sheldon M. Ross. Calcolo delle probabilità, Seconda Edizione. Apogeo