Convergenza in probabilità e legge debole dei
grandi numeri
• Per qualsiasi > 0 piccolo a piacere, la successione {Xn}
p
converge in probabilità o debolmente ad X, Xn −→ X, se
vale:
lim PXn,X {|Xn − X| ≥ } = 0
n→∞
• Teoremi:
– La convergenza in probabilità di una successione di variabili aleatorie {Xn} a una variabile aleatoria X implica
quella in distribuzione:
p
d
Xn −→ X ⇒ Xn −→ X
– Le due condizioni limn→∞ E (Xn) = c e limn→∞ Var (Xn) =
0, risultano necessarie e sufficienti affinché la successione
di variabili aleatorie {Xn} converga in probabilità alla
costante c
p
p
– Se Xn −→ X ed Yn −→ c dove c 6= 0 è una costante, allora:
p
Xn ± Yn −→ X ± c
p
XnYn −→ Xc
p
Xn/Yn −→ X/c
– (Legge Debole dei Grandi Numeri) Sia X n la media aritmetica dei primi n elementi della successione di variabili
aleatorie indipendenti {Xn}. La legge debole dei grandi
numeri stabilisce che sotto determinate condizioni vale:
p
X n −→ E X n
∗ (Teorema di Kintchine) Le variabili aleatorie Xn hanno
tutte la stessa distribuzione con media E (Xn) = µ <
∞ per n = 1, 2, . . . (la varianza potrebbe essere anche
infinita).
∗ Le Xn sono tutte dotate di medie finite e varianze equi2 per n = 1, 2, . . .
limitate: Var (Xn) < σL
Convergenza quasi certa e legge forte dei
grandi numeri
– La successione di variabili aleatorie {Xn} converge quasi
qc
certamente o fortemente ad X, Xn −→ X, se vale:
PXn,X
n
o
lim Xn = X = 1
n→∞
– Teoremi:
∗ La convergenza quasi certa di una successione di variabili aleatorie {Xn} a una variabile aleatoria X implica
quella in probabilità:
qc
p
Xn −→ X ⇒ Xn −→ X
qc
qc
∗ g è una funzione continua ed Xn −→ X, allora g (Xn) −→
g (X )
∗ (Legge Forte dei Grandi Numeri) Sia X n la media aritmetica dei primi n elementi della successione di variabili
aleatorie indipendenti {Xn}. La legge forte dei grandi
numeri stabilisce che sotto determinate condizioni vale:
qc
X n −→ E X n
· (Teorema di Bernoulli) Le variabili aleatorie Xn sono
indicatori di eventi equiprobabili
· (Teorema di Kolmogorov ) Le variabili aleatorie Xn
hanno tutte la stessa distribuzione con media E (Xn) =
µ < ∞ per n = 1, 2, . . .
· (Condizione sufficiente di Kolmogorov ) Le variabili aleato2 < ∞, allora la conrie Xn hanno tutte Var (Xn) = σn
P∞ σn2
dizione n=1 n2 < ∞ è sufficiente per affermare la che
la successione {Xn} soddisfa la legge forte dei grandi
numeri
