MATEMATICA GENERALE (A-K) -Base 20/06/2003 PRIMA PARTE 1) Derminare il valore del parametro α > 0 in modo che Z α 1 2x3 dx = . 4 6 1 3x + 1 2) Determinare i valori dei parametri a e b per cui la funzione f (x) = e3x − ax2 + bx ammette un flesso a tangente orizzontale nel punto x0 = 1. 3) Trovare massimi e minimi relativi e assoluti e i relativi punti di massimo e minimo relativo e assoluto della funzione 3 2 f (x) = e(x −3x −9x+20) nell’intervallo [−2, 4] . 4) Calcolare, usando la definizione, la derivata della funzione: f (x) = 3x − 1 x+2 nel punto di ascissa x = 2. 5) Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange, stabilire se è possibile applicare tale teorema alla funzione p f (x) = 3 |x − 2| nell’intervallo [0, 3] . 1 SECONDA PARTE 6) Scrivere la formula di Taylor arrestata al III ordine (con resto secondo Peano), centrata nel punto x0 = 1, della funzione f (x) = e3x − 1 . x 7) Dopo aver determinato graficamente il dominio della funzione µ ¶ ¢ ¡ y − x2 + 3 f (x, y) = x2 − 4 log + 3, x tracciarne la curva di livello 3. 2 MATEMATICA GENERALE (A-K) -Base Soluzione del tema del 20/06/2003 PRIMA PARTE 1) Poichè Z 2x3 1 dx = 3x4 + 1 6 allora Z 1 ovvero α Z ¢ ¡ 12x3 1 dx = log 3x4 + 1 + k, 4 3x + 1 6 ¢¤α 1 1£ ¡ 4 2x3 dx = log 3x + 1 1 = , 3x4 + 1 6 6 ¡ ¢ log 3α4 + 1 − log3 = 1, ¢ ¡ log 3α4 + 1 = 1 + log3, 3α4 + 1 = e(1+log3) , e(1+log3) − 1 α4 = , 3 r (1+log3) − 1 4 e . α= 3 2) Essendo f (x) = e3x − ax2 + bx, f 0 (x) = 3e3x − 2ax + b, f 00 (x) = 9e3x − 2a, e dovendo imporre si ottiene il sistema 3) Poichè si ha che ½ ½ f 0 (1) = 0, f 00 (1) = 0 f 0 (1) = 3e3 − 2a + b = 0, f 00 (1) = 9e3 − 2a, = 0 ½ b = 6e3 , a = 92 a3 . ¡ ¢ 3 2 f 0 (x) = 3x2 − 6x − 9 e(x −3x −9x+20) , f 0 (x) > 0, 3 (ovvero la funzione è crescente) nell’insieme (−∞, −1) ∪ (3, 4) , per cui l’andamento della funzione nell’intervallo in questione è −2 −1 |%| 3 4 & |%| Dal grafico tracciato è facile dedurre che i punti di minimo sono x = −2 e x = 3, mentre i punti di massimo sono x = −1 e x = 4. Per stabilire quali fra questi sono estremanti relativi e quali assoluti è necessari confrontare le quote: f (−2) = e19 > f (3) = e−7 quindi x = −2 è punto di minimo relativo e f (−2) = e19 è minimo relativo, mentre x = 3 è punto di minimo assoluto e f (3) = e−7 è minimo assoluto; f (−1) = e25 > f (4) = e0 = 1 quindi x = 4 è punto di massimo relativo e f (4) = 1 è massimo relativo, mentre x = −1 è punto di massimo assoluto e f (3) = e25 è massimo assoluto. 4) Per definizione 3(2+h)−1 3·2−1 f (2 + h) − f (2) (2+h)+2 − 2+2 f (2) = lim = lim = h→0 h→0 h h µ ¶ µ ¶ µ ¶ 7h 7 1 5 + 3h 5 1 20 + 12h − 20 − 5h 1 = lim − = lim = lim = . h→0 h h→0 h→0 4+h 4 h (4 + h) 4 h (4 + h) 4 16 0 5) Poichè 0 f (x) = e 1 (x−2)2 1 − √ 3 3 (x−2)2 3 √ 3 x>2 x<2 lim f 0 (x) = −∞ 6= lim+ f 0 (x) = +∞, x→2− x→2 la funzione presenta una cuspide in corrispondenza del punto x = 2 ∈ (0, 3) , e non è quindi ivi derivabile. Ne segue che non è possibile applicare il teorema di Lagrange nell’intervallo considerato. 4 SECONDA PARTE 6) Innanzitutto la formula richiesta è 1 1 f (x) = f (1) + f 0 (1) (x − 1) + f 00 (1) (x − 1)2 + f 000 (1) (x − 1)3 + o (x − 1)3 2 6 e quindi, essendo 1 , x2 1 f 00 (x) = 9e3x − 2 3 , x 6 f 000 (x) = 27e3x + 4 , x f 0 (x) = 3e3x + si ha ¡ ¢ ¢ ¢ 1¡ 2 1¡ 3 3 f (x) = e3 −1+ 3e3 + 1 (x − 1)+ 9e3 − 2 (x − 1) + 27e3 + 6 (x − 1) +o (x − 1) . 2 6 7) Il dominio della funzione è determinato dalle soluzioni della disequazione y − x2 + 3 > 0, x che identifica la parte di piano sopra la parabola y = x2 − 3 a destra dell’asse y e la parte di piano a sinistra dell’asse y e sottostante la parabola y = x2 − 3. La curva di livello 3 si detrmina poi risolvendo graficamente l’equazione f (x, y) = 3, ovvero µ ¶ y − x2 + 3 = 0. x Le soluzione della disequazione in questine sono date dall’unione delle disequazioni x2 − 4 = 0 ¡ 2 ¢ x − 4 log e y − x2 − x + 3 y − x2 + 3 = 1 =⇒ =0 x x (ovviamente compatibilmente con il dominio sopra determinato), da cui l’unione delle rette x = ±2 e della parabola y = x2 + x − 3. 5