Politecnico di Bari
L3 in Ingegneria Edile (corso A)
Esame di Analisi Matematica I
A.A. 2007/2008 - 04 luglio 2008
1. Calcolare la radice quarta del numero
√
3 1
+ i.
6
2
Soluzione:
Indicati con ρ il modulo del numero complesso dato e con ϑ il suo argomento abbiamo che
√
3
π
ρ=
e
ϑ= .
3
3
√
3 1
+ i sono
Quindi le radici quarte di
6
2
1 π
π
z0 = √
+
i
sin
cos
8
12 3 12
1
7
7
z1 = √
cos π + i sin π
8
12
12 3
13
1
13
z2 = √
cos π + i sin π
8
12
12 3
1
19
19
z3 = √
cos π + i sin π .
8
12
12
3
2. Data la funzione
f (x) = arcsin (log3 (2x + 1)) ,
(a) determinare l’insieme di definizione X di f ;
◦
(b) determinare X̄, X, Dr (X), ∂X;
(c) determinare gli insiemi X1 = {x ∈ X f (x) > 0}, X2 = {x ∈ X f (x) = 0} e X3 = {x ∈ X f (x) < 0};
(d) calcolare f (X);
(e) studiare la derivabilità di f in X.
Soluzione:
L’insieme di definizione X di f è dato dalla soluzione di
−1 ≤ log3 (2x + 1) ≤ 1
1 da cui abbiamo che X = − 3 , 1 .
◦
Ovviamente X̄ = X, X = − 13 , 1 , Dr (X) = X, ∂X = − 31 , 1 .
La funzione è maggiore di 0 nell’insieme ottenuto risolvendo
0 < log3 (2x + 1) ≤ 1
e quindi X1 = ]0, 1]. Inoltre X2 = {0} e X3 = − 31 , 0 .
Poiché X è un intervallo chiuso e limitato e f è continua in X (essendo composta di funzioni
continue) allora f (X) è un intervallo
chiuso e limitato. Se poi osseviamo
che la funzione arcoseno
è compresa tra − π2 e π2 , f − 13 = − π2 e f (1) = π2 , allora f (X) = − π2 , π2 .
Infine, la funzione f :
1
◦
◦
• è derivabile in X (composta di funzioni derivabili) e per ogni x ∈ X
f 0 (x) =
2
q
;
(2x + 1) 1 − log23 (2x + 1) log 3
• non è derivabile (a destra) in − 13 perché
lim f 0 (x) = +∞
x→− 13 +
oppure, dalla definizione di derivata,
f − 31 + h − f − 31
lim
h
h→0+
arcsin log3 2h +
= lim+
h
h→0
=
1
3
+
posto t = arcsin log3 2h +
=
lim
6t
31−cos t − 1
lim+
12 log 3
= +∞
t
t→0+
=
t→0
1
3
π
2
+
π
2
poiché, da
t = arcsin log3
abbiamo che
1
2h +
3
+
π
,
2
π
1
(− cos t =) sin t −
= log3 2h +
2
3
e quindi
1 1−cos t
3
−1 ;
6
• analogamente al punto precedente, non è derivabile (a sinistra) in 1 perché
h=
lim f 0 (x) = +∞
x→1−
oppure,
lim
h→0−
f (1 + h) − f (1)
h
=
arcsin (log3 (2h + 3)) −
h
lim
h→0−
π
2
=
posto t = arcsin (log3 (2h + 3)) −
=
lim−
t→0
π
2
2t
3 (3cos t−1
= − lim−
t→0
− 1)
4
= +∞.
3t log 3
3. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 2 della funzione
g(x) = (x − 2) − sin(x − 2) + log 1 + x2 − 4 .
Soluzione: I tre termini che compongono la funzione g sono infinitesimi del primo ordine quanto
x → 2. Inoltre la parte principale di sin(x − 2) è x − 2 e la parte principale di log 1 + x2 − 4 è
4(x − 2) poichè
log 1 + x2 − 4
x2 − 4
log 1 + x2 − 4
lim
= lim
·
= 4.
x→2
x→2
x−2
(x2 − 4)
x−2
2
Quindi l’ordine di infinitesimo della funzione g per x → 2 è 1 e la parte principale è
(x − 2) − (x − 2) + 4(x − 2) = 4(x − 2).
4. Calcolare
Z
1
dx
sin x + cos x + 3
Soluzione:
Ricordando che
sin x =
2 tan x2
1 + tan2 x2
cos x =
abbiamo
Z
1
2
1
dx =
sin x + cos x + 3
Z
1 − tan2
1 + tan2
x
2
x
2
1 + tan2 x2
dx
tan2 x2 + tan x2 + 2
posto t = tan
x
2
Z
1
dt
t2 + t + 2
√
2 7
√2 t +
7 arctan
7
=
=
√
2 7
7
=
arctan
√2
7
√1
7
tan x2 +
+c
√1
7
+c
5. Dopo aver enunciato e dimostrato il teorema di Lagrange, applicarlo, se possibile, alla funzione
h : [2, 3] → R
∀x ∈ [2, 3] : h(x) = |x2 − 1|.
6. Enunciare e dimostrare il teorema degli zeri.
3
