24/7/15 B

Esercizio 1
Studiare la seguente funzione:
f (x) =
log3 (|x|)
x|x|
Soluzione: Il dominio di f (x) è E = IR \ {0}, perché il logaritmo è definito per ogni argomento
positivo, ed il denominatore si annulla solo in 0. La funzione è dispari, quindi possiamo limitarci
a studiarne il grafico solo per x > 0, e poi disegnarlo sfruttando la simmetria rispetto all’origine.
Consideriamo quindi la funzione
f (x) =
log3 x
,
x2
x > 0.
Questa funzione ha derivate di ogni ordine per x > 0. Abbiamo
log3 x
= 0,
x→+∞ x2
lim
perché le potenze di log x sono infiniti di ordine inferiore rispetto alle potenze di x. Questo mostra
che l’asse delle x è asintoto orizzontale a +∞ Inoltre, considerando che log3 x tende a −∞ e x2
tende a 0 per x → 0+ , abbiamo
log3 x
= −∞,
lim+
x→0
x2
per cui l’asse delle y è asintoto verticale.
Il grafico di f (x) tocca l’asse delle x solo per x = 1. Inoltre abbiamo
f (x) < 0 ⇐⇒ 0 < x < 1,
f (x) > 0 ⇐⇒ x > 1.
Questo dimostra che la f (x) ha un massimo in (1, +∞).
Le derivate prima e seconda sono
f 0 (x) =
f 00 (x) =
(log2 x)(3 − 2 log x)
,
x3
(3 log x)(2 log2 x − 5 log x + 2)
.
x4
Abbiamo
3
f 0 (x) > 0 ⇐⇒ 0 < x < e 2 ,
3
f 0 e 2 = 0,
3
f 0 (x) < 0 ⇐⇒ x > e 2 .
3
è punto di massimo, con
2
27
.
8e3
√
Il numeratore di f 00 (x) si annulla e cambia segno in 1, e, e2 . Quindi abbiamo
√
f 00 (x) < 0 ∀x ∈ (0, 1),
f 00 (x) > 0 ∀x ∈ (1, e),
√
f 00 (x) < 0 ∀x ∈ ( e, e2 ),
f 00 (x) > 0 ∀x ∈ (e2 , +∞).
3
f e2 =
Il punto
√ x = 1 è un flesso ascendente, in cui il2 grafico della f (x) attraversa l’asse delle x. Il punto
x = e è un flesso discendente. Il punto x = e è un flesso ascendente.
Il grafico della f (x) è il seguente:
Figure 1: Il grafico di f (x) =
ex
|x|−1
Esercizio 2
Z x 2
t
−1
x
dt, calcola lim+
, senza calcolare esplicitamente l’integrale.
x→0 F (x)
+1
0
x2 − 1
, che non si annulla
Soluzione: Per il teorema fondamentale del calcolo, la derivata di F (x) è 4
x +1
in un intorno di 0, quindi possiamo applicare il teorema di de L’Hospital.
Data la funzione F (x) =
t4
lim+
x→0
x
1
x4 + 1
= lim+ x2 −1 = lim+ 2
= −1.
x→0 x − 1
F (x) x→0 x4 +1
Esercizio 3
log(x − 2)
√ .
√
x→+∞ log( x −
2)
Calcolare il seguente limite: lim
Soluzione: Anche in questo caso possiamo applicare il teorema di de L’Hospital, nella versione
1
√ , non si annulla
relativa al limite per x → +∞, perché la derivata del denominatore, √ √
2 x( x − 2)
in un intorno di +∞.
√
√
√ √
log(x − 2)
2 x( x − 2)
2x − 2 2x
√ = lim
lim
= lim
.
√
x→+∞ log( x −
x→+∞
x−2
x−2
2) x→+∞
Dividendo numeratore e denominatore per x, abbiamo
q
√
2
2
−
2
2x − 2 2x
x
= lim
lim
= 2.
x→+∞ 1 − 2
x→+∞
x−2
x