LICEO SCIENTIFICO STATALE “M.G. Agnesi” DI MERATE
a.s. 2014/2015
PROGRAMMA SVOLTO
Materia MATEMATICA
Classe I Bs
INSEGNANTE Angius Pierina
1) INSIEMI NUMERICI
L’insieme N dei numeri naturali: rappresentazione di N sulla semiretta orientata. Operazioni in N: addizione,
moltiplicazione, sottrazione, divisione, divisione con resto, elevamento a potenza; proprietà delle operazioni in
N, proprietà delle potenze. Multipli e divisori di numeri naturali, numeri primi, M.C.D. e m.c.m. tra numeri
naturali. Algoritmo di Euclide. Espressioni numeriche in N.
Introduzione dell’insieme Z dei numeri interi e rappresentazione sulla retta orientata. Operazioni in Z:
addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza. Legame tra N e Z. L’ordinamento in
Z. Leggi di monotonia per uguaglianze e disuguaglianze. Espressioni numeriche in Z.
Equazioni: definizioni relative e classificazione. Principi di equivalenza. Risoluzione di un'equazione in N e in
Z.
L’insieme Qa dei numeri razionali assoluti. Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva. Rappresentazione
delle frazioni sotto forma di numeri decimali; numeri decimali finiti e numeri decimali periodici, frazione
generatrice di un numero decimale. Confronto tra numeri razionali assoluti, Principio di tricotomia,
rappresentazione dei numeri razionali assoluti sulla semiretta orientata. Operazioni in Qa, addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza. Il legame tra N e Qa.
L’insieme Q dei numeri razionali relativi: rappresentazione sulla retta orientata, le quattro operazioni
fondamentali nell’insieme Q, l’elevamento a potenza nell’insieme Q, potenze ad esponente negativo.
Espressioni numeriche in Q. Analogie e differenze tra gli insiemi N, Z e Q. Equazioni in Q.
Proporzioni e proprietà relative. Percentuali.
Definizione di operazione binaria in un insieme. Le proprietà delle operazioni: la proprietà commutativa, la
proprietà associativa, la proprietà distributiva di un’operazione rispetto ad un’altra, l’elemento neutro,
l’elemento assorbente, l’elemento inverso e le operazioni invertibili.
2) ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
Gli insiemi in Matematica.
Rappresentazione di un insieme: tabulare, mediante proprietà caratteristica, con diagrammi di Eulero-Venn.
Sottoinsiemi propri e impropri e proprietà dell’inclusione.
L’insieme delle parti di un insieme.
Le operazioni tra insiemi e relative proprietà: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano con relative
rappresentazioni (tabulare, per proprietà caratteristica, con diagramma a frecce, con tabella a doppia entrata,
con diagramma cartesiano).
Insieme universo e insieme complementare, Leggi di De Morgan.
Partizione di un insieme.
3) ELEMENTI DI LOGICA
Le proposizioni: proposizioni semplici e composte.
Operazioni tra proposizioni con relative proprietà: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva e
disgiunzione esclusiva, l’implicazione e coimplicazione materiale.
Espressioni logiche e tavole di verità, proposizioni equivalenti, tautologie e contraddizioni. Leggi di De
Morgan.
La deduzione logica e la doppia deduzione logica. La condizione necessaria e la condizione sufficiente.I
quantificatori esistenziale e universale.
Legami tra operazioni logiche e operazioni insiemistiche.
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4) RELAZIONI
Definizione di relazione binaria. Dominio e condominio di una relazione. Rappresentazione di una relazione:
per elencazione, per proprietà caratteristica, con diagramma sagittale, cartesiana, mediante tabella a doppia
entrata, mediante grafo.
Relazioni inverse.
Le relazioni in un insieme con relative proprietà: riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica,
transitiva.
Relazioni di equivalenza e relazioni d’ordine (in senso stretto o in senso lato, parziali o totali), insieme
quoziente.
Relazioni di equivalenza significative: congruenza e concetto di lunghezza e di ampiezza, parallelismo e
concetto di direzione, equivalenza tra frazioni e numeri razionali.
5) IL CALCOLO LETTERALE
Monomi e operazioni fondamentali con i monomi. M.C.D. e m.c.m. tra monomi.
Polinomi e operazioni con i polinomi: l’addizione e la sottrazione, la moltiplicazione. I prodotti notevoli:
quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, somma di monomi per la loro differenza, cubo di un binomio,
la potenza di un binomio (triangolo di Tartaglia). Divisione di un polinomio per un monomio, divisione tra
polinomi; Regola di Ruffini. Teorema del resto e Teorema di Ruffini (con dimostrazioni).
La scomposizione dei polinomi: raccoglimento a fattor comune (totale e parziale), scomposizione con
prodotti notevoli, scomposizione della somma e della differenza tra cubi, scomposizione dei trinomi
caratteristici di secondo grado, scomposizione mediante il Teorema e la regola di Ruffini.
Le frazioni algebriche: la semplificazione, la riduzione allo stesso denominatore, la somma algebrica, la
moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza. Le frazioni a termini frazionari.
6) EQUAZIONI E PROBLEMI DI PRIMO GRADO
Equazioni ed identità: l'argomento è stato trattato per successivi approfondimenti. Inizialmente sono state
affrontate semplici equazioni intere numeriche in N e Z e successivamente sono state considerate in Q le
equazioni numeriche frazionarie e letterali intere o frazionarie con discussone.
Alcune equazioni di grado superiore al primo, da risolvere con la scomposizione e con il principio di
annullamento del prodotto.
Problemi di primo grado.
7) INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA
Enti primitivi, definizioni, assiomi e teoremi.
Gli assiomi di appartenenza, gli assiomi di ordinamento, l'assioma di partizione del piano da parte di una retta.
Alcune definizioni di base: semirette, segmenti, poligonali, semipiano, angoli convessi e concavi, figure
concave e figure convesse.
Congruenza e assiomi relativi.
Confronto tra segmenti e concetto di lunghezza. Somme e differenze di segmenti. Multipli e sottomultipli di un
segmento. L'assioma di divisibilità per i segmenti. Il punto medio di un segmento e teorema relativo.
Confronto tra angoli e concetto di ampiezza. Somme e differenze tra angoli. L'assioma di divisibilità per gli
angoli. Multipli e sottomultipli di un angolo. La bisettrice di un angolo e teorema relativo.
Assioma di partizione del piano da parte di una poligonale chiusa.
Poligoni e definizioni relative.
Segmenti commensurabili e incommensurabili.
Angoli commensurabili e incommensurabili.
Misura di un segmento e misura di un angolo.
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8) I TRIANGOLI
I triangoli: definizioni relative. Triangoli congruenti e criteri di congruenza dei triangoli. Le proprietà dei
triangoli isosceli: C.N e C.S affinché un triangolo sia isoscele. Il 1° teorema dell’angolo esterno.
Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo e teoremi relativi. Teorema della disuguaglianza triangolare.
9) RETTE PERPENDICOLARI E RETTE PARALLELE
Rette perpendicolari. Teorema dell’esistenza e unicità della perpendicolare condotta da un punto ad una retta.
Proiezioni ortogonali di un punto e di un segmento su una retta. Distanza di un punto da una retta.
Rette parallele. Quinto postulato di Euclide. Criteri di parallelismo (C.N.S. relative) e conseguenze.
Distanza tra rette parallele.
Proprietà della relazione di parallelismo e concetto di direzione.
Secondo teorema dell’angolo esterno, somma degli angoli interni ed esterni di un triangolo e di un poligono
convesso.
Secondo criterio generalizzato di congruenza dei triangoli.
Il triangolo rettangolo e il criterio di congruenza relativo. Mediana relativa all'ipotenusa in un triangolo
rettangolo e teorema relativo.
10) QUADRILATERI E POLIGONI
Trapezi: definizione. Trapezio isoscele: C.N. e C.S. affinché un trapezio sia isoscele.
Il parallelogramma: definizione e teoremi relativi. Condizioni Necessarie affinché un quadrilatero convesso sia
un parallelogramma (proprietà del parallelogramma). Condizioni Sufficienti affinché un quadrilatero convesso
sia un parallelogramma.
Parallelogrammi particolari: rettangolo, rombo, quadrato. C.N. e C.S. affinché un parallelogramma sia un
rettangolo, un rombo o un quadrato.
Corrispondenza di Talete.
Piccolo Teorema di Talete e conseguenze.
N.B. Tutti i teoremi menzionati sono stati dimostrati.
L’Insegnante
Merate 6 giugno 2015
I rappresentanti di classe
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