Calcolo differenziale dove a,b,c,d sono valori costanti fissati. y può essere definita per ogni valore di x. Es: x=1 => y(1)=a+b+c+d ; x=2 => y(2)=8a+4b+2c+d; … La derivata di y(x) rispetto ad x è definita come il limite al tendere di x a 0 delle corde tracciate fra due punti sulla curva y: y' y+y Definiamo una funzione f(x) che mette in relazione le variabili indipendente x con la variabile (dipendente) y: Corda y(x) y(x) f ( x) y( x) ax3 bx 2 cx d y y x x ( x x) x NB:La derivata di y(x) risulta essere la pendenza della tangente alla curva y(x) nel punto x (lo vedremo meglio tra poco applicato alla velocità) x Tangente alla curva nel punto (x,y(x)) y(x) y( x x) y ( x) dy y lim lim dx x0 x x0 x Derivata di y(x) rispetto ad x x+x y x x Derivate definite da 0 dx a cost d ax n nax n1 dx a cost La derivata di una costante è identicamente nulla dx n nx n 1 dx dx 4 4x 3 dx d sin x cos x dx d sin ax a cos ax dx d cos x sin x dx d cos ax a sin ax dx d tan x 1 dx cos 2 x d tan ax a dx cos 2 ax de ax ae ax dx d ln ax 1 dx x a cost a cost Proprietà delle derivate Derivata di una somma(differenza) di funzioni: d f x g x df dg dx dx dx d (4 x 2 3 sin 2 x) 8 x 6 cos 2 x dx Prodotto di funzioni: d f x g x f dg g df dx dx dx Rapporto di funzioni: d f x g x dx g df dg f dx dx 2 g Funzione di funzione: d df dg g f x dx dx df d 3 [ x cos 3x] x 3 3 sin 3x cos 3x 3x 2 dx 3x 2 cos 3x 3x 3 sin x d cos 3x x 3 3 sin 3x cos 3x 3x 2 3 6 dx x x x sin 3x cos 3x 3x 2 6 x x sin 3x cos 3x 3 x4 y ( x) cos x, g ( y) y 2 d (cos x) 2 2cos x sin x 2 sin x cos x dx d dy( x ) dx gy dx Calcolo integrale L’integrazione è da considerare la funzione inversa della derivata L’integrale I della funzione f(x) tra i limiti a e b si scrive: x b x a f ( x)dx I ( x) a I (b) I (a) b f(x) f(x) ed è pari all’area compresa tra la curva f(x) e l’asse delle x nell’intervallo di valori a≤ x≤b NB: Se il limite superiore dell’integrale è una variabile w si ha : xw I ( w) f ( x)dx xa allora a b x xw d d I ( w) f ( x)dx f ( w) dw dw x a e quindi in generale: L’integrale indefinito I(x) di f(x) è la funzione la cui derivata è f(x) Es: a b ax 1 0 2 bx c dx x 3 x 2 cx d 3 2 1 b b b a a a a b ax 2 bx c dx x 3 x 2 cx d 13 12 c1 d 03 02 c0 d c 2 2 2 3 0 3 3 3 2 Calcolo Integrale(2) L’integrale I ( x) f ( x)dx è detto primitiva di f(x), cioè è quella funzione che quando derivata dà la funzione f(x) NB: l’integrale è definito sempre a meno di una costante, cioè esistono infinite primitive di una stessa funzione, tutte quelle che differiscono tra di loro per una costante, in quanto la derivata di una costante è comunque nulla. Proprietà degli integrali: dx x c df x dx dx f ( x) c af xdx a f ( x)dx dove a cost af ( x) bg ( x)dx a f ( x)dx b g ( x)dx f ' ( x) g ( x)dx f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)dx ' L’integrale di una funzione moltiplicata per una costante è uguale alla costante per l’integrale della funzione L’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali delle singole funzioni Integrazione per parti: date due funzioni di x f e g l’integrale della derivata di f moltiplicata per g è uguale al prodotto delle due funzioni meno l’integrale della derivata di g moltiplicata per f.