Esercizio n.16 Due cariche q1=8q e q2=-2q sono poste sull’ asse x a distanza L=20 cm. Calcolare i punti dell’ asse x in cui • Il potenziale elettrico è nullo • Il campo elettrico è nullo Soluzione: Scegliamo il sistema di riferimento con origine sulla carica q1. Il potenziale in un punto generico P≡(x,0) dell’ asse x, per il principio di sovrapposizione, vale: V ( P) = 1 4πε o q1 q2 8q − 2 q q 1 + = + = 4πε o x 2πε o x x−L x−L y P x q2 q1 4 1 − x x−L V(P)=0 quando 4 1 4 1 (1) − =0 = x x−L x x−L Per risolvere la (1) bisogna distinguere ivari casi, tenendo conto della definizione della funzione modulo x se x ≥ 0 x = : − x se x < 0 • se x > L, cioè se P è a destra di q2 come in figura, allora la (1) diventa • 4 1 4 x = L = 26,67cm = x x−L 3 se 0 < x < L , cioè se P si trova tra q1 e q2, allora la (1) diventa • 4 1 4 x = L = 16cm = x − (x − L ) 5 se x < 0 , cioè se P si trova a sinistra di q1, allora la (1) diventa 4 1 4 x = L = 26,67cm = 3 − x − (x − L ) che non è una soluzione possibile perché non verifica la condizione x<0: quindi a sinistra di q1 il potenziale non si annulla mai, come è facile capire tenendo conto che il potenziale della carica 8q ha in questa zona valore sempre maggiore del valore assoluto del potenziale della carica –2q. In un punto generico P≡(x,0) dell’ asse x, il campo elettrostatico generato dalle due cariche è diretto come l’asse x e vale E ( P) = 1 4πε o q1 x 2 + q2 x−L 2 uˆ x = q 2πε o 4 x − 2 1 x−L 2 uˆ x dove û x è il versore dell’ asse x. Per calcolare il suo modulo bisogna distinguere le tre regioni, quella a sinistra di q1, quella tra q1 e q2 e quella a destra di q2, in quanto occorre tener conto della natura vettoriale del campo elettrostatico e sommare i campi generati dalle due cariche in maniera appropriata. In un punto P≡(x,0) a sinistra di q1 (dove x<0), il campo elettrostatico della carica q1 ha verso opposto all’ asse x mentre quello della carica q2 ha verso uguale a quello dell’ asse x; il campo elettrostatico complessivo vale quindi: E ( P) = 1 4πε o q1 (− x ) 2 Il campo è nullo quando 4 1 = 2 2 x x + L2 − 2 xL + q2 (− x + L ) 2 x = L/3 x=L = q 2πε o 4 x 2 − 1 2 x + L2 − 2 xL (2) Entrambe queste soluzioni non sono accettabili poiché non verificano la condizione x<0; in altre parole a sinistra di q1 il campo non è mai nullo, essendo il campo di q1 in modulo sempre maggiore di quello di q2.