programma del corso - Dipartimento di Matematica

Programma di Matematica per l’Economia - Corso L-Z - A. A. 2009/10
LT in Marketing e Comunicazione d’Azienda
Facoltà di Economia - Sede di Bari
Docente: Prof. Rosa Maria Mininni
(e-mail: [email protected])
Insiemistica: insiemi, elementi, proprietà. Operazioni logiche sui insiemi: unione, intersezione, differenza,
differenza simmetrica, complementare. Diagramma di Venn. Prodotto cartesiano. Numeri naturali, interi e
razionali: gli insiemi N, Z e Q e relative proprietà.
L’insieme R dei numeri reali: struttura algebrica e d’ordine. Maggiorante e minorante di un insieme. Insiemi
limitati e illlimitati. Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Massimo e minimo di un insieme. Intervalli
di R. Assioma di completezza. La retta ampliata. Intorno di un punto nella retta ampliata. Punti di
accumulazione e punti isolati.
Funzioni: generalità, piano cartesiano, grafico di una funzione. Funzione ingettiva, surgettiva, bigettiva,
invertibile. Funzione inversa di una funzione invertibile, restrizioni e prolungamenti di funzioni. Estremo
superiore ed inferiore, massimo e minimo di una funzione. Punti di estremo locali e globali. Funzioni limitate,
monotone, convesse, periodiche. Composizione di funzioni. Operazioni con le funzioni. Successioni di numeri
reali. Il numero di Nepero ed il suo significato finanziario. Le funzioni elementari: funzione costante, identica,
valore assoluto, potenza a esponente naturale e radice n-sima, esponenziale e logaritmica, potenza ad esponente
reale. Funzioni circolari e circolari inverse.
Limiti di funzioni: nozione di limite. Limite destro e sinistro. Limiti di successioni. Teorema di unicità del
limite. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Teorema del limite destro e sinistro. Test
di convergenza e test di divergenza. Operazioni sui limiti. Limite delle funzioni composte e delle funzioni
monotone. Limiti delle funzioni elementari, limiti notevoli. Confronto tra infinitesimi ed infiniti. Relazioni
asintotiche e loro applicazione per il calcolo dei limiti in forma indeterminata.
Funzioni contine: definizione di funzione continua e relativa interpretazione. Classificazione dei punti di
discontinuità. Operazioni con le funzioni continue. Continuità della funzione composta di funzioni continue.
Continuità delle funzioni elementari. Teorema di Bolzano Teorema degli zeri. Teorema di punto fisso.
Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: definizione di rapporto incrementale, di derivata e di funzione derivabile. Derivata destra
e sinistra. Significato geometrico della derivata. Punti singolari e loro classificazione. Continuità delle
funzioni derivabili. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivata
delle funzioni elementari. Elasticità e semielasticità.
Applicazioni del calcolo differenziale: massimi e minimi locali e globali. Teorema di Fermat. Teoremi di
Rolle, Cauchy, Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange. Criterio di monotonia per funzioni
derivabili. Condizioni sufficienti per punti di estremo locali. Test di convessità/concavità. Punti di flesso:
condizione necessaria e condizioni sufficienti. Teorema di De L’Hospital ed applicazioni. Formula di Taylor
del second’ordine. Asintoti, studio del grafico di una funzione.
Cenni di teoria dell’integrazione: nozione di primitiva di una funzione e di integrale indefinito. Proprietà delle
primitive. Integrali immediati. Metodo di integrazione per parti e per sostituzione. Definizione di funzione
integrabile secondo Riemann e del suo integrale. Area del rettangoloide. Proprietà dell’integrale. Classi di
funzioni integrabili. Teorema della media. Teorema di Torricelli-Barrow. Teorema fondamentale del calcolo
integrale.
Elementi di algebra lineare: vettori di Rn e relative operazioni. Vettori linearmente indipendenti e basi in spazi
euclidei. Matrici, determinanti e relative proprietà. Rango di una matrice. Teorema di Kronecker. Sistemi di
equazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouchè-Capelli.
Funzioni reali di due variabili reali: grafico, linee coordinate e linee di livello. Limiti e continuità. Derivate
parziali, gradiente. Differenziabilità e piano tangente. Differenziabilità della funzione composta. Proprietà del
gradiente. Derivate direzionali e formula del gradiente. Derivate parziali seconde e Teorema di Schwarz.
Matrice Hessiana. Ottimizzazione libera. Cenni ai problemi di massimo/minimo vincolato.
Nota: tutti gli studenti sono tenuti a conoscere le definizioni e l’enunciato di tutti i teoremi e proposizioni
indicati nel programma. Di ciascuno dei teoremi evidenziati in grassetto occorre conoscere anche la
relativa dimostrazione.
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Testi consigliati:
1) L. Peccati, S. Salsa, A. Squellati, Matematica per l’economia e l’azienda, Terza Edizione, Egea Editore,
Milano.
2) G. C. Barozzi, C. Corradi, Matematica Generale per le Scienze economiche, Il Mulino Editore, Bologna.
3) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Volume I, Parte prima e seconda, Liguori Editore,
Norme transitorie
Gli studenti iscritti alla Laurea quadriennale che devono ancora sostenere l’esame di Matematica Generale
devono fare riferimento al programma di Matematica Generale relativo al loro anno di corso o ad uno
qualunque degli anni successivi.
Gli studenti iscritti alla vecchia Laurea Triennale che devono ancora sostenere l’esame di Matematica per
l’Economia possono fare riferimento al programma relativo al loro anno di corso o al programma dell’A.A.
2008/09.