Funzioni di una variabile, limiti e continuità Funzioni numeriche

Corso di laurea in CHIMICA INDUSTRIALE
Programma di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE I
Anno accademico 2005-2006
I numeri I numeri naturali. I numeri razionali. I numeri reali, potenze e radicali,
esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche. Equazione della retta nel piano.
Insiemi, sottoinsiemi, unione, intersezione, insieme complementare. Prodotto cartesiano e
relazioni tra insiemi.
Insiemi numerici: insiemi numerici limitati, massimo e minimo, estremo superiore ed
estremo inferiore e loro proprietà caratteristiche.
Numeri complessi: definizione, operazioni, forma algebrica, piano di Gauss, forma
trigonometrica, (*)radici n-esime.
Elementi di algebra lineare Vettori: definizione, somma, prodotto per scalare; vettori
linearmente dipendenti; prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Vettori nel
piano e nello spazio.
Matrici, somma, prodotto per scalare, prodotto. Determinante e sue proprietà. Matrice
inversa. Caratteristica di una matrice.
Sistemi lineari: (*)Teorema di Cramer, Teorema di Rouchè-Capelli.
Spazi vettoriali: spazi vettoriali astratti, dipendenza lineare, base e dimensione. Funzione
lineare, rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari, (*)Teorema di rappresentazione. Immagine e nucleo di una trasformazione lineare da
a
.
Trasformazioni iniettive e suriettive.
Successioni
Successioni: limiti, (*)Teorema di unicità del limite, (*)teoremi di
permanenza del segno, (*)teoremi di confronto, (*)teoremi sulle operazioni con i limiti,
prodotto di successione limitata per successone infinitesima o infinita. (*)Successioni
monotone e loro limiti. Calcolo di limiti, confronti (di infiniti e infinitesimi).
Funzioni di una variabile, limiti e continuità Funzioni numeriche: generalità.
Limiti, continuità, asintoti. Funzioni elementari e loro continuità. Funzioni composte e
inverse. Punti di discontinuità. (*) Funzioni monotone e loro limiti. Teorema di Weierstrass,
(*)Teorema di esistenza degli zeri, codominio di funzione continua. Cambio di variabile nel
calcolo del limite. Limiti notevoli.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Derivata di una funzione.
Retta tangente e punti angolosi. Derivate delle funzioni elementari. (*)Continuità e
derivabilità. (*)Operazioni con le derivate. Derivate successive. Derivata della funzione
composta e della funzione inversa. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. (*)Il
Teorema del valor medio (di Lagrange), derivabilità e monotonia. Massimi e minimi relativi,
(*)Teorema di Fermat. Teoremi di de l’Hospital. Concavità, convessità e flessi. Studio del
grafico di una funzione. Formula di Taylor – Mac Laurin con resto di Peano e con resto di
Lagrange.
Testi consigliati:
per la teoria
M.BRAMANTI C.D.PAGANI S.SALSA
MATEMATICA
Calcolo infinitesimale e algebra lineare
Zanichelli
per le esercitazioni
P. MARCELLINI C.SBORDONE Esercitazioni di Matematica vol 1° parte I°e II° Liguori Editore
(*) Argomenti con dimostrazione