LA V.C. BINOMIALE

LA V.C. BINOMIALE
• Una giocatrice di basket ha a disposizione 5
tiri liberi. Quanti ne realizza?
• Vengono piantati 10 alberi. Quanti di questi
sopravvivono per tutto l’inverno?
LA V.C. BINOMIALE
• Abbiamo un numero fissato di osservazioni
(n)
• Le n osservazioni sono fra loro indipendenti.
• Ciascuna osservazione può assumere due
risultati possibili (successo/insuccesso)
• La probabilità di un successo (p) è la
stessa per ciascuna osservazione.
LA V.C. BINOMIALE
In un esperimento binomiale, la distribuzione del numero di
successi X è la distribuzione binomiale con parametri n e p.
n
n− x
x
f ( x ) =   × p × (1 − p )
 x
n!
n− x
x
f ( x) =
× p × (1 − p )
x !×(n − x )!
LA V.C. BINOMIALE
MEDIA E VARIANZA
µ = n× p
σ = n × p × (1 − p )
2
ALCUNI ESEMPI CON R
• La funzione che chiamiamo è Binomiale (con
due parametri); notare la maiuscola iniziale
• Vediamo cosa succede con n piccolo variando p
• Vediamo cosa succede variando n con un valore di
p fissato (0.5).
• Vediamo cosa succede con n molto grande al
variare di p.
LA V.C. BINOMIALE
• La distribuzione binomiale è simmetrica
solo quando p=0.5
• Quanto più il parametro p si allontana da
0.5 (in più o in meno) tanto più la
distribuzione binomiale diventa asimmetrica
• Quando p<0.5, la asimmetria è positiva
• Quando p>0.5, la asimmetria è negativa
LA V.C. BINOMIALE
• Al crescere di n la distribuzione binomiale tende a
concentrarsi sempre di più in una zona intorno alla
media.
• Se p è diverso da 0.5, pur rimanendo asimmetrica, la
distribuzione binomiale tende, in tale zona, ad essere
sempre meno asimmetrica al crescere di n (per p
fissato).
• Al crescere di n, la distribuzione binomiale tende alla
normale con media np e varianza np(1−p).
LA V.C. DI BERNOULLI
• La variabile casuale di Bernoulli è un caso
particolare della variabile casuale binomiale.
• La variabile casuale di Bernoulli è una
variabile casuale binomiale in cui n=1.
• Pertanto, in un esperimento bernoulliano, si
potrà osservare soltanto o un insuccesso (x=0)
o un successo (x=1).
• Le probabilità corrispondenti sono 1−p e p.
LA V.C. DI BERNOULLI
1!
1− x
x
f ( x) =
× p × (1 − p )
x !×(1 − x )!
f (0) = (1 − p )
f (1) = p
LA V.C. DI BERNOULLI
MEDIA
µ = 0 × f (0) + 1 × f (1)
µ = 0 × (1 − p ) + 1 × p = p
LA V.C. DI BERNOULLI
VARIANZA
σ = (0 − p ) × f (0) + (1 − p ) × f (1)
2
2
2
σ = p × (1 − p ) + (1 − p ) × p
2
2
2
σ = p − p + p − 2p + p
2
2
3
2
σ = p − p = p × (1 − p )
2
2
3