Probabilità di variabile discreta 7 6 5 p(x ) 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x Densità di probabilità di variabile continua p(x) 0,02 0,01 0,00 -100 0 100 x 200 300 Variabile discreta Momento: di r-esimo ordine rispetto al valore x 0: µr' ( x ) = N ∑ (x i i= 1 - x 0 ) r p ( x i) Momento di primo ordine rispetto all'origine (media aritmetica): µ (x ) = N ∑x ip(x i) i= 1 Momento di r-esimo ordine rispetto alla media: µ r( x ) = N ∑ [x i i= 1 - µ ( x ) ] r p ( x i) Momento del secondo ordine rispetto alla media (varianza): σ 2(x ) = N ∑ [x i i= 1 - µ ( x )] 2 p ( x i ) Variabile continua Momento di r-esimo ordine rispetto al valore x 0: µr' ( x ) = +∞ ∫ -∞ (x - x 0 ) r p (x )d x Momento di primo ordine rispetto all'origine (media aritmetica): µ (x ) = +∞ ∫xp(x)d x -∞ Momento di r-esimo ordine rispetto alla media: µ r( x ) = +∞ ∫ [x -∞ - µ ( x )] r p ( x ) d x Momento del secondo ordine rispetto alla media (varianza): σ 2(x ) +∞ = [x ∫ -∞ - µ (x )] 2 p (x )d x Misure di tendenza centrale Media aritmetica E` il momento del primo ordine rispetto all'origine. Mediana Si definisce mediana della distribuzione della ¨ ¨ variabile x il valore x la cui probabilità P(x ) è uguale a 0,50. Moda Si definisce m o d a della distribuzione di una ~ variabile casuale x il valore x a cui corrisponde un massimo della funzione p(x). Una distribuzione con più mode si dice multimodale. Misure di dispersione Misura di dispersione omogenea con la media: scarto quadratico medio Si definisce scarto quadratico medio della variabile casuale x la radice quadrata σ (x) della sua varianza. Misura di dispersione coefficiente di variazione adimensionale: Si chiama coefficiente di variazione il rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media della variabile casuale x C V (x ) = σ (x ) µ (x) Misura di asimmetria coefficiente di asimmetria adimensionale: Con il termine coefficiente di asimmetria (skewness) si indica il rapporto tra il momento del terzo ordine e il cubo dello scarto quadratico medio della distribuzione µ 3 (x ) γ (x ) = 3 σ (x) Probabilità di variabile funzione non decrescente di una variabile casuale y = φ (x ) y a = φ (x a ) x ≤ xa → y ≤ ya P(x a ) = P(y a ) P (x) = P (y) e differenziando: p (y ) = p (x ) dx dy Caso particolare: y funzione lineare crescente di x y = ax + b µ ( y) = a µ (x) + b σ (y) = a σ (x) x 0 50 100 150 1 3 5 7 9 m =1 11 13 xa 15 m=7 17 19 21 23 m = 11 t 25 27 29 m=4 31 33 35 m=3 37 39 m=6 41 43 45 47 49 m=8 Tempo di ritorno p (m ) = P (x a ) m - 1 [1 - P (x a ) ] µ (m ) = ∞ ∑ m p (m ) m=1 = ∞ ∑ m P (x a ) m -1 [1 - P (x a ) ] m=1 ∞ ∑ m z m -1 = ( 1 -1z ) 2 m=1 µ (m ) = 1 1 - P (x a ) T (x ) = 1 1 - P (x) Il tempo di ritorno risulta misurato in numero di osservazioni. Distribuzione binomiale Probabilità dell'evento uguale a θ N numero delle osservazioni m numero delle osservazioni in cui l'evento si verifica m è una variabile casuale discreta m può assumere tutti i valori dell'intervallo (0, N) (estremi compresi) p(m) probabilità del valore m Distribuzione binomiale: probabilità p(m) del valore m Esempio con N = 5 ed m = 2: 1 2 3 4 5 Probabilità della combinazione di osservazioni: (1 - θ ) θ (1 - θ ) θ (1 - θ ) Probabilità di una particolare combinazione in cui l'evento si verifica m volte su N: θ m (1 - θ ) N - m Numero delle combinazioni: N m Probabilità del valore m: p (m ) = N θ m (1 m - θ )N - m Distribuzione binomiale θ = 0,3 N =10 0,3 p(m) 0,2 0,1 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m (per m uguale a 9 e per m uguale a 10 la probabilità è molto vicina a zero) Distribuzione binomiale θ = 0,6 N =10 0,3 p(m) 0,2 0,1 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m (per m uguale a 0 la probabilità è molto vicina a zero) Distribuzione binomiale Parametri: µ (m ) = N θ N θ (1 - θ ) σ (m ) = √ Distribuzione di Poisson E` una forma limite della distribuzione binomiale. Ipotesi: N θ = λ = costante N→∞ θ→ 0 Probabilità: λm p(m ) = exp(- λ ) m!