Principi di Statistica
a.a. 2014-2015
Dr. Luca Secondi
02. Distribuzioni di probabilità per
variabili casuali discrete
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Variabili casuale di Bernoulli
La v.c. di Bernoulli trae origine da una prova nella
quale ha interesse esclusivamente verificare se un
certo evento si è o meno verificato. La v.c. generata
assume, convenzionalmente, valore 1 se l’evento si è
verificato (successo) e valore 0 se invece l’evento
non si è verificato (insuccesso).
Tutte le prove che producono solo due possibili risultati
generano v.c. di Bernoulli: il lancio di una moneta, il sesso di un
nascituro, la sopravvivenza pari a 10 anni di un individuo
affetto da una determinata patologia, il superamento di un
esame universitario, la decisione di acquistare (o meno) un
determinato farmaco
V.c. di Bernoulli
Evento
A
A
Valore della v.c.
1
0
Probabilità
π
1- π
La sua funzione di probabilità può essere espressa come
P ( X = x ) = π x (1 − π )1− x
per x = 0,1
Valori sintetici
E(X) = ∑ x ⋅ f (x) = 1 ⋅ π + 0 ⋅ (1 − π) = π
x
V(X) = ∑ (x − E(X)) 2 ⋅ f (x) = (1 − π) 2 ⋅ π + (0 − π) 2 ⋅ (1 − π) =
x
= π(1 − π)
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Variabile casuale binomiale
La v.c. Binomiale può essere ottenuta come la somma di
v.c. di Bernoulli indipendenti e identicamente distribuite.
Pertanto se per n volte si ripete nelle medesime
condizioni lo schema successo-insuccesso si genera
una sequenza di n sottoprove indipendenti a ciascuna
delle quali si può associare una v.c. di Bernoulli.
Lo schema binomiale può essere assimilato all’estrazione con
ripetizione di n palline da un’urna che ne contiene H di cui b
bianche e H-b nere dove p=b/H indica la probabilità (costante) di
estrarre una pallina bianca in ciascuna estrazione.
Variabile casuale binomiale
Si effettuano n prove indipendenti. In ognuna si può presentare
l’evento A o “successo” con probabilità π oppure l’evento A o
“insuccesso” con probabilità 1- π. Il risultato di ogni prova non è
influenzato dalle prove precedenti né influisce su quelle successive.
La v.c. binomiale esprime il numero di successi in n prove, a
prescindere dall’ordine con cui si presentano.
La sua funzione di probabilità è
X~Bin(n,p),
n x
P ( X ) = ⋅ π (1 − π )n − x
x
X=0,1,2,…n
0<π<1
coefficiente binomiale
ovvero, considerando l’espressione del coefficiente binomiale:
n!
P( X ) =
⋅ π x (1 − π )n − x
x! n − x!
5
Quindi la v.c. binomiale :
è una variabile casuale discreta, che può assumere tutti i
valori interi compresi tra 0 (nessun successo) e n (tutte le
prove hanno avuto successo);
è caratterizzata da due parametri: π (la probabilità di un
successo in una singola prova) e n (il numero totale di
prove);
può essere vista come la somma di n v.c. bernoulliane
simili (stesso parametro π) e indipendenti.
VALORE MEDIO
E ( X ) = E ( X1 + X 2 + … + X n ) = π + π + ........ + π = nπ
VARIANZA
V ( X ) = V ( X1 + X 2 + … + X n ) = π(1 − π) + π(1 − π) + ..... + π(1 − π ) = nπ(1 − π )
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Nota sul coefficiente binomiale
n
n!
=
x x! (n − x )!
x! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (x − 1) ⋅ x
x fattoriale
Si assume che 0! = 1
Esempio con n=7 e x=4
7
1⋅2⋅3⋅ 4⋅5⋅6 ⋅7
= 35
=
4 (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4) ⋅ (1 ⋅ 2 ⋅ 3)
7
Esercizio distribuzione Binomiale
Da un’analisi storica è noto che la probabilità di successo
di uno studente in un test scientifico è pari p=0.8.
Estraendo casualmente un campione di 5 studenti
(assimilabile
a
5
«estrazioni
indipendenti
con
reimmissione») che hanno sostenuto la prova ma non
hanno
ancora
avuto
comunicazione
dell’esito,
determinare:
Qual è la probabilità che esattamente 3 studenti superino
il test?
x = 0,1,2,...,5
X~Binomiale(0.8;5)
5
P(X = 3) = 0.8 3 (1 − 0.8)5 −3 = 0.20
3
8
Esempio distribuzione
Binomiale
5
P(X = 0) = 0,80 (1 − 0,8)5−0 = 0,0032
0
P(x)
5
P(X = 1) = 0,81(1 − 0,8)5−1 = 0,006
1
5
P(X = 2) = 0,82 (1 − 0,8)5−2 = 0,05
2
5
P(X = 3) = 0,83 (1 − 0,8)5−3 = 0,20
3
0
1
2
3
4
5
x
5
P(X = 4) = 0,84 (1 − 0,8)5− 4 = 0,41
4
5
P(X = 5) = 0,85 (1 − 0,8)5−5 = 0,33
5
9
Esempio distribuzione Binomiale
Qual è la probabilità che almeno 3 studenti superino il
test?
X~Binomiale(0,8;5)
x = 0,1,2,...,5
P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) =
5 3
5
5 5
5 −3
4
5− 4
= 0,8 (1 − 0,8) + 0,8 (1 − 0,8) + 0,8 (1 − 0,8)5−5 =
3
4
5
= 0,20 + 0,41 + 0,33 = 0,94
Qual è la probabilità che al massimo due
studenti superino il test?
P(X ≤ 2) = 1 − P(X ≥ 3) = 1 − 0,94 = 0,06
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Distribuzione Binomiale
Quando π=0,5 la distribuzione è simmetrica intorno al valore medio
In ogni caso, la distribuzione tende ad essere simmetrica per n → +∞
11
