PROPRIETÀ FONDAMENTALI DEGLI STIMATORI

PROPRIETÀ
FONDAMENTALI
DEGLI STIMATORI
Correttezza
E [θˆ ] =
∑ θˆ
p [θˆ ] = θ
∀θ
Ω
B[θˆ] = E[θˆ] − θ
1
Correttezza
La media campionaria è uno stimatore
corretto della popolazione
„ Nel CCSSR, la varianza campionaria
corretta (s2) è uno stimatore corretto
dell’analoga grandezza in popolazione (S2 )
„
Correttezza asintotica
Lim E [θˆn ] = θ
∀θ
Lim B [θˆn ] = 0
∀θ
n→ ∞
N →∞
n / N < t <1
n→ ∞
N →∞
n / N < t <1
„
„
Per una popolazione finita occorre controbilanciare, alla sucessione
dei campioni che danno luogo ai diversi stimatori per n crescente,
anche una popolazione analogamente crescente cioè N → ∞
Inoltre il vincolo n/N<t<1 garantisce una quantità adeguata
2
Efficienza
Poiché lo stimatore migliore è quello meno disperso attorno al valore vero ma
incognito del parametro, indipendentemente dalla sua corretttezza o meno, si
intoduce l’errore quadratico medio o Mean square error - MSE:
MSE [θˆ ] = E [(θˆ − θ ) 2 ] =
∑ (θˆ − θ )
2
p [θˆ ]
Ω
Var[θˆ] = E[(θˆ − E[θˆ]) 2 ]
E[θˆ] = θ
→
MSE[θˆ] = Var[θˆ]
E[θˆ] ≠ θ
→
MSE[θˆ] = Var[θˆ] + B 2 [θˆ]
Efficienza
In termini relativi l’efficienza di due stimatori si misura come :
⎡ θˆ ⎤ MSE [θˆ1 ]
Ef ⎢ 1 ⎥ =
ˆ
ˆ
⎣ θ 2 ⎦ MSE [θ 2 ]
⎡ θˆ1 ⎤ Var[θˆ1 ]
Ef ⎢ ⎥ =
ˆ
ˆ
⎣θ 2 ⎦ Var[θ 2 ]
l’errore di campionamento ε , cioè la
differenza tra la stima e il parametro, ha
diverse probabilità di verificarsi a seconda
delle proprietà dello stimatore.
Ad esempio, nel caso di stimatori corretti
ma con alta varianza l’errore potrebbe
essere spesso elevato; lo stesso errore
sarà invece meno probabile per uno
stimatore distorto ma con varianza assai
inferiore.
Per questo motivo la differenza
considerata è quella dell’Errore Quadratico
Medio (MSE): ci interessa l’addensamento
attorno al parametro incognito, anche se
con stimatori leggermente distorti.
3
Effetto del disegno
In termini relativi l’efficienza di due disegni campionari diversi sull’efficienza
dello stesso stimatore si misura come :
Var[θˆ]
Deff =
Var[θˆ0 ]
Dove la varianza dello stimatore a denominatore è quella del corrispondente
campione casuale semplice (in modo analogo con o senza reintroduzione e
di pari dimensioni)
Consistenza asintotica
convergenza in media quadratica e probabilità
(
)
2
Lim E ⎡ θˆn − θ ⎤ = 0
⎢⎣
⎥⎦
n →∞
N →∞
n / N <1
[
]
Lim Pr θˆn − θ < ε = 1
n →∞
N →∞
n / N <1
Si può notare che
• la consistenza asintotica implica la correttezza asintotica
• se esiste convergenza in media quadratica alla esiste anche in probabilità
• la convergenza più forte è la c. quasi certa
[
]
Pr Lim θˆn − θ < ε = 1
n →∞
N →∞
n / N <1
4
Consistenza asintotica
Se uno stimatore è corretto o asintoticamente corretto affichè sia consistente
è sufficiente che :
Lim Var [θˆn ] = 0
n→ ∞
N →∞
n / N <1
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