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STATISTICA MATEMATICA
SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL 13/9/2004
Esercizio 1 (Riservato agli studenti che non hanno sostenuto l’esame di Statistica e Calcolo delle Probabilità)
Indicati, rispettivamente, con A e B gli eventi corrispondenti ai due tipi di difetti, si ha che:
P( A ) = 0.1, P(B ) = 0.8 e P( AB ) = 0.01.
(1.1) P( A B ) = 1  P( AB ) = 1  [P( A ) + 1  P(B )  P( AB )] = P(B ) P( A )
+ P( AB ) = 0.8 – 0.1 + 0.01 = 0.71.
(1.2) P( B|A ) = P( AB ) / P( A ) = 0.01 / 0.1 = 0.1,
P( A|B ) = P( AB ) / P( B ) = 0.01 / 0.2 = 0.05.
(1.3) A e B non sono né incompatibili né indipendenti.
Esercizio 2
Indicata con  la funzione di ripartizione della v.c. Normale standard Z e posto Y = |Z| si ha:
(2.1) (y) = P(Yy) = P(|Z|y) = P(-yZy) = (y)  (-y) = 2(y)  1 per y>0 e
(y) = 0 per y0;
(y) = ’(y) = 2’(y) = 2(y) (y>0), dove  rappresenta la funzione di densità di Z.
(2.2) E(Y) = y(y)dy = 2y(y)dy = -2’(y)dy = -2[(+)(0)] = -2[01/(2)] = (2/),
essendo l’integrale tra 0 e + (oppure per sostituzione: t = -y2/2);
E(Y2) = E(Z2) = Var(Z) = 1 e dunque Var(Y) = E(Y2)  E(Y)2 = 1  2/.
(2.3) La mediana di Y si ottiene risolvendo l’equazione (y) = ½ equivalente a (y) = ¾
che ha come soluzione y = Z0.75 = 0.67.
Esercizio 3
Sia X una v.c. di Bernoulli con parametro .
(3.1) Sulla base di un campione bernoulliano di ampiezza n = 2 lo stimatore di massima
verosimiglianza per  è dato dalla media campionaria T = (X1 + X2) / 2.
(3.2) T è corretto ed efficiente per , essendo Var(T) = (1)/2.
(3.3) MSE(T) = (1)/2 < (1) = MSE(U) < 5(1) = MSE(V).
Esercizio 4
Sia X una v.c. Esponenziale Negativa con media E(X) = 1/.
(4.1) Essendo S = Xi distribuita come una v.c. Gamma(n,),
Q = 2 Xi
2
ha distribuzione Gamma(n,½) =  2n e quindi rappresenta una quantità pivotale per .
(4.2) L’intervallo di confidenza con livello 1 = 0.95 per  è dato da
] 22n;/2 / (2S) , 22n;1/2 / (2S) [ = ]0.02,0.11[.
(4.3) Si accetta l’ipotesi H0 :  = 0.1 al livello di significatività  = 0.05 perché 0.1
appartiene all’intervallo di confidenza al 95% ed a maggior ragione si accetta H0 al
livello di significatività  = 0.01.