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STATISTICA MATEMATICA
SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL 23/2/2004
Esercizio 1 (Riservato agli studenti che non hanno sostenuto l’esame di Statistica e Calcolo delle Probabilità)
Indicati rispettivamente con M e T gli eventi “soggetto malato” e “test positivo”, si ha che
P( M ) = 0.03, P( T | M ) = 0.90 e P( T |M ) = 0.02.
(1.1) P( T ) = P( T | M ) P( M ) + P( T |M ) P(M ) = 0.90 0.03 + 0.02 (1-0.03) = 0.0464.
(1.2) P( M | T ) = P( T | M ) P( M ) / P( T ) = 0.90 0.03 / 0.0464 = 0.5819.
(1.3) P(M |T ) = P(T |M ) P(M ) / P(T ) = (1-0.02) (1-0.03) / (1-0.0464) = 0.9969
> P( M | T ).
Esercizio 2
X è una v.c. Rettangolare (0,1) e Y = 1 / X.
(2.1) La f.r. della v.c. Y è data da (y) = P(Y  y) = P(X  1/y) = 1 – (1/y) = 1 – 1/y
y>1; la f.d. è data da (y) = ’(y) = 1 / y2 y>1.

 dy

(2.2) La v.c. Y ha supporto ]1,+[ e  y ( y )dy  
 log | y |1   ;
1
1
y
dunque il valor medio di Y non esiste.
(2.3) La mediana della v.c. Y si ottiene risolvendo l’equazione (y) = ½ equivalente a
1 – 1/y = 1/2 che ha soluzione y = 2.
Esercizio 3
Poiché X è una v.c. Normale con media  = 0 e varianza 2 = , la funzione di
verosimiglianza è data da L(;x1,…,xn) = (2)-n/2 exp[-xi2 / (2)] e la derivata della logverosimiglianza risulta dlog(L)/d = (-n + xi2/) / (2).
(3.1) Lo stimatore ML per  è rappresentato dal momento campionario di ordine 2
T = Xi2 / n.
(3.2)
(3.3)
2
n
 Xi 
2
T


Z i   n2 essendo Zi = Xi /   N(0,1).




2

i 1   
i 1
Lo stimatore T è corretto ed efficiente per  dato che E(T) = 2 E(2n) / n = 2 =  e
Var(T) = 4 Var(2n) / n2 = 24 / n = 22 / n risulta pari al reciproco di nI() =
Var[dlog(L)/d] = Var(nT/) / (42) = n / (22).
n
n
Esercizio 4
X è una v.c. Normale con media  e varianza 2 entrambe ignote. Il campione bernoulliano
estratto ha numerosità n = 10, media campionaria x = 4.38 e varianza campionaria corretta
s2 = 0.0036.
X 
 Tn 1 rappresenta una quantità pivotale per  e produce l’intervallo di
(4.1)
2
S /n
confidenza al 95%
(4.2)
(4.3)

IC1- () = x  t n1;1 / 2 s 2 / n , x  t n1;1 / 2 s 2 / n
 = 4.38 
2.2622(0.0036/10) = (4.38-0.04,4.38+0.04) = (4.34,4.42).
Si accetta l’ipotesi H0 :  = 4.40 al livello di significatività  = 0.05 perché
4.40  IC1- ().
Si accetta la medesima ipotesi al livello  = 0.01 inferiore al precedente.