2 [6] Una compagnia di assicurazione ritiene che gli assicurati

Esame di Probabilità ed Inferenza Statistica
docente: Prof.ssa J. Mortera
9 Aprile 2003
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Nome
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I quesiti in corsivo hanno carattere teorico. La prova si ritiene superata se si raggiunge la
sufficienza sia sugli esercizi sia sulla parte teorica.
1. [10] In Germania il 55% delle famiglie ha un reddito inferiore a 50000 Euro l’anno, il 43% ha
un reddito fra i 50000 e i 100000 Euro l’anno, e il 2% ha un reddito superiore ai 100000 Euro. Se
viene estratto casualmente un campione di 5 famiglie:
a) qual è la probabilità che la maggioranza delle famiglie estratte abbia un reddito inferiore ai
50000 Euro?
b) Qual è il numero atteso e la varianza del numero di famiglie con reddito inferiore ai 50000 Euro?
c) Qual è la probabilità che nessuna famiglia abbia un reddito superiore ai 100000 Euro?
d) Se viene estratto un campione di 500 famiglie, come si trasformano le probabilità a) e c)?
2. [4] Illustrare come si trova l’intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due
popolazioni normali con varianza nota.
3. [4] La seguente tabella fornisce i dati sul sussidio di disoccupazione annuale (X) (in milioni di
Lire) di due campioni casuali indipendenti di 10 disoccupati inglesi e 5 italiani. Si assume che nelle
due popolazioni i sussidi abbiano distribuzione normale con varianze uguali.
N
x
x2
Inglesi
10
160
2666
Italiani
5
55
645
a) Trovare l'intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra sussidio di disoccupazione
percepito tra gli inglesi e gli italiani. Commentare il risultato.
b) Si può ritenere che il sussidio inglese sia superiore rispetto a quello italiano?
4.[6] Il numero X di guasti incorsi alle diverse componenti di una marca di computer durante 5 anni
ha dato luogo alla seguente distribuzione:
X
frequenza
0
250
1
110
2
24
3 e più
6
a. Nell’ipotesi che i dati seguono una distribuzione di Poisson, calcolare il numero di guasti attesi.
b. Verificare la validità dell’ipotesi al livello di significatività del 5%.
c. [6] Dato un campione casuale X1,...,Xn,
a) definire uno stimatore e la proprietà di non distorsione;
b) dimostrare (facendo tutti i passaggi) che S 2 
1
n
2
 X i  X 
n
è uno stimatore distorto di 2.
i 1
6.[ 4] Indicate quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali sono false e spiegatene il motivo:
a) Var(-X)= Var(X)
b) Var(X-2Y)=Var(X) - 4Var(Y)
c) Var(X+X)= 2Var(X)
d) Cov(2X,X)=4Var(X)
Dati due eventi A e B incompatibili:
e. P(A|B)=P(A) f. P(A BC) = P(BC )
g. P(A| BC )=P(A)/(1-P(B))