- I.I.S. Prever – Pinerolo

Capitolo 1
Integrali indefiniti
1.1 Il problema della primitiva di una funzione
Si consideri una funzione di equazione y  f (x) .
Il problema che ci si pone è quello di
determinare la sua funzione primitiva. In primis precisiamo che la funzione di cui si chiede la
determinazione della primitiva viene scelta opportunamente. In altri termini essa viene presa tra le
funzioni continue.
Definizione 1.1.1 Data una funzione di equazione y  f (x) definita e continua in un intervallo
a; b si dice primitiva
della funzione, la funzione di equazione y  F (x ) la cui derivata coincide
con y  f (x) . In simboli: y  F (x ) è primitiva di y  f (x) se F ' ( x)  f ( x) .
Osservazione 1.1.1
Facciamo notare che se y  F (x ) è una primitiva di y  f (x) , allora anche y  F ( x)  C , dove C è
una costante, è una primitiva di y  f (x) . Ciò suggerisce che la funzione
y  f (x) ha infinite
primitive. Da questa osservazione deriva la seguente
Definizione 1.1.2 Si dice integrale indefinito della funzione continua di equazione y  f (x)
l’insieme costituito da tutte le sue primitive. L’integrale indefinito della funzione si indica con la
scrittura

f ( x ) dx . Ammesso che sia nota almeno una primitiva di equazione y  F (x ) ,
l’integrale indefinito coincide con l’insieme
 F ( x)  C / C R  .
1.2 Proprietà dell’integrale indefinito
L’integrale indefinito gode delle proprietà indicate nelle seguenti proposizioni:
Proposizione 1.2.1
L’integrale
della
somma
è
uguale
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
alla
somma
degli
integrali.
In
simboli:
Dimostrazione
Sia F (x ) una primitiva di
f (x ) e sia G (x ) una primitiva di g (x ) . Dal momento che
DF ( x)  G( x)  F ' ( x)  G' ( x)  f ( x)  g ( x) , allora F ( x)  G ( x) è una primitiva di f ( x)  g ( x) .
F ( x)  G( x)  C  F ( x)  C1  G( x)  C2 ,
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx .
In
definitiva
il
che
equivale
a
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
dire
che
Proposizione 1.2.2
L’integrale del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per
l’integrale della funzione. In simboli:

kf ( x)dx  k  f ( x)dx .
Dimostrazione
Sia F (x ) una primitiva di f (x ) , allora kF (x ) è una primitiva di kf (x) . Infatti DkF( x)  kf ( x).
Segue quanto volevasi dimostrare.
Osservazione 1.2.1
 0d x  C . Ciò è conseguenza del fatto che la derivata di una costante è 0.
1.3 Come determinare l’integrale definito di alcune funzioni elementari
La determinazione della primitiva di una funzione è strettamente connessa al procedimento di
derivazione di una funzione. Consultando la tabella delle funzioni elementari sottostante
Funzione
y  x n , con n  Q
y  a x , con a R, a  0 a  1
y  log a x , con a R, a  0 a  1
Derivata
y  nx n 1
y  a x ln a
1
y  log a e
x
si deducono i seguenti fatti:

Dx n1  n  1x n 
 x n 1 
Dx n 1
x n 1
  x n . Ne consegue che
è una primitiva
 x n  D
n 1
n 1
 n 1
x n 1
di x e che quindi
 C , al variare di C, costituisce l’integrale indefinito di x n .
n 1
n
definitiva


x n 1
x dx 
C.
n 1
n
Da x  a x ln a 
che quindi

a x dx 
In
 ax 
Da x
ax
  a x . Ne consegue che
 a x  D
è una primitiva di a x e
ln a
ln a
 ln a 
ax
 C , al variare di C, costituisce l’integrale indefinito di a x .
ln a
ax
C .
ln a
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
In definitiva

De x  e x  De x  e x . Ne consegue che e x è una primitiva di e x e che quindi e x , al
variare di C, costituisce l’integrale indefinito di e x .

In definitiva

e x dx  e x  C .
1
1
. Ne consegue che ln x è una primitiva di e che quindi ln x  C , al variare di
x
x
1
C, costituisce l’integrale indefinito di . Precisiamo che ln x non può avere argomento
x
non positivo, per cui quanto detto vale nel caso in cui
x  0 . Ora se x  0 ,
1
 1 . Si conclude che ln x una primitiva di 1 e che quindi ln x  C , al
D ln  x  
x
x
1
1
variare di C, costituisce l’integrale indefinito di . In definitiva 
dx  ln x  C .
x
x
D ln x 
I risultati ottenuti possono essere riassunti nella seguente tabella:
Integrali indefiniti immediati
x n 1
n
x
dx

 C , con n  Q   1

n 1
ax
x
 a dx  ln a  C
x
x
 e dx  e  C
1
 x dx  ln x  C
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1.4 Esempi di calcolo di integrale indefinito
Si considerino i seguenti casi alla luce della suddetta tabella:


x dx . Per calcolare questo integrale indefinito si fa uso del primo integrale immediato
1
1
nel caso in cui n  . Infatti
2



1
 1
2
1
2
1
3
x2
x2
2 3
x dx   x dx 
C 
C 
x C .
1
3
3
1
2
2
1
2
x
x
C 
C  2 x C
1
1
x
 1
2
2
2 1
1
1
x
x
1
2
 x 2 dx   x dx   2  1  C   1  C   x  C

1

1
2
dx   x dx 
1.5 Calcolo di integrali particolari con cambio di variabile
Facciamo notare che la scrittura dx rappresenta il differenziale della funzione di equazione y  x .
Ricordiamo che data una funzione di equazione y  f (x) il suo differenziale è dato come segue:
dy  f ' ( x)dx . Va da sé che è possibile fare i seguenti calcoli:
 f ( x )
y n 1
C 
n 1
n 1
n 1

n
n
  f ( x) f ' ( x)dx   y dy 

a

e

 f ( x) f ' ( x)dx   y dy  ln y  C  ln
f ( x)
f ( x)
C.
ay
a f ( x)
f ' ( x)dx   a dy 
C 
C
ln a
ln a
y
f ' ( x)dx   e y dy  e y  C  e f ( x )  C
1
1
f ( x)  C
Esempio 1.5.1
Si consideri il seguente integrale:
poniamo
f ( x)  x 2  1  y e
conseguenza,

 x
2

 1 2 xdx . In questo caso f ( x)  x 2  1 e f ' ( x)  2 x . Se
2
f ' ( x)dx  2 xdx  dy l’integrale suddetto diventa



3
y3
x2 1
y dy 
C 
C.
3
3
2
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
y 2 dy e, di
Esempio 1.5.2
Si consideri il seguente integrale:
poniamo
f ( x)  x 3  y e
x3
2
 2 3x dx .
In questo caso f ( x)  x 3 e f ' ( x)  3x 2 . Se
f ' ( x)dx  3x 2 dx  dy l’integrale suddetto diventa

2 y dy e, di
3
conseguenza,

2y
2x
2 dy 
C 
C.
ln 2
ln 2
y
Esempio 1.5.3
5 x 4  3x 2
 x 5  x 3 dx .
f ( x)  x 5  x 3  y e
Si consideri il seguente integrale:
f ' ( x)  5x 4  3x 2 . Se poniamo
suddetto diventa
1
1
f ( x)  x 5  x 3 e
In questo caso


f ' ( x)dx  5x 4  3x 2 dx  dy l’integrale
 y dy e, di conseguenza,  y dy  ln y  C  ln x
5
 x4  C .
1. Metodi di integrazione
2.1 Integrazione per scomposizione
Per applicare tale metodo occorre scomporre la funzione di cui si deve determinare l’integrale
indefinito nella somma algebrica di più funzioni di cui è possibile calcolare facilmente l’integrale
indefinito. A scomposizione effettuata è possibile applicare la proposizione 1.2.1. relativa
all’integrale della somma. Consideriamo qui di seguito alcuni esempi.
Esempio 2.1.1
Si consideri il seguente integrale:

5
60 25
 5  6x 
 6x  5 

. Di conseguenza


 dx . In tal caso 
   6    36 
x
x x2
 x 
 x 


60 25 
60
25
25
 5  6x 

 2 dx   36dx   dx   2 dx 36 x  60 ln x 
C

 dx    36 
x x 
x
x
x
 x 

2
2
2
2
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 2.1.2
Si consideri il seguente integrale:

3

3


1
x  4 x 7 dx . In tal caso
3
7
x  4 x 7  x 3  x 4 . Di conseguenza
1

1
7
1
4
11
1
7
7
 1

x3
x4
x3 x 4
x  4 x 7 dx    x 3  x 4 dx   x 3 dx   x 4 dx 

C 

C 
1
7
4
11


1
1
3
4
3
4
3 3 4 11 4 11
3
11
x 
x  C  x3 x  x 2 4 x 3  C .
4
4
4
4
2.2 Integrazione per sostituzione
Questo metodo d’integrazione prevede di sostituire alla variabile x una opportuna funzione g(t) di
una variabile t ausiliaria. Tale funzione g(t) , deve però essere derivabile con derivata continua e
invertibile. In altri termini:

f ( x)dx   f ( g (t )) g ' (t )dt   F (t )dt . Facciamo notare che un
opportuno cambiamento di variabile rende il calcolo dell’integrale più semplice perché è più facile
trovare una primitiva di F(t) che una primitiva di f(x). Facciamo notare che normalmente la
sostituzione avviene come segue: h( x )  t da cui si ricava la variabile x, dove h( x )  t è
un’espressione contenente x presente nella funzione f(x). Consideriamo qui di seguito alcuni
esempi.
Esempio 2.2.1
Si consideri il seguente integrale:
1
 2 x  3
2
dx . In tal caso poniamo
differenziale si ottiene dx 
1
 2 x  3
dx 
2
2x  3  t da cui segue che x 
t 3
 g (t ) . Passando al
2
1
dt  g ' (t )dt . Quindi
2
1 1
1 2
1 t 1
1
1
dt

t
dt

C   C  
C
2


2 t
2
2 1
2t
22 x  3
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
Esempio 2.2.2
Si consideri il seguente integrale:

x  1dx .
x 1  t da cui segue che x  t 2  1  g (t ) . Passando al
In tal caso poniamo
differenziale si ottiene dx  2tdt  g ' (t )dt . Quindi
t3
2
t
dt

2
t
dt

2
C  2


3
2
2
x  13
3
C
2.3 Integrazione per parti
Siano f (x) e g (x ) due funzioni continue con derivata continua. Sappiamo che vale la seguente
regola di derivazione D( f ( x) g ( x))  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x) . Ne consegue che
  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)dx 
f ( x) g ( x) .
Ora
  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)dx   f ' ( x) g ( x)dx   f ( x) g ' ( x)dx
per cui
 f ' ( x) g ( x)dx   f ( x) g ' ( x)dx 
f ( x) g ( x)
Da cui segue che
 f ( x) g ' ( x)dx 
f ( x) g ( x)   f ' ( x) g ( x)dx
La suddetta espressione prende il nome di regola di integrazione per parti. Consideriamo qui di
seguito alcuni esempi.
Esempio 2.2.1
Si consideri il seguente integrale:
 x ln xdx .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)
In tal caso f ( x)  ln x e g ' ( x)  x .
Di conseguenza
1
 x ln xdx  2 x
2
ln x 
1 21
1
1
1
1
x
dx  x 2 ln x   xdx  x 2 ln x  x 2  C .

2
x
2
2
2
4
Esempio 2.2.2
Si consideri il seguente integrale:
 xe dx .
x
In tal caso f ( x)  x e g ' ( x)  e x .
Di conseguenza
 xe dx  xe   e
x
x
x
dx  xe x  e x  C .
Autore: Siano Roberto (docente di Matematica presso l’I.I.S. Arturo Prever di Pinerolo)